NUMERI FIGURATI Renato Betti Politecnico di Milano 26 novembre 2008

La teoria elementare dei numeri dovrebbe essere uno dei migliori argomenti per la prima educazione matematica. Richiede poche conoscenze preliminari ed è una materia tangibile e familiare; i processi logici che utilizza sono semplici, generali e in numero limitato, ed è unica fra le scienze matematiche per il suo richiamo alla naturale curiosità umana (G.H. Hardy, 1929) I numeri figurati sbucano inaspettatamente in risultati moderni: Il teorema dei numeri poligonali (Fermat – Cauchy) Il teorema pentagonale (Eulero)

I numeri figurati non sono questi….

I numeri figurati sono disposizioni di unità in maniera ordinata, secondo figure geometriche…. (numeri poligonali) (oblunghi) (generalizzati) (tetractys)

(cubici)(piramidali) …………………………… Nicomaco di Gerasa (II aC)

n-1 n

Numeri poligonali quadrati pentagonali esagonali …………………… numeri triangolari

numeri…5,4,3,2,1, triangolari…15,10,6,3,1, quadrati…25,16,9,4,1, pentagonali…35,22,12,5,1, esagonali…45,28,15,6,1, ….……………… Problema: nelle sequenze di numeri poligonali il terzo numero è sempre divisibile per 3 e il quinto numero è sempre divisibile per 5. Questa proprietà è vera anche per gli altri numeri poligonali (ettagono, ottagono etc)? E perché il quarto numero triangolare non è divisibile per 4? Vale la proprietà per il settimo? E in generale quando vale?

Il teorema dei numeri poligonali (Fermat, 1636) Ho trovato della massima importanza la proposizione che ogni numero è composto da uno, da due o da tre triangolari; da uno o da due o da tre o da quattro quadrati; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque pentagonali; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque o da sei esagonali, e così via ad infinitum. Per dimostrare questa proposizione devo dimostrare che ogni primo che supera di ununità un multiplo di 4, come 5, 13, 17, 29, 37, e così via, è composto da due quadrati.

Eulero: 1751 Lagrange: 1770 Se

Ancora Eulero, 1773: Gauss, 1796: 7 (mod 8) Lequazione ha soluzioni intere Teorema (Legendre):

Cauchy, : Ogni numero intero è uguale alla somma di 4 pentagonali o una somma simile aumentata di una unità; alla somma di 4 esagonali o ad una somma simile aumentata di una o di due unità; alla somma di 4 ettagonali o ad una somma simile aumentata di una o due o tre unità... e cosi via.

Lemma di Cauchy: Siano k ed s due interi negativi dispari tali che e. Allora esistono interi non negativi a, b, c e d tali che: k = k +2 …….. n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4) è somma di m numeri m-gonali k >121, n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4)

Il teorema pentagonale (Eulero, 1750) In quanti modi si può scrivere il numero 50 come somma di 7 diversi numeri? (Ph. Naudé il giovane, 1740) Hardy & Ramanujan, 1918: Rademacher, 1937:

Teorema pentagonale (Eulero):

Casi eccezionali:

La formula ricorsiva di Eulero per il calcolo delle partizioni La formula ricorsiva di Eulero per la somma dei divisori di n

Eulero, De partitione numerorum, 1750

Bibliografia E. Delucchi, M.D. Froidcoeur, +& C., Bollettino dei docenti di Matematica della Svizzera italiana, n. 55 (2007) G.A. Andrews, Eulers Pentagonal Number Theorem, Mathematics Magazine 56, n. 5 (1983) M.B. Nathanson, A short Proof of Cauchys Polygonal Number Theorem, Proc. AMS 99, n.1 (1987) P. Bussotti, A. Scimone, Tutto è poligonale, I. Lantefatto, II. Verso la meta, Lettera Mat. Pristem, in corso di stampa J. Conway, R. Guy, Numbers, Springer 1996 J. Bell, Euler and the Pentagonal Number Theorem, ArXiv: math/051005v2 [math HO]