Strutture periodiche discrete: introduzione del vincolo di periodicità e studio della ricostruzione da due proiezioni. A. Del Lungo, A. Frosini, M.Nivat, L.Vuillon

Tomografia il processo mediante il quale è possibile ottenere informazioni circa la distribuzione di densità di una struttura fisica a partire da un insieme di proiezioni ottenute tramite raggi X. Matematicamente si vuole ricostruire una funzione di densità (x), con x R 2 o R 3, a partire dalla conoscenza dei suoi integrali di linea L (x) dx. TOMOGRAFIA COMPUTERIZZATA: Caratteristiche: la struttura da ricostruire ha, in generale, una grande quantità di valori di densità il numero delle proiezioni varia tra 480 e 1000

Tomografia area della Tomografia Computerizzata che si occupa di strutture fisiche aventi un piccolo numero di valori di densità diversi. Matematicamente: si vuole ricostruire una funzione di densità (x), con x Z 2 o Z 3, a partire dalla conoscenza del numero di atomi/molecole della struttura presenti su linee discrete. TOMOGRAFIA DISCRETA: Caratteristiche: la struttura esaminata è spesso costituita da uno o al massimo due tipi diversi di atomi/molecole; il numero delle proiezioni varia tra 2 e 4; lindagine utilizza strumenti basati principalmente sulla matematica discreta, geometria e combinatoria.

Applicazioni Tomografia computerizzata industriale: si effettuano test non distruttivi su materiali omogenei per verificarne lintegrità. Limmagine ricostruita contiene solo due valori: 0 per laria ed un valore associato al materiale. Compressione e codifica di dati: si considerano le proiezioni come codifica di un oggetto. Difficoltà di ricostruzione possono garantirne la sicurezza, mentre risultati di unicità la perfetta compressione. Applicazioni mediche: nelle angiografie per la ricostruzione e, successivamente, per la visualizzazione delle camere ventricolari a partire da sezioni planari di queste. Nellindagine si associa alla presenza del mezzo di contrasto il valore 1, allassenza il valore 0. Analisi di strutture cristalline: in particolare nella ricostruzione della disposizione degli atomi allinterno di strutture cristalline. Lo scopo è quello di utilizzare tali informazioni per fare controlli di qualità su larga scala nellambito delle tecnologie VLSI (Very Large-Scale Integration).

Il modello generale Componente elementare della struttura fisica Struttura fisica Direzione di proiezione Proiezione di S lungo la linea l (v) di direzione v P S (l (v) )=| S l (v) | Per lo studio di STRUTTURE CRISTALLINE privilegiamo: Strutture bidimensionali Le direzioni orizzontale e verticale: v 1 =(1,0) e v 2 =(0,1) Punto x di Z 3 Sottoinsieme S finito di Z 3 Vettore v in Z 3

Rappresentazione del modello v 1 = (1,0)v 2 = (0,1) x l (1,0) l (0,1)

Problemi principali Sia una classe di insiemi di Z 2 e sia = (v 1,v 2 ). Definiamo Unicità (, ) Dati: un elemento S della classe Domanda: esiste un insieme S equivalente ad S rispetto alle proiezioni lungo v 1 e v 2 ? Consistenza (, ) Dati: due vettori H e V Domanda: esiste un insieme S avente H e V come proiezioni lungo v 1 e v 2 ? Ricostruzione (, ) Dati: due vettori H e V Compito: costruire un insieme S avente H e V come proiezioni lungo v 1 e v 2

Ryser, Gale (1957): Ricostruzione (, ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza (, ) ammette soluzione in tempo polinomiale. Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z 2. Unicità (, ) ammette soluzione in tempo polinomiale. Spesso il numero di matrici che soddisfano una coppia di soluzioni è molto grande e queste possono risultare estremamente diverse luna dallaltra. Alcuni risultati

Eliminare le soluzioni equivalenti AUMENTANDO IL NUMERO DI PROIEZIONI: Gardner, Gritzmann, Prangerberg (1999): Se 3, allora Ricostruzione (, ) è NP-hard. Consistenza (, ) è NP-completo. Unicità (, ) è NP-completo. In tempo polinomiale possono essere ottenute solo soluzioni approssimate cioè soluzioni le cui proiezioni sono vicine a quelle del sistema di partenza. Sfortunatamente, se i dati in input non sono tali da determinare lunicità della soluzione, anche in questo caso il sistema ricostruito può essere molto diverso da quello di partenza!

Eliminare le soluzioni equivalenti UTILIZZANDO INFORMAZIONI A PRIORI: Gli algoritmi di ricostruzione possono trarre vantaggio da proprietà geometriche della struttura quali connessione o convessità. Queste informazioni vengono sfruttate per ridurre lampiezza della classe alla quale la soluzione deve appartenere: ad esempio Barcucci, Del Lungo, Nivat, Pinzani (1996): Se = (p), (h), (v), (p,h), (p,v), (h,v) e = (v 1,v 2 ), allora Ricostruzione (, ) è NP-hard. Consistenza (, ) è NP-completo. Se = (p,h,v), allora Ricostruzione (, ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza (, ) ammette soluzione in tempo polinomiale.

Strutture periodiche: definizioni VINCOLO DI PERIODICITÀ Una struttura si dice (p,q)-periodica se la matrice A m x n ad essa associata è tale che (a i,j =1) ( a i+q,j+p =1 ) e ( a i-q,j-p =1 ) In A si definisce linea l i,j : linsieme degli elementi a i,j =1 tali che i= i+kq, j = (j+kp) mod n con k Z (attenzione agli indici delle colonne); inizio e fine di una linea: i due elementi della linea che occupano la minima e massima riga rispettivamente; loop: una sequenza di linee consecutive nella quale anche il primo e lultimo elemento sono consecutivi (loop = linea in un toro).

ESEMPIO: MATRICI CON PERIODICITÀ (1,2) Due linee e tre punti non appartenenti ad alcuna linea. Un loop composto da due linee. Sono evidenziati i punti di inizio e fine di ciascuna linea. Strutture periodiche

RISULTATI PRINCIPALI Ricostruzione (, ), Consistenza (, ) ed Unicità (, ) ammettono soluzione in tempo polinomiale. Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z 2 aventi periodicità (p,q) e = (v 1 ): Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z 2 aventi periodicità (1,q) e = (v 1,v 2 ). Ricostruzione (, ) può essere eseguito in tempo polinomiale. Consistenza (, ) ammette soluzione in tempo polinomiale. Unicità (, ) ammette soluzione in tempo polinomiale. I tre problemi rimangono aperti nel caso generale. Strutture periodiche: risultati Formalizzazione della teoria degli switches.

DETTAGLI SULLA RICOSTRUZIONE DI MATRICI (1,q)-PERIODICHE DA 2 PROIEZIONI Ricostruzione (, ): Input: due vettori H e V. Output: la matrice (1,q)-periodica A avente H e V come proiezioni orizzontali e verticali. Passo 1 - ricostruzione della parte fissa di A (preprocessing): vengono identificati gli elementi non appartenenti ad alcuna linea e vengono ricostruiti separatamente in una matrice F. I vettori H e V vengono aggiornati in H e V. Sia la classe dei sottoinsiemi finiti di Z 2 aventi periodicità (1,q) e = (v 1,v 2 ). Strutture periodiche: algoritmo di ricostruzione Passo 2 - creazione di una istanza I del problema di ricostruzione di una classe di poliomini convessi su una superficie toroidale a partire dalla conoscenza parziale delle sue proiezioni orizzontali e verticali.

Passo 3 - caratterizzazione di I tramite una formula booleana appartenente a 2-SAT e sua soluzione (es. algoritmo di Aspvall, Plass e Tarjan, 1979). Una soluzione di I conduce ad una soluzione per Ricostruzione (, ) con input H e V. DETTAGLI SULLA RICOSTRUZIONE DI MATRICI (1,q)-PERIODICHE DA 2 PROIEZIONI N.B. qualora la periodicità ecceda le dimensioni della matrice, lalgoritmo precedente si riduce al solo algoritmo di Ryser. Strutture periodiche: algoritmo di ricostruzione Passo 4 - passaggio alla soluzione del problema Ricostruzione (, ) con input H e V. Passo 5 - fusione della soluzione trovata con la matrice F per ottenere la soluzione finale A. Tale procedura necessita di una variante dellalgoritmo di Ryser per la ricostruzione di una matrice binaria da due proiezioni.

CORRISPONDENZA MATRICE PERIODICA - POLIOMINO CONVESSO Ciascuna linea della matrice (1,2)-periodica M viene trasformata in una barra costituente il poliomino P. M :P : Strutture periodiche: dettagli sul passo 2, esempio

Strutture periodiche: dettagli sul passo 2, esempio Il poliomino P: è convesso su un toro; ha le stesse proiezioni verticali di M; ciascuna proiezione orizzontale ha valore 3 o 4; su ciascuna colonna possono essere presenti al più una barra di lunghezza 4 ed una barra di lunghezza 3 contemporaneamente. Questi vincoli possono essere imposti tramite una formula booleana in 2-SAT. La trasformazione può essere facilmente invertita.

Ricostruzione di strutture periodiche: esempio Input: i due vettori H = (3, 3, 5, 2, 4, 5, 3, 4) e V = (4, 3, 4, 3, 3, 3, 4, 1, 1, 3). Output: una matrice A con periodicità (1,3) e consistente con H e V. Passo 1 - ricostruzione della parte fissa di A; - creazione dei vettori H e V H = (2, 3, 5, 2, 3, 5, 2, 3) V = (2, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 1, 1, 2).

Ricostruzione di strutture periodiche: un esempio Passi 2 e 3 - creazione di una istanza I del problema di ricostruzione di una classe di poliomini convessi su di un toro dalla conoscenza parziale delle proiezioni orizzontali e verticali: V = (2, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 1, 1, 2) le proiezioni orizzontali possono assumere i valori 2 o 3. al più due barre di lunghezza 2 ed una di lunghezza 3 possono essere presenti in una stessa colonna del poliomino. - caratterizzazione del problema tramite una formula in 2-SAT e sua soluzione.

Ricostruzione di strutture periodiche: un esempio Passi 4 e 5 - passaggio alla soluzione del problema Ricostruzione (, ) con input H e V e fusione della soluzione trovata con la parte fissa della soluzione A ottenuta nel passo 1. A :