Fasi del Problem Posing Accettare il dato Elencare gli attributi E - se - non Elenco delle alternative Fare composizione A cura di Alberta De Flora

Applicare la metodologia sopra descritta al seguente esempio: 1 X 2 X 3 = 6 2 X 3 X 4= 24 3 X 4 X 5 = 60 4 X 5 X 6 = X 6 X 7 = X 7 X 8 = 336

OSSERVAZIONI / DOMANDE 1. I risultati sono multipli di 6 2. Sono numeri in colonna e crescenti. 3. Come si fa a ricavare le regola che ci sta sotto? 4. A cosa serve? C'è qualche applicazione interessante? 5. Rappresenta un fenomeno naturale? 6. Sono forse catene di operatori? 7. A chi è venuto in mente? 8. Si può insegnare ai nostri allievi?

OSSERVAZIONE 1 (01) ( Fase: Accettare il dato) 0 X 1 X 2 = X 2 X 3 = X 3 X 4 = X 4 X 5 = X 5 X 6 = X 6 X 7 = … più in generale: (n - 1 ) X n X ( n + 1 ) = n 3 - n per n = 1, 2, 3,...

OSSERVAZIONE 2 (02) ( Fase: Accettare il dato ) 0 X 1 X 2 = 0 6 = 6 X 1 = 6 X 1 X 1 1 X 2 X 3 = 6 18 = 6 X 3 = 6 X 3 X 1 2 X 3 X 4 = = 6 X 6 = 6 X 3 X 2 3 X 4 X 5 = = 6 X 10 = 6 X 5 X 2 4 X 5 X 6 = = 6 X 15 = 6 X 5 X 3 5 X 6 X 7 = = 6 X 21 = 6 X 7 X 3 6 X 7 X 8 = = 6 X 28 = 6 X 7 X 4 7 X 8 X 9 = 504

E possibile prevedere come continuerà ? Facciamo la seguente congettura 6 X 9 X 4 6 X 9 X 5 6 x 11 X 5 6 X 11 X 6 6 X 13 X 6 6 X 13 X 7

OSSERVAZIONE 3 Nello schema lieto, ci sono configurazioni particolari ? Come si presentano all'interno bello schema i fattori uguali ? 1 X 2 X 3 = 6 2 X 3 X 4 = 24 3 X 4 X 5 = 60 4 X 5 X 6 = X 6 X 7 = X 7 X 8 = 336 Cosa accade se ai inverte l'ordine dei fattori ?

DOMANDA 1 C'è una configurazione particolari se i fattori si pensano come numeri pitagorici?

ELENCARE GLI ATTRIBUTI A1. Ci sono tre numeri naturali A2. I tre numeri sono consecutivi A3. I numeri sono collegati dall'operazione di moltiplicazione A4. Il secondo e il primo fattore di ogni riga, così come i1 terzo fattore e il secondo differiscono di 1 A5. I1 terzo fattore e il primo di ogni riga differiscono di 2 A6. I risultati sono multipli di 6 A7. I fattori presi in colonna differiscono di 1 a partire de 1, quelli delle prima colonna: differiscono dì 1 a partire da 2 quelli della seconda, ecc. A8. Si hanno diagonali di numeri pari alternate a diagonali di numeri dispari A9. Nella prima riga ci sono due fattori dispari, nella seconda ci sono due fattori pari e così via. A10. In ogni riga c'è almeno un fattore pari. … Quali domande, osservazioni e congetture suggeriscano gli attributi sopra elencati?

E-SE-NON (~A1) 1 I numeri naturali implicati sono solo due. Si ha allora il seguente schema: 1 X 2 = 2 2 X 3 = 6 3 X 4 = 12 4 X 5 = 20 5 X 6 = 30 6 X 7 = 42

Vale ancora l'01? Come si modifica? 1 X 2 = 2 = X 3 = 6 = X 4 = 12 = X 5 = 20 = X 6 = 30 = X 7 = 42 =

Cosa accadrà alla 02? 0 X 1 = 0 2 – 0 = 2 1 X 2 = 2 6 – 2 = 4 2 X 3 = 6 12 – 6 = 6 3 X 4 = – 12 = 8 4 X 5 = – 20 = 10 5 X 6 = – 30 = 12 6 X 7 = 42

Si generalizzerà nella: [( n-1 ) X n]-[n X (n+1)] = 2n

ALTERNATIVE DI A2 (~A2) 1 : i fattori di ogni riga differiscono di 2 uno dall'altro Si ha allora: 1 X 3 X 5 = X 4 X 6 = = 6 X X 5 X 7 = = 6 X X 6 X 8 = = 6 X X 7 X 9 = = 6 X X 8 X 10 = 480 … (n -2) X n X (n+2)...6 X (n-1)

(~A2) 2 : I fattori di ogni riga differiscono di 3 uno dell'altro: 1 X 4 X 7 = X 5 X 8 = = 6 X X 6 X 9 = = 6 X X 7 X 10= = 6 X X 8 X 11 = = 6 X X 9 X 12= 648

Come generalizzare? … (~A2) 3 : 1 tre numeri sono numeri dispari consecutivi 1 X 3 X 5 = X 5 X 7 = X 7 X 9 = X 9 X 11 = X 11X13 = X 13 X 15 = 2145

Altri esempi di alternative. (~A1) 2 : I numeri implicati sono quattro. 1 X 2 X 3 X 4 = 24 2 X 3 X 4 X 5 = X 4 X S X 6 = X 5 X 6 X 7 = X 6 X 7 X 8 = X 7 X 8 X 9 = 3024

Analizzare le modificazioni in 01 e 02. (~AI) 3 : I numeri implicati sono cinque. Si lascia da studiare al lettore. (~A3) 1 : L'operazione che li unisce è l'addizione = = = = = = 21

La 01 diviene: 3 X 2 3 X 3 3 X 4 3 X 5 3 X 6 3 X 7 Quali congetture si possono fare sulla decima riga? E sulla n-esima ? La 02 diviene:

… = 6 3 … = 9 3 … = 12 3 … = 15 3 … = 18 3 … = 21

= = = = = = 30 FARE COMPOSIZIONE Componiamo (~A3) 1 con (~Al) 2 Si ha: Cosa accade se gli addendi sono cinque, cioè (~Al) 3 ° (~A3) 1 ?

Quali previsioni o congetture si possono fare? Altri esempi di composizione. (~A2) 3 ° (~A3) = 9 = 3 X = 12 = 3 X = 15 = 3 X = 18 = 3 X = 21 = 3 X = 24 = 3 X 8

(~A2) 3 ° (~A3) 1 Sì ha allora: = 12 = 3 X = 15 =3 X = 18 = 3 X = 21 = 3 X = 24 = 3 X = 27 = 3 X 9