Quale valore dobbiamo assumere come misura di una grandezza? Come possiamo valutare l’incertezza Dx della misura x?

(x ± Dx) unita di misura Come si esprime correttamente una misura: La misura contiene tutte le informazioni quando è espressa dal valore numerico, dall’unità di misura e dall’incertezza sperimentale associata, espressa nelle medesime unità di misura: (x ± Dx) unita di misura La misura è sempre espressa da un intervallo! x-Dx< valore della misura< x+Dx

La migliore stima della misura In presenza solo di errori casuali si può assumere come miglior stima della misura di una grandezza X la media aritmetica del campione di N misure xi: La media aritmetica è tanto più vicina al valore vero m della misura quanto più N è grande:

Strumento poco sensibile E’ inutile ripetere la misura: si otterrebbe sempre lo stesso risultato. L’errore non può essere inferiore alla sensibilità dello strumento (= la più piccola variazione della grandezza che lo strumento è in grado di apprezzare) Þ in questo caso si assume come errore l’errore di sensibilità. Questo è un errore massimo.

Strumento sensibile ma si dispone di poche misure Si assume come incertezza la semidispersione massima Dx: E’ anch’essa un errore massimo.

Strumento sensibile e si dispone di numerose misure La valutazione più opportuna dell’errore casuale è data dallo scarto quadratico medio σ: Lo scarto quadratico medio fornisce una stima della dispersione della misura attorno al valor medio.

Errore in una misura indiretta. Propagazione degli errori. Sia G=G(x,y,z,….); il suo differenziale è: Assumiamo che l’errore sulle grandezze dirette sia una piccola variazione Δx, Δy, Δz,…per cui l’errore massimo su G si assume essere: Nota la deviazione standard di ciascuna misura diretta e assumendo gli errori indipendenti, l’errore standard su G è dato da:

Errore relativo L’errore relativo sulla misura di una grandezza G è definito come il rapporto tra l’errore assoluto e il valore della misura di G: Numericamente è espresso solitamente in percentuale. Se DG è piccolo si ha: Esempio:

Come si procede in un esperimento Raccolta dei dati sperimentali Rappresentazione grafica Formulazione di una ipotesi Linearizzazione del grafico Determinazione dei parametri dell’equazione

Interpolazione: Metodo grafico 1/2 Attraverso i punti sperimentali in generale si possono tracciare diverse rette. Tracciate quelle corrispondenti alla massima ed alla minima pendenza (amax e amin) e su ciascuna individuate due punti qualsiasi ma scelti opportunamente in modo da semplificare i calcoli. Possiamo quindi assumere come pendenza della retta che meglio approssima i punti sperimentali il valore e come errore il valore

Interpolazione: Metodo grafico 2/2 Il termine noto bbest, può essere determinato come intersezione della retta di pendenza abest (tracciata in modo che abbia una metà circa dei punti sperimentali al di sopra e altrettanti al di sotto) con l’asse delle ordinate. La sua incertezza può essere stimata tracciando altre due rette in modo che una lasci tutti i punti sperimentali al di sotto, l’altra al di sopra e valutando il corrispondente termine noto (bmax e bmin) da cui si ricava per l’errore:

Interpolazione: Metodo dei minimi quadrati Ipotesi: - tutte le misure sono tra loro statisticamente indipendenti - una variabile (in genere quella indipendente x) ha errori trascurabili - i valori delle misure di y sono distribuiti normalmente attorno al valore vero Se la relazione funzionale tra le grandezze x, y è di tipo lineare (y = Ax + B) i parametri A e B sono dati da: