ONDE MECCANICHE Una perturbazione viene trasmessa l’acqua non si sposta Drops of water fall from a leaf into a pond. The disturbance caused by the falling water moves away from the drop point as circular ripples on the water surface.

ONDE: perturbazioni di tipo ondulatorio o oscillatorio che si propagano in un mezzo o nel vuoto trasportando energia. Le onde si dicono meccaniche se si propagano in un mezzo materiale. Le particelle del mezzo comunicano la perturbazione interagendo tra di loro. Perché la perturbazione si propaghi e’ necessaria una forza di richiamo gravitazionale o elastica. impulso FIGURE 13.1 A pulse traveling down a stretched rope. The shape of the pulse is approximately unchanged as it travels along the rope.

Onde trasversali: ogni punto sulla corda si muove perpendicolarmente alla velocità di propagazione dell’onda. FIGURE 13.2 A pulse traveling on a stretched rope is a transverse disturbance. That is, any element of the rope, such as that at P, moves (blue arrows) in a direction perpendicular to the propagation of the pulse (red arrows).

onde trasversali

Onde longitudinali: le particelle del mezzo oscillano attorno alla loro posizione di equilibrio parallelamente Alla velocità di propagazione dell’onda. FIGURE 13.3 A longitudinal pulse along a stretched spring. The displacement of the coils is in the direction of the wave motion. The compressed region moves to the right along the spring.

onde longitudinali acustiche

Onda superficiale nell’acqua

y(x,t)=f(x-vt) oppure y(x,t)=f(x+vt) (onda retrograda) A meno di effetti di distorsione l’impulso si propaga parallelo a sè stesso: la forma resta invariata y = f (x) a t=0. Dopo t lo spostamento verticale del punto P è y = f (x – vt) f(x,t) funzione d’onda FIGURE 13.4 A one-dimensional pulse traveling to the right with a speed v. (a) At t = 0, the shape of the pulse is given by y = f(x). (b) At some later time t, the shape remains unchanged and the vertical position of any element of the medium is given by y = f(x - vt). y(x,t)=f(x-vt) oppure y(x,t)=f(x+vt) (onda retrograda)

Tre “istantanee” di una perturbazione armonica: t = 0 s, t = 1s, t = 2 s. Fissato il tempo la funzione d’onda descrive il comportamento (y) delle varie ascisse x (punti della fune in questo esempio). FIGURE 13.5 (Example 13.1) Graphs of the function y(x, t) = 2.0/[(x - 3.0t)2 + 1] at (a) t = 0, (b) t = 1.0 s, and (c) t = 2.0 s.

Descrizione matematica di un’onda unidimensionale Se osserviamo la propagazione di una perturbazione unidimensionale in un mezzo elastico, in cui le perdite di energia per attrito sono trascurabili, si riscontrano due fatti sperimentali: la perturbazione si propaga mantenendo inalterata la sua forma, la velocità vo con cui essa si propaga è costante. Supponiamo di aver provocato a t0 = 0 , intorno ad xi = 0 una perturbazione di forma y = f(x) che si sposta nella direzione di x positiva con velocità vo. Dopo un tempo Δt = t− t0 = t − 0 = t, tutti i punti della perturbazione si saranno spostati di voΔt = vo t, la perturbazione si troverà nel punto x = xi + vo t e avrà la stessa forma ⇒ y = f(xi) = f(x- vot). Infatti: f(x- v0t)= f(xi + vo t − vo t)= f(xi ).

y = f(xi) = f(x- vot). In conclusione: un’onda unidimensionale y che si propaga con velocità vo nella direzione x positiva è matematicamente descritta da una funzione nelle variabili x e t nella combinazione x−vo t ⇒ y(x,t) = f(x− vo t) Le stesse considerazioni valgono per onde periodiche unidimensionali y(x,t) dove f sarà una funzione periodica di x− vo t.

Essendo un’onda un fenomeno di propagazione nel tempo e nello spazio, possiamo avere due visualizzazioni: a) tempo fissato: per t = cost ⇒ y(x,t) = g(x). Essa è l’andamento dei valori di y in ogni punto dello spazio x in cui si propaga l’onda ma ad un tempo fissato (foto del fenomeno ondulatorio)

b) posizione fissata: per x = cost ⇒ y(x,t) = h(t) b) posizione fissata: per x = cost ⇒ y(x,t) = h(t). Essa è l’andamento dei valori di y in funzione del tempo di un punto fissato dello spazio in cui si propaga l’onda (moto di un punto del mezzo disturbato dall’onda)

Limitiamo solo studio alle onde sinusoidali cioè alle funzioni del tipo y = sinx che scriviamo come: λ = lunghezza d’onda dimensioni di una lunghezza (m) A =ampiezza    

Onde sinusoidali

I singoli punti oscillano come oscillatori armonici semplici t fisso cresta Onda sinusoidale: I singoli punti oscillano come oscillatori armonici semplici lunghezza d’onda l [m] periodo T [s] frequenza f = 1/ T [1/s] V = l / T [m/s] ampiezza A [m] numero d’onda k=2p/l [rad/m] pulsazione ω= 2p/T [rad/s] x fisso FIGURE 13.6 (a) A graph of the y position of elements of a medium versus x position, measured along the length of the medium. The wavelength  of a wave is the distance between adjacent crests or adjacent troughs. (b) A graph of the y position of one element of the medium as a function of time. The period T of the wave is the same as the time interval required for the element to complete one oscillation.

Produzione di onda sinusoidale FIGURE 13.7 One method for producing a sinusoidal wave on a continuous string. The left end of the string is connected to a blade that is set into vibration. Every element of the string, such as the one at point P, oscillates with simple harmonic motion in the vertical direction.

y = A sin (k x – wt) onda verso destra FIGURE 13.8 A one-dimensional sinusoidal wave traveling to the right with a speed v. The brown curve represents a snapshot of the wave at t = 0, and the blue curve represents a snapshot at some later time t.

Fronte d’Onda Nello spazio investito da un’onda tridimensionale, l’insieme dei punti in cui l’onda ha la stessa fase costituisce il cosiddetto fronte d’onda. Se il mezzo è omogeneo ed isotropo, il fronte d’onda è sempre perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda che viene talvolta detta raggio. I fronti d’onda possono avere forme diverse: piani paralleli = onde piane, concentriche = onde sferiche. Le onde piane sono in effetti solo un’approssimazione delle onde sferiche che, a grandi distanze dalla sorgente, possono essere considerate piane per una limitata regione di spazio.

Fronte d’Onda In un mezzo omogeneo e isotropo le onde si propagano in linea retta Il fronte d'onda e' il luogo geometrico dei punti dello spazio a t = costante in cui la fase dell'onda ha lo stesso valore, cioè il luogo dei punti che ad un dato t hanno la stessa ampiezza I fronti d'onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda Vista trasversale Fronte d’onda piano: la sorgente e' una sorgente a simmetria piana a sinistra Fronte d’onda circolare: la sorgente delle onde è una sorgente puntiforme al centro

Le onde trasmettono energia FIGURE 13.16 (a) A pulse traveling to the right on a stretched string on which an object has been suspended. (b) Energy is transmitted to the suspended object when the pulse arrives.

e analogamente l’energia potenziale Conoscendo la velocità di ogni punto di un’onda sinusoidale, si può calcolare l’energia cinetica in una lunghezza d’onda: Kl = 1/4mw2A 2l e analogamente l’energia potenziale Energia totale El = Kl + Ul = 1/2mw2A 2l FIGURE 13.17 A sinusoidal wave traveling along the x axis on a stretched string. Every element, such as the one labeled with its mass m, moves vertically, and each element has the same total energy. The average power transmitted by the wave equals the energy contained in one wavelength divided by the period of the wave.

Energia di un’onda meccanica Ha la stessa struttura dell’energia potenziale della molla   Un’espressione più consona che lega questa espressione alle grandezze che caratterizzano le onde          

Potenza trasportata da un’onda (corda) è proporzionale al quadrato dell’ampiezza e al quadrato della pulsazione (cioè della frequenza).

Onde Meccaniche: velocità di propagazione dipende solo dalle proprietà del mezzo in cui l’onda si propaga. In una corda di densita’ lineare µ = massa/lunghezza (kg/m), soggetta alla tensione T, la velocità di propagazione dell’onda è: FIGURE 13.10 (a) To obtain the speed v of a wave on a stretched string, it is convenient to describe the motion of a small element of the string in a moving frame of reference. (b) The horizontal components of the force T on a small element of length s cancel. The radial components add, so there is a net force in the radial direction.  

Propagazione lungo una barra   E = modulo elastico D = m/V ( densità volumica ) Propagazione di un’onda longitudinale in un fluido   B = modulo di compressione D = m/V ( densità del fluido )

Propagazione delle onde Quando un treno di onde periodiche si propaga, una minima parte dell’energia trasportata è assorbita dal mezzo, la perturbazione si propaga finché non incontra un ostacolo. A seconda della natura dell’onda e dell’ostacolo si possono verificare diverse situazioni: assorbimento dell’energia e quindi dell’onda da pare di un oggetto ( in questo caso non c’è più propagazione); riflessione totale o parziale dell’onda incidente; rifrazione (passaggio) dell’onda attraverso la superficie di separazione tra mezzi diversi; diffrazione (passaggio) dell’onda attraverso fenditure o piccoli fori dell’ostacolo;

Riflessione: propagazione dell’onda in direzione opposta rispetto alla velocità dell’onda incidente contro un ostacolo che impedisce l’attraversamento della perturbazione FIGURE 13.12 The reflection of a traveling pulse at the fixed end of a stretched string. The reflected pulse is inverted, but its shape remains the same.

Se l’estremità della corda è libera l’impulso incidente viene riflesso senza essere invertito FIGURE 13.13 The reflection of a traveling pulse at the free end of a stretched string. In this case, the reflected pulse is not inverted.

Contemporanea riflessione e trasmissione delle onde Nella corda più spessa l’onda viaggia più lentamente Un impulso in moto verso destra in una corda leggera legata ad una più pesante. L’impulso incidente viene parzialmente riflesso (ed invertito), e parzialmente trasmesso alla corda più pesante.

Leggi della riflessione Riflessione di un treno di onde piane rappresentate sia come superfici d’onda sia come raggi. Riflessione sopra una superficie pianadi un treno di onde circolari rappresentate mediante superfici d’onda. Riflessione di un’onda piana rappresentata con un solo raggio e una sola superficie d’onda Leggi della riflessione Ia legge: il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie di incidenza sono complanari. IIa legge: l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione.

Rifrazione delle onde: passaggio di una perturbazione ondulatoria da un mezzo ad un altro caratterizzato da una diversa velocità di propagazione Rifrazione di onde piane dirette verso l’alto. Le onde passano da una zona di acqua più profonda ad una meno profonda. Rifrazione di onde piane

Leggi della rifrazione AB superficie di separazione. Il fascio di onde piane viene in parte riflesso e in parte rifratto Leggi della rifrazione Ia legge: il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale alla superficie di separazione tra i due mezzi sono complanari. IIa legge: il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza e il seno dell’angolo di rifrazione è costante. (seni)/senr) = n1,2 N1,2 dipende dalla particolare coppia di mezzi considerati.

Diffrazione: propagazione delle onde dopo che queste incontrano un ostacolo munito di un foro o di una piccola fenditura. Figure di diffrazione prodotte da un treno di onde piane contro un ostacolo munito di un’apertura di diverse dimensioni (dimensione dello stesso ordine di grandezza di l). Un treno di onde piane, dopo aver incontrato una sbarrette disposta parallelamente al fronte d’onda, muta la sua configurazione: raggira l’ostacolo invadendo lo spazio retrostante alla sbarretta. Figura di diffrazione prodotta da un treno di onde piane contro un ostacolo munito di un foro (dimensione molto minore l).

Esperimento con una vaschetta ondoscopica. Onde con fronte d’onda piano vengono generate e spinte verso un ostacolo, che ha un foro attraverso cui il liquido passa. Al di là dell’ostacolo si osservano onde sferiche propagarsi in tutte le direzioni. Si tratta del fronte d’onda secondario generato nel punto che corrisponde al foro nella barriera. Questo vale anche per la luce. Basti pensare al fatto che la luce si propaga in tutte le direzioni quando entra attraverso un foro in una stanza buia.

Una sorgente di luce emette radiazione nello spazio circostante, che si propaga sottoforma di onde sferiche. I punti del singolo guscio sferico formano il cosiddetto fronte d’onda e la direzione di propagazione dell’onda è sempre ortogonale al fronte d’onda. Principio di Huygens Ogni punto del fronte d’onda è sorgente di un fronte d’onda secondario che ha una forma sferica. Il nuovo fronte d’onda è l’inviluppo di tutti i fronti d’onda secondari.

Inviluppo: L'inviluppo può essere pensato come un modo di derivare (ottenere) una nuova curva basata su una famiglia di curve dipendenti da un parametro. L'inviluppo di una famiglia di curve è una curva C tale che C è tangente a ciascun elemento della famiglia. (Ricorda che due curva sono tangenti l'una con l'altra in un punto se in quel punto hanno una tangente comune). Nella figura a lato la parabola y=4/3x² è ottenuta come inviluppo del fascio di parabole di equazione: y=x²+ax+a²

Ellisse come inviluppo delle sue tangenti

Bolle di Sapone … e Macchie d’Olio Cosa produce questi bellissimi colori ? 4- Onde, Interferenza e Diffrazione E.Sassi, L.A. Smaldone

Altri Esempi di Bellissimi Colori … 4- Onde, Interferenza e Diffrazione E.Sassi, L.A. Smaldone

Sono solo Configurazioni di Differenze di Fase! Interferenza da Film Sottile Interferenza construttiva e distruttiva di onde luminose su lamine sottili di spessore variabile, come le bolle di sapone, forma coloriti e cangianti disegni. Sono la prova della natura ondulatoria della luce 4- Onde, Interferenza e Diffrazione E.Sassi, L.A. Smaldone 43 43

Sovrapposizione di onde o interferenza Principio di sovrapposizione Se due o più onde che si propagano in un mezzo e si combinano in un punto, lo spostamento risultante è la somma degli spostamenti delle singole onde.

FIGURE 14.1 (Left) Two pulses traveling on a stretched string in opposite directions pass through each other. When the pulses overlap, as in (b) and (c), the net displacement of each element of the string equals the sum of the displacements produced by each pulse. Because each pulse produces positive displacements of the string, we refer to their superposition as constructive interference. (Right) Photograph of the superposition of two equal and symmetric pulses traveling in opposite directions on a stretched spring.

FIGURE 14.2 (Left) Two pulses traveling in opposite directions with displacements that are inverted relative to each other. When the two overlap as in (c), their displacements subtract from each other. (Right) Photograph of the superposition of two symmetric pulses traveling in opposite directions, where one is inverted relative to the other.

Sovrapposizione di due onde sinusoidali uguali ma con una differenza interferenza costruttiva Sovrapposizione di due onde sinusoidali uguali ma con una differenza di fase interferenza distruttiva FIGURE 14.3 The superposition of two identical waves y1 and y2. (a) When the two waves are in phase, the result is constructive interference. (b) When the two waves are  rad out of phase, the result is destructive interference. (c) When the phase angle has a value other than 0 or  rad, the resultant wave y falls somewhere between the extremes shown in (a) and (b). interferenza normale

ondoscopica in cui sono presenti due “generatori” di onde sferiche. Quando due (o più) onde si incontrano si assiste ad un fenomeno detto interferenza. Nella figura a sinistra è rappresentato un altro esperimento con una vaschetta ondoscopica in cui sono presenti due “generatori” di onde sferiche. Si riconoscono regioni in cui i fronti d’onda si sommano e altre in cui si annullano. Si ha interferenza costruttiva quando si sommano due onde in fase, cioè due onde che hanno massimi (e quindi minimi) coincidenti. Si ha interferenza distruttiva quando un’onda cancella l’altra, e questo avviene quando le onde sono in opposizione di fase, cioè quando i massimi dell’una coincidono con i minimi dell’altra.

Il fenomeno dell’interferenza si verifica anche per le onde luminose, in questo caso si parla di frange di interferenza costruttiva o distruttiva Interferenza a due fenditure: Esperimento che mostra la posizione dei massimi e dei minimi (frange di interferenza costruttiva e distruttiva) in funzione della distanza tra le fenditure.