L’ipotesi di Newton e la sua verifica con la Luna

Le conoscenze di Newton Le tre leggi di Keplero L’orbita dei pianeti è un ellisse….. Il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali I quadrati dei periodi sono proporzionali ai cubi dei semiassi orbitali… Le tre leggi della dinamica Per accellerare un corpo ci vuole una forza… L’accellerazione è proporzional alla forza applicata Ad ogni azione corrisponde una reazione ….

𝑭=𝒎 𝝎 𝟐 R dove 𝒎 è la massa del pianeta 𝝎 è la velocità angolare Se l’orbita di un pianeta non è rettilinea, allora deve esserci una forza ad accelerarlo e nel caso sia circolare… 𝑭=𝒎 𝝎 𝟐 R dove 𝒎 è la massa del pianeta 𝝎 è la velocità angolare R la distanza tra i centri Sole-pianeta

Utilizzando la terza legge di Keplero… 𝑷 𝟐 ∝ 𝑹 𝟑 𝝎= 𝟐𝝅 𝑷 F∝ 𝒎𝟒 𝝅 𝟐 𝑹 𝟑 𝐑 𝑭= 𝑮𝒎𝑴 𝑹 𝟐

Pare plausibile, ma come verificare tutto ciò? Newton non conosce né la massa della Terra, né la massa del Sole Non conosce nemmeno il valore della costante di proporzionalità G G viene misurata per la prima volta nel 1798 da Cavendish La massa della Terra viene calcolata subito dopo, utilizzando G

Newton suppone che la forza peso abbia la stessa natura di quella attrattiva tra il Sole e un pianeta 𝑚𝑔= 𝑮𝒎𝑴 𝑹 𝟐 𝑔= 𝑮𝑴 𝑹 𝟐 L’accellerazione che un corpo sperimenta in prossimità di un altro è inversamente proporzionale al quadrato della distanza

Newton conosceva alcune cose… Il raggio della Terra r pari a 3960 miglia La distanza Terra-Luna, pari a 60 volte il raggio terrestre R=60r Il periodo siderale della Luna T=27,322 g.s.m. L’accellerazione di gravità alla superficie della Terra. Sa che un corpo cade di 16 piedi nel primo secondo di caduta. Poiché 𝑠= 1 2 g 𝑡 2 da cui g= 2𝑠 𝑡 2 =32 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑖 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜

Con questi dati la sua legge può essere verificata…. Se in E l’accellerazione di gravità è g, in D essa vale 𝑔𝐿= 𝑔𝑇 (60) 2 = 32 3600 piedi/sec2

Rispetto al suo percorso inerziale, la Luna deve cadere verso la Terra del tratto CD…. 𝐶𝐷= 1 2 gL 𝑡 2 Dopo un secondo 𝐶𝐷= 1 2 32 3600 1 2 𝐶𝐷=0.0533 pollici Essendo 1 piede = 12 pollici

Devo trovare lo stesso risultato con un ragionamento puramente geometrico 𝐶𝐷≅ 𝐵𝐸 ∅ 2 2 ∅= 2𝜋 𝑃𝐿 = 2𝜋 27,322∗24∗60∗60 =0,0000026617 𝑅𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐 𝐵𝐸=3960∗60∗5280∗12=1,505∗1010 “ 𝐶𝐷≅0.053 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑖𝑐𝑖 Essendo 1 miglio =5280 pollici

Verificata la sua ipotesi, Newton passa a ritrovare la leggi di Keplero utilizzando le tre leggi della dinamica e la sua legge universale di gravità……