Giochiamo con le dimensioni

Bibliografia essenziale E. Abbott Flatlandia Ed Adelfi R. Rucker La quarta dimensione Ed. Adelfi R. Hersh Cos’è davvero la matematica Ed Baldini Castoldi T. Banchoff Oltre la terza dimensione Ed. Zanichelli

premessa La matematica è umana. Fa parte dell’umanità ed è integrata nella realtà storico sociale dell’epoca La matematica non è infallibile. Al pari di tutte le scienze, la matematica, può avanzare compiendo errori, correggendoli e ricorrengendoli

Il davanti della matematica Seguendo l’impostazione del sociologo americano E. Goffman, possiamo estendere anche alla matematica i concetti di davanti e dietro, tipici di tutte le attività umane La matematica del davanti è precisa, formale, ordinata e astratta. E’ suddivisa in definizioni, teoremi e osservazioni. la matematica del dietro è frammentaria, informale, intuitiva, procede per tentativi ed errori.

Dimensioni Noi parliamo di un mondo a tre dimensioni intendendo che ci possiamo muovere nello spazio con 3 gradi di libertà su/giù, avanti/dietro, destra/sinistra. In effetti la posizione sulla terra è perfettamente individuata da 3 informazioni: latitudine, longitudine e altezza sul livello del mare. In realtà normalmente sulla superficie terrestre abbiamo solo 2 gradi di libertà, almeno che non ci mettiamo a saltellare, se nuotiamo sott’acqua invece ne abbiamo proprio tre, se viaggiamo su di una pista solo uno.

Dimensione tempo Nella fisica di Einstein viene aggiunta la dimensione tempo. L’idea non è poi così strana se pensiamo che se vogliamo incontrarci con una persona dobbiamo fissare, per incontrarci veramente oltre alla posizione anche l’ora. Noi però qui vorremmo parlare della quarta dimensione spaziale e questa è difficilissima o meglio impossibile da visualizzare.

Quarta dimensione Nessuno è in grado di indicarla. E’ un argomento di meditazione per filosofi e mistici. I fisici e i matematici la utilizzano per i loro calcoli. E’ parte integrante di molte serie teorie scientifiche. Viene abilmente e abbondantemente sfruttata nello spiritismo e nella fantascienza

Platone Possiamo in qualche modo comprenderla, ragionando per analogia. Questo è un metodo nient’affatto originale. Pensiamo a Platone e al mito della caverna. Anche lì persone tridimensionali sono convinte di essere ombre.

Scopriamo le caratteristiche di un cubo 4-dimensionale Gioco numero 1: Scopriamo le caratteristiche di un cubo 4-dimensionale

Dal punto all’ipercubo

1 2 4 8 12 6 16 32 24 Vertici Dim 0 spigoli Dim 1 facce Dim 2 volumi Cubo 0-dim punto 1 Cubo 1-dim segmento 2 Cubo 2-dim quadrato 4 Cubo 3dim cubo 8 12 6 Cubo 4-dim ipercubo 16 32 24

Troviamo le misure delle diagonali di un cubo 4-dimensionale GIOCO NUMERO 2: Troviamo le misure delle diagonali di un cubo 4-dimensionale

Teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo, il quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma delle misure dei cateti elevate al quadrato. a2 = b2 + c2 a b c

Diagonale di un quadrato di lato l = l√2 l2+ l2 = 2l2 Diagonale di un cubo di lato l = l√3 2 l2+ l2 = 3l2 Diagonale di un ipercubo di lato l = 2l 3l2+ l2 = 4l2

commento Un cubo a 4, 5 dimensioni esiste? Dove si trova? Se non esiste come abbiamo fatto a scoprire tante cose su di lui? E un 3-cubo esiste? Tutti gli oggetti fisici che chiamiamo cubi in realtà lo sono solo approssimativamente. Solo un 3-cubo matematico e veramente un cubo, dunque non c’è tanta differenza fra il chiedersi se esiste un 3- cubo o un 4-cubo

Rappresentazione di un cubo 3D su di un foglio

Utilizzo delle sezioni per rappresentare oggetti 3-dim I botanici del secolo scorso utilizzavano sottili sezioni messe fra vetrini e poi osservate al microscopio. Le linee altimetriche su una carta geografica. Con la TAC e la Risonanza Magnetica si ottiene una visione tridimensionale dell’organo malato facendo prima una serie di immagini, opportunamente distanziate e poi mettendole in sequenza e interpolando con il computer le parti mancanti.

Sviluppo dell’ipercubo nello spazio tridimensionale

Proiezione centrale di un ipercubo dallo spazio a 4 a quello a 3 dimensioni

Cosa cambia nella realtà se il numero di dimensioni è diverso da tre?

In una realtà a 2 dimensioni non possiamo sovrapporre il contorno di una mano destra con sinistra non possiamo vedere il contenuto di un recinto non riusciamo a vedere il percorso del labirinto non può esistere un organismo con un apparato digerente con bocca distinta dall’ano non possiamo fare un nodo ad una fune

Se la realtà avesse 4 dimensioni I chirurghi potrebbero eseguire operazioni senza tagliare la pelle. Potremmo trasformare una scarpa destra in una sinistra. Nessun nodo rimarrebbe tale, in una fune.

Cenni alla quarta dimensione nella letteratura e nell’arte Vari films di fantascienza et similia (es. Poltergeist di Spielberg) Paradiso di Dante Ipercubo di Pierelli Crocefissione di Salvador Dalì Flatlandia di Abbott

Dante e l’ipersfera il fisico romeno Horia-Roman Patapievici, ma anche altri studiosi pensano che il Paradiso di Dante sia una ipersfera

Per capirci invece di parlare di una ipersfera con sezioni delle sfere , parliamo di una sfera con sezioni circonferenze Partiamo da un punto sulla sfera, in cui localizziamo la Terra, e rappresentiamo i vari cieli celesti, a cominciare da quello della Luna, mediante circonferenze concentriche via via sempre più grandi fino ad arrivare a quella massima: il "Primum Mobile". Proseguiamo, poi, con le circonferenze corrispondenti ai cieli degli angeli, da quello angelico della Luna a quello dei Serafini, il più vicino a Dio, che diventano sempre più piccole fino a ridursi ad un punto: l'Empireo. Si otterrà il modello rappresentato dalla figura a lato. Così, il «ciel ch’è pura luce», oltre che la residenza di Dio, rappresenta il punto ai nostri "antipodi" nell'Universo.