Definizione di determinante Considerata la matrice A appartenente all’insieme delle matrici quadrate M, di ordine n qualunque, e l’insieme dei numeri reali R diremo determinante di A e lo indichiamo con Det A oppure con A una funzione che associa alla matrice A un numero reale r Det: M R ∀ A M r  R

Minore complementare Considerata la matrice A di ordine n e l’elemento aij appartenente ad essa diremo minore complementare dell’elemento aij il determinante della matrice quadrata di ordine n-1 ottenuta sopprimendo in A la iesima riga e la jesima colonna. Esempio: considerata 1 3 0 -2 1 0 -1 2 0 4 A = 1 2 1 1 -3 2 1 0 1 1 -1 -2 1 -1 0 Il minore complementare dell’elemento a13 è 0 -1 0 4 1 2 1 -3 2 1 1 1 -1 -2 -1 0

Complemento algebrico L’elemento aijA, matrice quadrata di ordine n, è detto di classe pari se i + j è un numero pari mentre aij è di classe dispari se i + j è un numero dispari. Diremo complemento algebrico dell’elemento aij e lo indichiamo con Aij, il minore complementare di aij preceduto dal segno + se aij è pari dal segno – se aij è dispari. Esempio: 1 -3 2 A = 0 1 -1 -2 4 -1 Il complemento algebrico di a12 è: A12 = – 0 -1 -2 -1

Calcolo del determinante Per definizione il determinante di una matrice quadrata del primo ordine è uguale al numero stesso che forma la matrice. Esempio: A = [3] A = 3 Per definizione il determinante di una matrice quadrata del secondo ordine è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria, cioè: a11 a12 = a11∙ a22 – a12 ∙ a21 a21 a22 Esempio: 3 -1 2 1 = 3 ∙ 1 – (-1) ∙ 2 = 3 + 2 = 5

Calcolo del determinante del terzo ordine mediante la regola di Sarrus Scritti gli elementi della matrice alla sua destra si scrivono le sue prime due colonne, si calcola il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi delle linee ad essa parallele con tre elementi, quindi alla loro somma si sottrae la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria e dei prodotti degli elementi delle linee ad essa parallele con tre elementi. Cioè: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a2 = (a11∙ a22∙ a33 + a12∙ a23∙ a31 +a13∙ a21∙ a32) – (a13∙ a22∙ a31 + a31 a32 a33 a31 a32 a11∙ a23∙ a32 + a12∙ a21∙ a33 ) Esempio: 3 2 0 3 2 0 3 2 1 -1 1 = 1 -1 1 1 -1 = (– 12 – 4 + 0) – (0 + 3 + 8) = – 16 – 11 = – 27 -2 1 4 -2 1 4 -2 1

Calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine n ≥ 3 Il determinante di una matrice quadrata di ordine n ≥ 3 è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici. Esempi: 3 2 0 1 -1 3 2 3 2 1 -1 1 =0 ∙ -2 1 –1 ∙ -2 1 +4 ∙ 1 -1 = –1 ∙ (3 + 4) + 4∙ (–3 –2)= –7 –20= –27 -2 1 4 3 0 1 -1 1 2 1 0 3 1 -1 1 -1 3 -1 0 -2 0 0 = +2∙ 1 1 0 = +2∙ -1 2 1 +1 1 1 = +2∙[-1∙(1+2)+1(3+1)]=2∙(-3+4)=2 1 1 2 1 1 2 1

Proprietà dei determinanti Il determinante di un matrice quadrata i cui elementi di una qualsiasi riga o colonna sono tutti nulli è nullo. Esempio: 3 0 -2 1 0 4 = 0 -1 0 2 Il determinante di un matrice quadrata i cui elementi di una qualsiasi riga o colonna sono eguali o proporzionali ad un’altra riga o colonna è nullo Esempi: 2 -1 4 1 5 2 = 0 essendo la terza colonna ottenuta moltiplicando per 2 la prima colonna -1 3 -2 Infatti: 2 -1 4 5 2 1 2 1 5 1 5 2 = 2 ∙ 3 -2 + 1 ∙ -1 -2 + 4 ∙ -1 3 = 2 ∙(-10 – 6 ) + (-2 + 2) + 4 ∙(3 + 5)=-32+32=0 -1 3 -2

1 3 -1 2 2 1 0 1 1 3 -1 2 = 0 essendo la terza riga eguale alla prima 4 -2 -1 0 infatti: 1 3 -1 2 2 1 0 1 3 -1 2 1 -1 2 1 3 2 1 3 -1 2 =-4∙ 1 0 1 -2∙ 2 0 1 +1∙ 2 1 1 = 4 -2 -1 0 3 -1 2 1 -1 2 1 3 2 -4∙ 3∙ 0 1 +1∙ 1 1 +2∙ 1 0 -2∙ 1∙ 0 1 +1∙ 2 1 +2∙ 2 0 +1∙ 1∙ 1 1 -3∙ 2 1 +2∙ 2 1 = -1 2 3 2 3 -1 -1 2 1 2 1 -1 3 2 1 2 1 3 -4 ∙ [3 ∙(0+1)+1(2- 3)+2 ∙(-1+0)] -2 ∙[1 ∙(0+1)+1 ∙(4-1)+2∙(-2+0)]+1 ∙[1 ∙(2-3)-3 ∙(4-1)+2 ∙(6-1)]= -4 ∙ [3 ∙1+1(-1)+2 ∙(-1)] -2 ∙[1 ∙1+1 ∙3+2∙(-2)]+1 ∙[1 ∙(-1)-3 ∙3+2 ∙5]= -4 ∙ [3 -1 -2] -2 ∙[1+3-4]+1 ∙[ -1-9+10]= -4 ∙ 0 -2 ∙0+1 ∙0=0

Il determinante di una matrice quadrata di ordine n qualunque non cambia se ad una qualsiasi riga o colonna aggiungiamo una riga o colonna moltiplicata per una costante k≠0. Esempio: 3 2 0 3 2 0 1 -1 1 = 1 -1 1 dove gli elementi della prima e seconda riga del secondo -2 1 4 0 -1 6 determinante sono eguali a quelli del primo determinante mentre quelli della terza sono ottenuti sommando a quelli della terza riga del primo determinante gli elementi della seconda riga moltiplicati per 2 infatti 3 2 0 1 -1 1 = 3∙ -1 1 -2∙ 1 1 = 3∙(-4-1)-2∙(4+2)= -15-12 =-27 -2 1 4 1 4 -2 4 e 3 2 0 1 -1 1 = 3∙ -1 1 -2∙ 1 1 = 3∙(-6+1)-2∙(6+0)= -15-12 =-27 0 -1 6 -1 6 0 6

Scambiando fra loro le righe, o le colonne, il determinante cambia segno se si fanno un numero dispari di scambi resta invariato se si fanno un numero pari di scambi. Esempio: considerate le matrici 3 0 1 A = -2 1 -1 4 2 5 -2 1 -1 B = 3 0 1 ottenuta da A scambiando la prima riga con la seconda (1 scambio) 4 2 5 e -2 1 -1 C = 4 2 5 ottenuta da A scambiando la prima riga con la seconda e questa con la terza (2 scambi) 3 0 1 si ha: 3 0 1 A = -2 1 -1 = 3∙ 1 -1 +1∙ -2 1 = 3∙(5 + 2)+1∙(-4 - 4)=3 ∙7+1∙(-8)= 21 - 8 =13 4 2 5 2 5 4 2 -2 1 -1 B = 3 0 1 = -2∙ 0 1 -1∙ 3 1 -1∙ 3 0 = -2∙ (0 -2) -1∙ (15 – 4) -1∙ (6 – 0) = 4 - 11 - 6 = -13 4 2 5 2 5 4 5 4 2 -2 1 -1 C = 4 2 5 = -2∙ 2 5 -1∙ 4 5 -1∙ 4 2 = -2∙(2 – 0) -1∙ (4 – 15) -1∙(0 – 6)=-4 +11 +6 = 13 3 0 1 0 1 3 1 3 0

Se si moltiplicano o dividono gli elementi di una qualsiasi riga o colonna per un numero k ≠ 0 il determinante resta moltiplicato o diviso per k. Esempio. Considerate le matrici 3 -1 2 3 -2 2 A = 0 4 -3 B = 0 8 -3 dove la seconda colonna di B è ottenuta 1 2 -1 1 4 -1 moltiplicando per 2 la seconda colonna di A si ha: 3 -1 2 A = 0 4 -3 = 3 ∙ 4 -3 + 1 ∙ -1 2 = 3 ∙ ( -4 + 6) + (3 – 8) = 6 – 5 = 1 1 2 -1 2 -1 4 -3 3 -2 2 B = 0 8 -3 = 3 ∙ 8 -3 + 1 ∙ -2 2 = 3 ∙ (-8 +12) + (6 – 16) = 12 – 10 = 2 =2 ∙ 1 1 4 -1 4 -1 8 -3

La somma dei prodotti degli elementi di un riga o colonna per i complementi algebrici di un’altra riga o colonna è nulla (Teorema di Laplace), cioè considerata la matrice A di ordine n qualunque si ha per esempio: a11∙ A21 +a12∙ A22 +a13∙ A23 + …………+a1n∙ A2n = 0 Esempio: considerata 1 -3 4 A = 2 1 -1 1 0 1 si ha: a11∙ A12 +a21∙ A22 +a31∙ A32=1∙ 2 -1 – 2∙ 1 4 + 1∙ 1 4 =1∙(2+1) – 2 ∙(1-4) +1 ∙(-1-8)= 1 1 1 1 2 -1 = 3 + 6 – 9 = 0

∙ Considerate le matrici quadrate dello stesso ordine A e B e il loro prodotto C, il determinante di C è eguale al prodotto del determinante di A per il determinante di B (Teorema di Binet); cioè C = A ∙ B C = A ∙ B Esempio 1 0 2 3 1 -1 A = 1 -1 1 B = 0 -2 1 0 3 4 1 3 2 1∙3+0 ∙0+2 ∙1 1 ∙1+0 ∙(-2)+2 ∙3 1 ∙(-1)+0 ∙1+2 ∙2 5 7 3 C = A ∙ B = 3 ∙1-1 ∙0+1 ∙1 1 ∙1-1 ∙(-2)+1 ∙3 1 ∙(-1)- 1 ∙1+1 ∙2 = 4 6 0 0 ∙3+3 ∙0+4 ∙1 0 ∙1+3 ∙(-2)+4 ∙3 0 ∙(-1) +3 ∙1+4 ∙2 4 6 11 1 0 2 A = 1 -1 1 = 1∙ -1 1 +2∙ 1 -1 = 1∙( -4-3)+2∙ (3+0) = -7 + 6 = -1 0 3 4 3 4 0 3 3 1 -1 B = 0 -2 1 = 3 ∙ -2 1 +1∙ 1 -1 = 3 ∙( -4 -3) +1∙(1-2) = -21 -1 = -22 1 3 2 3 2 -2 1 5 7 3 C = 4 6 0 = -4 ∙ 7 3 +6 ∙ 5 3 = -4 ∙(77-18) +6 ∙(55-12) = -4 ∙59 +6 ∙43 = - 236 +258 = 22 = -1 ∙ (-22) 4 6 11 6 11 4 11

Il determinante della matrice unitaria è eguale ad 1 esempio: 1 0 0 I = 0 1 0 = 1 ∙ 1 0 = 1∙ (1 – 0) = 1 0 0 1 0 1 ∙ Il determinante della matrice scalare, di ordine n, i cui elementi della diagonale principale sono eguali ad k ≠ 0 è eguale a kn esempio: 2 0 0 0 2 0 = 2 ∙ 2 0 = 2∙ (2 ∙ 2 - 0∙) = 2 ∙ 4 = 8 = 23 0 0 2 0 2 ∙ Il determinante di una matrice diagonale è eguale al prodotto degli elementi della diagonale principale esempio: 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 3 ∙ 0 -2 0 = 3 ∙ 1 ∙ -2 0 = 3 ∙ 1 ∙[-2 ∙(-1) – 0 ∙ 0)] = 6 0 0 -2 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 -1 ∙ Il determinante di una matrice triangolare alta o bassa è eguale al prodotto degli elementi della diagonale principale esempio: 2 0 0 -1 3 0 = 2 ∙ 3 0 = 2 ∙ (3 ∙ 4 - 0 ∙ 1) = 24 = 2 ∙ 3 ∙ 4 5 1 4 1 4

Il determinante di due matrici quadrate di ordine n fra loro trasposte è eguale Esempio: 2 -3 1 2 1 0 A = 1 0 4 AT = -3 0 -1 0 -1 3 1 4 3 2 -3 1 A = 1 0 4 = 2 ∙ 0 4 - 1 ∙ -3 1 = 2 ∙ (0 + 4) -1 ∙ (-9 +1) = 8 +8 = 16 0 -1 3 -1 3 -1 3 2 1 0 AT = -3 0 -1 = 2 ∙ 0 -1 -1∙ -3 -1 = 2 ∙ (0 + 4) -1 ∙( -9 +1) = 8 +8 = 16 1 4 3 4 3 1 3

Matrice inversa Considerata la matrice quadrata A di ordine n, diremo sua inversa, se esiste, la matrice quadrata A-1 di ordine n tale che A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I con I matrice identica di ordine n. Nel caso in cui A ammette inversa (l’inversa è unica) la matrice è detta invertibile. Una matrice quadrata di ordine n qualunque è detta singolare o degenere se il suo determinante è nullo;nel caso in cui il determinante è diverso da zero è detta non singolare o regolare. Esempio: poiché la matrice 3 1 0 A = 4 -2 1 -3 0 1 ha determinante A = 4 -2 1 = 3∙ -2 1 -1∙ 4 1 = 3∙( -2 -0) -1∙( 4 +3) = -6 -7 = - 13 ≠ 0 -3 0 1 0 1 -3 1 essa è non singolare.

Teorema: una matrice quadrata di ordine n qualunque ammette inversa se e solo se è non singolare. Esempi: Poiché A = 1 3 2 -5 ha determinante A = 1 3 = -5 – 6 = -11 ≠ 0 essa è non singolare e quindi ammette 2 -5 inversa. Poiché 2 -1 1 B = 0 1 3 4 -2 2 ha determinante 2 -1 1 B = 0 1 3 = 2∙ 1 3 + 4∙ -1 1 = 2∙ (2+6) +4∙ (-3-1)= 16 – 16 = 0 4 -2 2 -2 2 1 3 è singolare e quindi non ammette inversa.

Matrice aggiunta Considerata la matrice a11 a12 a13 … … … … … … … … … a1n a21 a22 a23 … … … … … … … … … a2n A = a31 a32 a33 … … … … … … … … … a3n … … … … … … … … … … … … an1 an2 an3 … … … … … … … … … ann e quindi la sua trasposta a11 a21 a31 … … … … … … … … … an1 a12 a22 a32 … … … … … … … … … an2 AT = a13 a23 a33 … … … … … … … … … an3 a1n a2n a3n … … … … … … … … … ann e detti Aki i complementi algebrici della trasposta, la matrice, che indichiamo con A+, i cui elementi sono tali complementi algebrici è detta matrice aggiunta; quindi A11 A21 A31 … … … … … … … … … An1 A12 A22 A32 … … … … … … … … … An2 A+ = A13 A23 A33 … … … … … … … … … An3 A1n A2n A3n … … … … … … … … … Ann è la matrice aggiunta di A

La matrice inversa A-1 è la matrice i cui elementi sono uguali agli elementi della matrice aggiunta A+ ciascuno diviso per il determinante D della matrice A,cioè: A11 A21 A31 … … … … … … … … … An1 D D D D A12 A22 A32 … … … … … … … … … An2 D D D D A-1 = A13 A23 A33 … … … … … … … … … An3 D D D D … … … … … … … … … … … … A1n A2n A3n … … … … … … … … … Ann D D D D Esempio: 1 -2 1 1 -2 1 A = 0 1 -1 D = 0 1 -1 = 1∙ 1 -1 +2∙ -2 1 = 1∙(1+0)+ 2∙(2-1) = 1+2 = 3 2 0 1 2 0 1 0 1 1 -1 A11 = 1 -1 = 1 A12 =- 0 -1 = -2 A13 = 0 1 = -2 A21 =- -2 1 = 2 A22 = 1 1 =1-2 =-1 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 A23 =- 1 -2 =-4 A31 = -2 1 =2-1 =1 A32 =- 1 1 = 1 A33 = 1 -2 = 1 2 0 1 -1 0 -1 0 1 quindi la matrice inversa è: 1 2 1 3 3 3 A-1 = -2 -1 1 3 3 3 -2 - 4 1 3 3 3

infatti: 1 -2 1 1 2 1 A ∙ A-1 = 0 1 -1 ∙ 3 3 3 2 0 1 -2 -1 1 = 3 3 3 -2 -4 1 3 3 3 1 + 4 – 2 2 + 2 – 4 1 – 2 + 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 0 – 2 + 2 0 – 1 + 4 0 + 1 – 1 = 3 3 3 3 3 3 2 + 0 – 2 4 + 0 – 4 2 + 0 +1 3 3 3 3 3 3 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1