Sistemi di numerazione

Rappresentazione numerica posizionale a base dieci Il sistema di rappresentazione posizionale permette di rappresentare tutti i numeri, comunque grandi, mediante un insieme di pochi simboli, chiamati CIFRE che assumono significato diverso secondo la posizione che essi occupano.

Questo sistema di rappresentazione venne inventato dagli Indù e venne poi introdotto in Europa dagli arabi. Nel sistema posizionale a base dieci si hanno DIECI CIFRE che rappresentano i numeri: 0 (zero) 1 (uno) 2 ( due ) 3 (tre) 4 (quattro) 5 (cinque) 6 (sei) 7 (sette) 8 (otto) 9 (nove)

Al numero che , nella successione ordinata dei numeri interi assoluti,viene dopo il nove (il dieci ), non si attribuisce un simbolo nuovo . Esso viene rappresentato mediante due dei dieci simboli già prefissati, scrivendo: 10

Così mentre la cifra 1, scritta da sola, rappresenta l’unità, seguita dalla cifra 0 viene a rappresentare la somma di dieci unità, cioè una decina . I numeri successivi al dieci, si rappresentano sommando via via una unità al numero rappresentato dalla cifra di destra: 11 , 12 , 13 ,14 ,……..,19

Aggiungendo ancora un’unità alla cifra di destra, si ottiene una decina che sommata alla decina rappresentata dalla cifra 1 alla sinistra di 9 dà due decine , che indicheremo con la scrittura : 20 Si procede così fino al novantanove (99).

In questo modo si procede per rappresentare numeri sempre più grandi. Aggiungendo ancora un’unità si ottengono dieci decine (un centinaio ) che si rappresenta con la cifra 1 seguita da due zeri. 100 In questo modo si procede per rappresentare numeri sempre più grandi.

E ‘ chiaro così il significato del nome POSIZIONALE per questo tipo di rappresentazione numerica: le cifre che si usano per scrivere un numero non hanno un significato intrinseco, ma assumono diversi significati secondo la posizione che occupano.

Il sistema posizionale descritto, si dice a BASE DIECI poiché ogni cifra posta in una certa posizione, rappresenta il numero di gruppi di dieci unità dell’ordine immediatamente inferiore (cioè di quelle che si scrivono alla sua destra). ESEMPIO

Rappresentazione posizionale a base qualsiasi L’aver scelto proprio DIECI CIFRE per rappresentare i numeri in forma posizionale non ha nessuna necessità logica. Qualsiasi numero di cifre, purché maggiori di uno , andrebbe benissimo dal punto di vista teorico.

Supponiamo di scegliere la base OTTO . Su tutti i tipi di base è prevalsa sicuramente la base DIECI perché dieci sono le dita delle mani dell’uomo, e contare le dita è sempre stato d’aiuto. Supponiamo di scegliere la base OTTO . Poiché ci occorrono otto cifre distinte, scegliamo le prime otto cifre del sistema a base dieci e cioè: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7

Il numero successivo al sette nella successione dei numeri interi assoluti, cioè, l’otto, dovrà essere scritto come il successivo al nove in base DIECI, scriveremo quindi : 10 Nel numero scritto in BASE OTTO ogni cifra rappresenta il numero di gruppi di otto unità di ordine immediatamente inferiore.

10 otto si scrive (cioè un gruppo di otto unità) sedici si scrive 20 (cioè due gruppi di otto unità) 30 ventiquattro si scrive (cioè tre gruppi di otto unità)

Il numero 64 si deve pensare formato da otto gruppi di otto unità quindi si scriverà : 100 Consideriamo il numero che in base otto si scrive : 2435 in base dieci si scriverà :

Trasformiamo il numero 183 dalla base DIECI alla base OTTO . 22 2 183 2 6 7

Rappresentazione posizionale in base due La rappresentazione in base DUE è quella avente la minor base possibile . Le sole cifre di questo sistema di rappresentazione, detto BINARIO, sono 0 , 1

Le tavole di addizione e moltiplicazione sono: Dal punto di vista operativo la rappresentazione in base due è la più semplice e comoda. Le tavole di addizione e moltiplicazione sono: 1 1 1 1 1 1 1 10

SOTTRAZIONI NEL SISTEMA BINARIO Quando bisogna sottrarre la cifra 1 dalla cifra 0, occorre come si suol dire, chiedere in prestito un’ unità alla cifra che rappresenta unità dell’ordine immediatamente superiore, cioè di quella posta alla sinistra della cifra considerata e tenere presente che tale unità avuta in prestito vale due unità dell’ordine immediatamente inferiore.

DIVISIONI NEL SISTEMA BINARIO La divisione nel sistema binario di esegue con un procedimento analogo a quello seguito nel sistema decimale

L’inconveniente del SISTEMA BINARIO è ovviamente la necessità di molte cifre per rappresentare numeri anche non molto grandi.

FINE