Soluzioni agli esercizi della verifica 1

Sequenza principale. Descrivere quale relazione esiste fra luminosità L e massa M di una stella, fra il raggio R e la massa M e spiegare come da queste due relazioni si deriva, lungo la sequenza, la relazione fra la temperatura T e la massa M. Soluzione: In una stella di sequenza principale si osserva la seguente relazione fra luminosità e massa: L  M4 continua 

R  M R  M L  M4 L = (4R2)  Te4 Te  M1/2 Inoltre il bilancio fra l’energia rilasciata nel nucleo interno in seguito alla fusione e il flusso di energia che migra verso gli strati esterni (trasporto radiativo) è tale che in generale (tranne nella parte alta della sequenza, dove R  M0.6): R  M Combinando le due relazioni: R  M L  M4 con la formula per la Luminosità L espressa in termini della legge di Stefan-Boltzman: L = (4R2)  Te4 si ricava, per le stelle di sequenza principale, la relazione: Te  M1/2

Stadio di sub-gigante rossa. Perché la stella si espande Stadio di sub-gigante rossa. Perché la stella si espande ? E perché si arrossa ? Soluzione: Quando tutto l’H disponibile nel nucleo si è trasformato in He, la fusione nucleare cessa e cessa la produzione di energia termonucleare che bilancia l’autogravità. Quindi il nucleo inerte di He si contrae. Ma anche il guscio di H subito al di sopra di esso si contrae e si porta a una profondità in cui la pressione P e la temperatura T ne possono innescare la fusione Tuttavia, il modo di bruciare del H nel guscio sovrastante il nucleo inerte di He è diverso da quello che si aveva originariamente nel nucleo di H. Il nucleo inerte di He tende sempre più a contrarsi e trascina verso l’interno anche il guscio di H sovrastante. Inoltre, poiché nel guscio sovrastante si produce He, questo tende a “gocciolare” sul nucleo inerte, aumentandone la massa. Il guscio di H “sente” quindi sotto di se un campo gravitazionale elevatissimo, sia perché il nucleo continua a contrarsi, sia perché continua ad “appesantirsi”. Il guscio di H si trova quindi in condizioni di densità e temperatura molto più elevate del nucleo originario di H. Pertanto, l’H nel guscio brucia molto più efficacemente di quanto non bruciava l’H nel nucleo originario. continua 

La stella si arrossa perché: Finché l’inviluppo è radiativo (finché cioè si ha trasporto radiativo) risulta sempre L  M4. Cioè, anche se aumenta la produzione di energia radiante all’interno, il fenomeno del trasporto radiativo è tale che è sempre la stessa L  M4 che riesce a “uscire”. La differenza fra l’energia radiante prodotta all’interno e quella che “esce” risulta in riscaldamento degli strati intermedi e quindi in una espansione. La stella si arrossa perché: La luminosità rimane costante (L  M4 ), ma il raggio R aumenta, quindi in base alla: L = 4R2 Te4  Te diminuisce

R (h2 / G me mp5/3) (Z/A)5/3 M-1/3 Relazione Massa-Raggio in una Nana Bianca. Illustrate la relazione e spiegate le conseguenze. Soluzione: Imponendo la condizione di equilibrio fra la pressione degenere degli elettroni e la pressione centrale dovuta alla stessa gravita si ricava la relazione Massa-Raggio: R (h2 / G me mp5/3) (Z/A)5/3 M-1/3 Ci aspettiamo quindi che una Nana Bianca più massiva sia più piccola di una leggera: 0.8 M 0.4 M

Derivazione classica e derivazione relativistica del raggio di Schwarzschild. Descrivete i due approcci e spiegate perché la formulazione classica, non è fisicamente corretta, anche se porta formalmente allo stesso risultato. Soluzione: Nella derivazione classica si calcola, dato un oggetto di massa M, a quale raggio R corrisponde una velocità di fuga v = c, e si scrive ½ mv2 – GMm/ R = 0 da cui: RSch = 2GM/c2 Nella derivazione Relativistica, si dimostra che un fotone di lunghezza d’onda 0 emesso a una distanza r da una massa sferica di massa M, quando raggiunge distanza infinita presenta uno spostamento verso una lunghezza d’onda più lunga , detto redshift gravitazionale, dato da: /0 = (1  2GM / c2r)½ al tendere di r  2GM/c2 questa formula prevede che la lunghezza d’onda del fotone tenda a    di conseguenza, l’energia del fotone tende a zero hc/  0 In sostanza, i fotoni emessi a una distanza pari o inferiore al raggio di Schwarzschild vengono redshiftati verso uno stato di non esistenza continua 

La formula del raggio di Schwarzschild ricavata classicamente contiene alcune assunzioni errate: a) Si associa implicitamente a un fotone massa m e energia cinetica ½ mc2 b) Si postula erroneamente che la legge di gravitazione Newtoniana sia ancora valida anche nel caso si campi gravitazionali estremamente elevati In effetti questi due errori si cancellano e forniscono la formula esatta, ma non ne mettono correttamente in evidenza il significato fisico.

Erad = aT4 (erg cm-3) f =  T4 (erg cm-2 s-1) 5. Legge di Stefan-Boltzman per un corpo nero. Relazioni per la densità del campo di radiazione e per il flusso superficiale in funzione della temperatura. Spiegate il significato fisico della temperatura nelle due formulazioni e le differenze che emergono quando si tratta un caso reale Soluzione: Nelle formule di Stefan-Boltzmann: Erad = aT4 (erg cm-3) f =  T4 (erg cm-2 s-1) la temperatura T si riferisce alla temperatura ideale di corpo nero, cioè un corpo opaco, in cui quindi il campo di radiazione e la materia sono in equilibrio. Nel caso reale, un corpo a temperatura T, di cui osserviamo l’emissione, per il semplice fatto che irradia, non è in equilibrio. Possiamo immaginare che una buona approssimazione del corpo nero ideale sia un forno perfettamente isolato dall’Universo, a temperatura interna T, con un piccolo foro da, quale possiamo misurare la radiazione In questo caso, definiamo una temperatura efficace Te, come la temperatura superficiale che il forno avrebbe se fosse un corpo nero ideale con uno spettro di radiazione uguale a quello della radiazione osservata  f =  Te4 . Nel caso reale distingueremo quindi la temperatura media interna, che tiene conto della densità di energia del campo di radiazione, in equilibrio con la materia, dalla temperatura superficiale che tiene conto del flusso “di corpo nero equivalente” che si osserva fluire verso l’esterno.

Egrav = G M 2 / R  = 3.8 x 1048 erg (G=6.67 x 10-8) Riserva di energia nel Sole. Ricavate una stima della riserva di energia gravitazionale del Sole. Soluzione: L’energia gravitazionale Egrav di una sfera di massa M e raggio R dipende dalla distribuzione di massa all’interno della sfera, ma è comunque dell’ordine di Egrav = G M2 / R nel caso del Sole (M  = 1.99 x 1033 gm R  = 6.96 x 1010 cm) si ha: Egrav = G M 2 / R  = 3.8 x 1048 erg (G=6.67 x 10-8)

7. Arrossamento ed estinzione. Spiegare sinteticamente. Soluzione: La misura di un solo indice di colore non è sufficiente a fare una stima attendibile della temperatura. Infatti, le polveri presenti nel mezzo interstellare che ci separa d una stella ne attenuano la luce, ma in modo non uniforme a tutte le lunghezze d’onda. La diffusione (scattering) è più efficace sulla luce blu che su quella rossa. La stella appare quindi più rossa (in effetti si tratta di un deficit di blu) L’estinzione A, definita dalla: M = m – 5 Log (d) + 5 A rappresenta l’estinzione in magnitudine dovuta a tutto il mezzo fra l’osservatore e la stella. Cioè ci dice “quanta magnitudine” è stata “persa” nel mezzo interstellare L’estinzione è funzione della lunghezza d’onda. L’estinzione nella banda visibile Av è connessa all’eccesso di colore B-V dalla relazione: Av 3 x E BV

8. Principi di dinamica in un ammasso globulare 8. Principi di dinamica in un ammasso globulare. Nel caso in cui sono presenti specie stellari di diversa massa, spiegate i fenomeni essenziali che si osservano. Soluzione: A seguito della tendenza del sistema a equipartire l’energia cinetica, le stelle più leggere tendono ad avere velocità v > ve (velocità di fuga) e quindi evaporano. Le stelle più massive tendono invece ad avere velocità più basse e quindi ad avvicinarsi l’una all’altra verso il centro. L’ammasso tende a contrarsi Nel contrarsi l’ammasso rilascia energia di legame. Di conseguenza (…teorema del Viriale) le stelle massive al centro acquistano nuova energia cinetica, e negli “incontri” successivi con stelle più leggere rimaste ancora intrappolate nell’ammasso, queste ultime acquistano sempre più velocità: l’evaporazione aumenta In sostanza si crea una configurazione “nucleo centrale” + “inviluppo” simile a quello di una gigante rossa.