Le proporzioni

Definizione di rapporto: Dati due numeri a e b, con b diverso da 0, si dice rapporto fra a e b il quoziente di a per b e si scrive: a:b oppure a b

Definizione di proporzione: Dati quattro numeri: a, b, c, d, nell’ordine in cui sono scritti e con b e d diversi da 0, si dice che essi sono in proporzione se il rapporto fra i primi due è uguale al rapporto fra gli ultimi due e si scrive: a:b = c:d dove: b e c sono detti medi ; a e d sono detti estremi ; a e c sono detti antecedenti ; b e d sono detti conseguenti ; d è detto quarto proporzionale .

Proporzione continua: Definizione: Se in una proporzione, i medi sono uguali, la proporzione si dice continua e il termine medi si dice Medio Proporzionale a:b = b:c c è detto terzo proporzionale Es. 2:4 = 4:8

Proprietà: Proprietà fondamentale Proprietà dell’invertire Proprietà del permutare Proprietà del comporre Proprietà dello scomporre

Proprietà fondamentale: In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Es. Nella proporzione 5:4 = 20:16, si ha: 5 ·16 = 20 · 4 Termine incognito di una proporzione: La proprietà fondamentale della proporzione permette di calcolare un termine incognito di una proporzione quando siano noti gli altri tre. Un estremo è uguale al prodotto dei medi diviso l’altro estremo. Un medio è uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio. Es. x:4=20:16 x = 4 · 20 16 5:4=x:16 x = 5 · 16 4

Proprietà dell’invertire: Definizione: Se in una proporzione si scambiano ogni antecedente con il proprio conseguente si ha ancora una proporzione. Es. Se operiamo gli scambi nella proporzione 4:12 = 3:9 otteniamo una proporzione 12:4 = 9:3 perché il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: 12·3 = 36 ; 4·9= 36.

Proprietà del permutare: Definizione: Se in una proporzione si scambiano fra loro i medi e\o gli estremi, si ottiene ancora una proporzione. Es. 2:5 = 6:15 scambiando gli estremi si ha 15:5=6:2 scambiando i medi 2:6=5:15

Proprietà del comporre: In ogni proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo termine come la somma del terzo e del quarto sta al terzo e al quarto. Es. Dalla proporzione 5:12 = 10:4 si ottengono le proporzioni: (5+2):5 = (10+4) :10 7:5 = 14:10 oppure (5+2):2 = (10+4):4 7:2 = 14:4

Proprietà dello scomporre: In ogni proporzione in cui gli antecedenti, siano maggiori dei conseguenti, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo o al secondo termine come la differenza fra il terzo e il quarto termine sta al terzo o al quarto termine Es. Dalla proporzione 5:2 = 10:4, si ottengono le proporzioni: (5-2) : 5 = (10-4) : 10 3:5 = 6:10 (5-2) : 2 = (10-4) :4, 3:2 = 6:4