Caratteristiche, potenziali e limiti di uninterpretazione dinamica della tangente Progetto di ricerca di Pietro Milici 1

La tangente in geometria Retta passante per un punto di una curva con determinate proprietà (data una curva e un punto si trova la tangente) Utilizzo costruttivo: tangenti per definire curve tramite inviluppo (senza continuità, processo di limite) Movimento trazionale: utilizzo dinamico e continuo delle proprietà della tangente per costruire in modo continuo la curva che soddisfi tali proprietà (la curva e la tangente nascono dalla rispettiva correlazione) 2 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Assunto di base (da verificare) 3 Linterpretazione dinamico/concreta della tangente può facilitare lo studente INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Questioni didattiche 4 Utilizzo di artefatti per lanalisi? Costruzione assiomatica della teoria sottostante la geometria trazionale? Il cambiamento epistemologico può portare a una rilettura dellanalisi? INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Questioni fondazionali 5 Che limiti ha linterpretazione della derivata come ruota? Fino a che livello dellanalisi va bene? Confronto la concreta ruota con lattuale più potente mezzo concreto: Macchina di Turing INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Confronto con la computabilità 6 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Interpretazione concreta e costruttiva della tangente Strumenti storici: Peso tirato con fune Ruota che rotola senza strisciare 7 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

La Trattrice di Perrault 8 Un grave in posizione iniziale B 0 è trascinato tramite una fune di lunghezza fissa a la cui estremità si muove lungo r (seconda metà 17° secolo) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Huygens e il movimento trazionale 9 Problema: legittimazione curve trascendenti con puro movimento geometrico (1693) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Esempi di movimento trazionale 10 Perks (inizi del 18° secolo) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Integrafi 11 Coradi (1889) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Differential analyzer 12 Vannevar Bush, M.I.T. (1931) INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Rivoluzione digitale Paradigma di calcolo da analogico a digitale (maggiore controllo sugli errori) Turing 1936: introduzione della Macchina Universale (tesi Church-Turing) Nascita e sviluppo delle scienze informatiche 13 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Cosa fatto storicamente sul Movimento Trazionale Singole macchinette per risolvere graficamente singoli problemi Generalizzazione del metodo: come passare da classi di equazioni differenziali alle relative macchine trazionali (Riccati, 1752) Non si ha né una giustificazione del perché fisico del movimento né una assiomatizzazione geometrica 14 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Base del movimento trazionale Piano di base Strumenti: Assi – corpi rigidi rettilinei (3 gradi di libertà) Carrelli – usa un asse come binario (1 grado di libertà) Vincoli: Perno – vincola due strumenti a ruotare attorno al loro punto in comune Ruota – obbliga un punto di un asse a non muoversi perpendicolarmente allasse cui appartiene (modello NON minimale!) 15 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Confronto con modelli noti General Purpose Analog Computer (GPAC), Shannon (1941) per Differenzial Analyzer (calcola tutte e sole le funzioni soluzioni di sistemi di eq. differenziali polinomiali) Componenti: Addizionatori Integratori Costanti 16 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Risultati ottenuti Movimento trazionale: Estende curve algebriche Costruisce tutte le funzioni del GPAC Risolve equazioni differenziali in C (ad esempio costruzione cicloide e^ix) Permette la proiezione di funzioni complesse sui reali, estendendo GPAC con funzioni non analitiche 17 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Limiti del movimento trazionale Impossibili funzioni discontinue (confronto con computabilità di funzioni reali) Basta per creare un collegamento con gli algoritmi? Estendibilità in più dimensioni? Possibile estendere modello per derivate non intere? (la funzione Gamma di Eulero è computabile ma non DAE) 18 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Sbocchi didattici Interpretazione epistemologica della tangente Macchine matematiche e artefatti (Bartolini Bussi, Rabardel) Vedere risolvere con mezzi meccanici equazioni differenziali in R e C (e possibilità di vedere differenze tra i campi) Creare un sistema assiomatico ad hoc 19 INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

Esempio: studio di funzione Funzione radice quadrata: 20 FILOSOFIASTORIAEPISTEMOLO GIA FONDAMEN TI DIDATTICA

Esempio: studio di funzione 21 Registro analiticoRegistro geometrico Dominio: {x0}Qui si vede una grande differenza con la parte analitica. Infatti la macchinetta, osservata staticamente, non permette di valutare il campo di esistenza. Questo è dovuto al fatto che le ascisse vengono utilizzate dinamicamente. Daltro canto si può però vedere come la macchinetta si blocchi se f(x)=0 f è sempre non negativa Se si ha f(x)=0, non si può continuare a sinistra (la macchinetta, come già detto, si blocca). Pertanto, per continuità, f è sempre non negativa f è crescenteConsiderando la macchinetta (tangente perpendicolare al segmento passante per (x+½,0) ), la derivata sarà positiva quando f è non negativa (in tutto il dominio [sarebbe 0 solo se f(x)= ] ) Per x+, f tende allinfinito e f tende a 0 Sappiamo che f è crescente, quindi non può oscillare. Per assurdo consideriamo che converga, pertanto la derivata dovrà tendere a 0, e in tal caso la tangente sarà perpendicolare alla retta passante per (x,f(x)) e (x+½,0), che dovrà essere parallela allasse delle ordinate: questo implica che f(x) deve tendere ad, da cui lassurdo: perciò diverge. Una volta vista la divergenza, per il ragionamento dellassurdo, la tangente tenderà a divenire orizzontale. INTRODUZION E STORIAFONDAMENTIDIDATTICA

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