Macroeconomia IV ESERCITAZIONE 09-04-2013 Modello di Solow Crescita popolazione Progresso tecnologico

L’offerta di beni La funzione di produzione Funzione di produzione (neoclassica): Y = F(K,L) Rendimenti di scala costanti (RSC): zY = F(zK, zL) Capitolo 7: La crescita economica, I

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite Tutte le variabili possono essere espresse in termini pro capite (denotate con lettere minuscole) k = K/L y = Y/L c = C/L i = I/L Capitolo 7: La crescita economica, I

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite Il reddito e il capitale pro capite rappresentano i valori medi nella popolazione. Utilizzando variabili pro capite possiamo confrontare economie di dimensioni diverse. Una nazione piccola ma molto produttiva può avere un reddito per abitante (pro capite) superiore a quello di un paese più grande anche se la produzione totale è inferiore. Capitolo 7: La crescita economica, I

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite Poiché F(K,L) è a RSC abbiamo (… z = 1/L): y = Y/L = F(K, L)/L = F(K/L, L/L) y = F(k, 1) = f(k) La produttività marginale del capitale pro capite: PMK = f(k + 1) – f(k) è decrescente Capitolo 7: La crescita economica, I

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite Prodotto per lavoratore, y La PMK è decrescente e la pendenza della funzione di produzione cala con l’aumento di capitale utilizzato PMK 1 PMK 1 Capitale per lavoratore, k Capitolo 7: La crescita economica, I

La domanda di beni Le funzione di consumo e investimenti Il prodotto per lavoratore è diviso tra consumo c e investimento i: y = c + i Il modello di Solow suppone che venga risparmiata una frazione fissa del reddito: s = tasso di risparmio Quindi il consumo è (la rimanente) frazione di reddito. La funzione di consumo è data da: c = (1 – s)y Capitolo 7: La crescita economica, I

La domanda di beni Le funzione di consumo e investimenti Come nel modello statico l’equilibrio macroeconomico implica che: Investimenti = Risparmio i = sy Utilizzando la funzione di produzione pro capite abbiamo: i = sf(k) Il cui grafico è uguale a quello della funzione di produzione “riscalato” di un coefficiente tra zero e uno (il tasso di risparmio). Capitolo 7: La crescita economica, I

La funzione di produzione pro capite Consumi e investimenti Prodotto, f(k) Prodotto per lavoratore, y Il reddito y è diviso tra consumi e investimenti c Risparmio, sf(k) = Investimenti Nota: Variazioni di s spostano la funzione sf(k) in alto e in basso. Se s = 1 tutta la produzione è risparmiata e c = 0 y i=sy Capitale per lavoratore, k Capitolo 7: La crescita economica, I

Lo stock di capitale La funzione di risparmio e gli investimenti Prodotto per lavoratore, y Prodotto, f(k) Ammortamento del capitale, dk Gli investimenti AUMENTANO il capitale installato nel periodo successivo Risparmio, sf(k) = Investimenti Capitale per lavoratore, k k Capitolo 7: La crescita economica, I

Analisi dinamica L’accumulazione del capitale Prodotto per lavoratore, y Prodotto, f(k) dk La DIFFERENZA tra investimenti e ammortamento misura la variazione dello stock di capitale: Può essere positiva… Risparmio, sf(k) = Investimenti Dk k0 k1 k Capitolo 7: La crescita economica, I

Analisi dinamica L’accumulazione del capitale Prodotto per lavoratore, y Prodotto, f(k) dk …o può essere negativa se l’ammortamento è superiore all’investimento Dk Risparmio, sf(k) = Investimenti k k1 k0 Capitolo 7: La crescita economica, I

Analisi dinamica La convergenza verso lo stato stazionario f(k) Prodotto per lavoratore, y dk Fino a quando l’investimento è superiore al deprezzamento il capitale installato aumenta sf(k) Dk0 k0 k1 k Capitolo 7: La crescita economica, I

Analisi dinamica La convergenza verso lo stato stazionario f(k) Prodotto per lavoratore, y dk La produttività marginale del capitale è decrescente e gli aumenti di produzione si riducono con l’aumentare di k sf(k) Dk1 k0 k1 k2 k Capitolo 7: La crescita economica, I

Analisi dinamica La convergenza verso lo stato stazionario f(k) Prodotto per lavoratore, y dk Fino a quando sf(k) > dk lo stock di capitale continua a crescere sf(k) Dk2 k0 k1 k2 k3 k Capitolo 7: La crescita economica, I

Lo stato stazionario Investimenti e ammortamento sono uguali Quando gli investimenti sono uguali all’ammortamento lo stock di capitale pro capite non cambia. I nuovi investimenti compensano esattamente l’ammortamento. Nel lungo periodo l’economia è caratterizzata da un equilibrio di stato stazionario in cui la variabile endogena k* non varia. Questo implica che anche il reddito e il consumo di stato stazionario non variano: y* = f(k*) c* = (1-s)f(k*) Capitolo 7: La crescita economica, I

Dinamica del modello Lo stato stazionario y f(k) y = f(k*) In stato stazionario gli investimenti (risparmi) sono uguali all’ammortamento Il capitale pro capite smette di crescere dk sf(k) i* = dk* k* k Capitolo 7: La crescita economica, I

Lo stato stazionario La matematica Lo stato stazionario è caratterizzato da Dk = 0 Poiché la funzione di accumulazione del capitale è data da: Dk = sf(k) – dk Avremo: 0 = sf(k*) – dk* Riordinando i termini si ottiene: k*/f(k*) = s/d Capitolo 7: La crescita economica, I

La massimizzazione dei consumi La golden rule f(k) Prodotto per lavoratore, y dk Graficamente nello stato stazionario di golden rule la pendenza della funzione di produzione è uguale a quella della retta di ammortamento: sgold f(k) PMK =  k k*gold Capitolo 7: La crescita economica, I

La regola aurea: Matematicamente Il consumo di stato stazionario è dato da: c* = y*  i* ovvero c* = f (k*)  i* quindi è una funzione di k* data da: c*(k*) = f (k*)  k* Il massimo della funzione c(k*) si ottiene calcolando la derivata rispetto a k* e uguagliandola a zero. Otteniamo: f ‘(k*) =  ovvero PMK =  Capitolo 7: La crescita economica, I

La regola aurea L’economia non tende al capitale di regola aurea automaticamente. Solo se il tasso di risparmio è quello compatibile con l’ottenimento di k*gold il consumo viene massimizzato. Se così non è allora l’ottenimento della produzione di regola aurea richiede un cambiamento del tasso di risparmio. Cosa succede in seguito alla variazione del tasso di risparmio durante la transizione al nuovo stato stazionario? Capitolo 7: La crescita economica, I

Se il capitale iniziale è troppo elevato: k* > k*gold Un aumento di c* è ottenibile con una riduzione di s. Il consumo è superiore a quello iniziale durante tutta la transizione all’equilibrio Idea: il troppo capitale installato viene consumato y c i t0 is the time period in which the saving rate is reduced. It would be helpful if you explained the behavior of each variable before t0, at t0 , and in the transition period (after t0 ). Before t0: in a steady state, where k, y, c, and i are all constant. At t0: The change in the saving rate doesn’t immediately change k, so y doesn’t change immediately. But the fall in s causes a fall in investment [because saving equals investment] and a rise in consumption [because c = (1-s)y, s has fallen but y has not yet changed.]. Note that c = -i, because y = c + i and y has not changed. After t0: In the previous steady state, saving and investment were just enough to cover depreciation. Then saving and investment were reduced, so depreciation is greater than investment, which causes k to fall toward a new, lower steady state value. As k falls and settles on its new, lower steady state value, so will y, c, and i (because each of them is a function of k). Even though c is falling, it doesn’t fall all the way back to its initial value. Policymakers would be happy to make this change, as it produces higher consumption at all points in time (relative to what consumption would have been if the saving rate had not been reduced. t0 Tempo Capitolo 7: La crescita economica, I

Se il capitale iniziale è troppo basso: k* < k*gold Un aumento di c* è ottenibile con un aumento di s. Il consumo è superiore a quello iniziale nel lungo periodo (per definizione di regola aurea) Ma nel breve periodo diminuisce per permettere l’accumulazione di capitale. y c t0 is the time period in which the saving rate is reduced. It would be helpful if you explained the behavior of each variable before t0, at t0 , and in the transition period (after t0 ). Before t0: in a steady state, where k, y, c, and i are all constant. At t0: The change in the saving rate doesn’t immediately change k, so y doesn’t change immediately. But the fall in s causes a fall in investment [because saving equals investment] and a rise in consumption [because c = (1-s)y, s has fallen but y has not yet changed.]. Note that c = -i, because y = c + i and y has not changed. After t0: In the previous steady state, saving and investment were just enough to cover depreciation. Then saving and investment were reduced, so depreciation is greater than investment, which causes k to fall toward a new, lower steady state value. As k falls and settles on its new, lower steady state value, so will y, c, and i (because each of them is a function of k). Even though c is falling, it doesn’t fall all the way back to its initial value. Policymakers would be happy to make this change, as it produces higher consumption at all points in time (relative to what consumption would have been if the saving rate had not been reduced. i t0 Tempo Capitolo 7: La crescita economica, I

Esercizio 1 Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello Identificate l’equilibrio di stato stazionario. Studiate graficamente come cambia l’equilibrio a seguito di una diminuzione del tasso di deprezzamento del capitale. Commentate. Studiate graficamente come cambia l’equilibrio di stato stazionario in seguito ad un aumento del tasso di crescita della popolazione. Commentate se la predizione teorica è conferme all’evidenza empirica. III ESERCITAZIONE

Es.1: Stato Stazionario, il grafico Ammortamento, (+n)k Investimento e ammortamento i* = k* Investimento, sf(k) k = K/L, y = Y/L y = f(k) i = I/L = sy = sf(k) s = saggio di risparmio = tasso di ammortamento n = tasso di crescita della popolazione k* Capitale per lavoratore, k III ESERCITAZIONE

Es.1: Stato Stazionario, la definizione Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo periodo dell’economia, in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto aggregato sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle). k = i - k – nk, sf(k) = i y=f(k)=kα k = s kα - k – nk=0 III ESERCITAZIONE

Es. 1: Stato Stazionario, la soluzione Perché la variazione del capitale sia nulla deve essere k = 0  sf(k) = (+n)k Perché i due effetti opposti sul capitale si compensino è necessario che gli investimenti rimpiazzino la parte di capitale che si deteriora (k ) e forniscano capitale aggiuntivo ai nuovi lavoratori (nk). III ESERCITAZIONE

Es. 1, punto 2: diminuzione del tasso di deprezzamento Se  diminuisce? 2 < 1 k2* > k1* (1 + n)k i (2 + n)k In corrispondenza di k1*,il capitale che si logora per effetto del deprezzamento è meno di quello che si crea con i nuovi investimenti. Quindi k aumenta, fino a raggiungere il nuovo valore di S.S. k2* > k1*. Anche il nuovo valore di equilibrio del reddito procapite y sarà maggiore: y2* >y 1* sf(k) k1* k2* k III ESERCITAZIONE

Es. 1, punto 3: aumento del tasso di crescita della popolazione Se n aumenta, lo stock di capitale per lavoratore tenderà a diminuire nel tempo. k = sf(k) – ( + n2)k ; n2>n1 La variazione di k sarà nulla se la spesa per investimenti compensa sia la quantità di capitale che si è logorato, sia la quantità di capitale necessaria per dotare ogni nuovo lavoratore dello stesso ammontare di capitale del periodo precedente. III ESERCITAZIONE

Es.1: aumento di n, il grafico ( + n2)k i ( + n1)k Se n aumenta? n2 > n1 sf(k) k2*< k1* k2* k1* k III ESERCITAZIONE

Es. 1: evidenza empirica Se il tasso di crescita della popolazione aumenta, il livello dello stock di capitale di stato stazionario diminuisce. Osservando la relazione tra i dati sul reddito pro capite e quelli sul tasso di crescita della popolazione per i paesi del mondo, vediamo che effettivamente i paesi con una crescita maggiore della popolazione tendono ad avere livelli di reddito pro capite inferiori. La predizione teorica del modello di Solow sembra quindi confermata dall’analisi empirica. Nell’interpretare i dati bisogna però fare attenzione: possono esistere molteplici spiegazioni alla base dell’osservazione dello stesso fenomeno. III ESERCITAZIONE

Esercizio 2: La Regola Aurea Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello di Solow (per semplicità, n=0). Identificate l’equilibrio di stato stazionario (versione semplificata es.A). Definite ed identificate il livello di capitale di regola aurea. Studiate graficamente come si converge all’equilibrio di stato stazionario aureo quando si parte con troppo poco capitale rispetto a quello di Stato Stazionario della regola aurea. III ESERCITAZIONE

Es. 2: grafico k = K/L, y = Y/L y = f(k) i = I/L = sy = sf(k) Ammortamento, k Investimento e ammortamento i* = k* Investimento, sf(k) k = K/L, y = Y/L y = f(k) i = I/L = sy = sf(k) s = saggio di risparmio  = tasso di ammortamento k* Capitale per lavoratore, k III ESERCITAZIONE

Es. 2: Stato Stazionario Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo periodo dell’economia, in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto pro capite sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle). k = i - k, la variazione dello stock di capitale è data dalla differenza tra la spesa per nuovi impianti,ecc. (Investimenti) e la quantità di capitale che si logora ogni anno (stock di capitale esistente x tasso d’ammortamento). III ESERCITAZIONE

Es. 2: Stato Stazionario (continua) Dall’identità contabile del reddito nazionale sappiamo che i = sy = sf(k), quindi possiamo scrivere k = sf(k) - k. Perché la variazione del capitale sia nulla deve essere k = 0  sf(k) = k Quando la spesa per investimenti (che fa aumentare k) e la quantità di capitale che si usura ( k diminuisce) sono uguali, i due effetti opposti sul capitale si compensano esattamente ed il livello dello stock di capitale presente nell’economia rimane costante. III ESERCITAZIONE

Es. 2: regola aurea c = y – i (Ipotesi: g=0) La Regola Aurea si riferisce all’individuazione del livello di capitale di stato stazionario che massimizza il consumo e, di conseguenza, il benessere della società. c = y – i (Ipotesi: g=0) c = f(k) – sf(k)  sf(k) = f(k) – c S.S. : sf(k*) = k*  c* = f(k*) - k* III ESERCITAZIONE

Es. 2: regola aurea, il grafico Prodotto, f(k) PMK Prodotto per lavoratore, y k c max c = max [f(k) - k] PMK -  = 0 PMK =  S.S.: k*golden equivale PMK =  Risparmio, sf(k) = Investimento y s = i k k* III ESERCITAZIONE

Es. 2: convergenza all’equilibrio Prodotto, f(k) Prodotto per lavoratore, y k sgf(k) k< kg s deve aumentare per arrivare al livello sgolden sf(k) k k kg III ESERCITAZIONE

Es. 2: convergenza all’equilibrio (continua) s aumenta: c diminuisce i aumenta, sf(k) > k. I maggiori investimenti fanno aumentare k. L’accumulazione di k fa aumentare progressivamente il prodotto aggregato y e quindi i consumi, fino a quando si raggiunge il livello di k del nuovo Stato Stazionario, corrispondente al valore di s di Regola aurea. Siccome ci troviamo nello S.S. di regola aurea, il nuovo valore di equilibrio del consumo sarà maggiore di quello iniziale. III ESERCITAZIONE

Es.2: convergenza all’equilibrio (continua) In t0, s aumenta y c i t0 III ESERCITAZIONE

Il progresso tecnologico nel modello di Solow L’efficienza del lavoro La funzione di produzione del modello di Solow: F(K , L) Può essere generalizzata per tenere conto della variazione dell’efficienza produttiva: F(K , L x E) E = efficienza del lavoro Capitolo 8: La crescita economica, II

Il progresso tecnologico nel modello di Solow L’efficienza del lavoro In cui L  E è il numero di lavoratori “effettivi” Il progresso tecnologico equivale a un aumento della forza lavoro. L’efficienza del lavoro E aumenta al tasso g: Esempio: g = 0,02, l’efficienza di L cresce al 2% all’anno Progresso tecnologico: “Labor-augmenting” Capitolo 8: La crescita economica, II

Il progresso tecnologico nel modello di Solow L’efficienza del lavoro Possiamo esprimere tutte le variabili per unità di lavoro effettivo: Reddito: y = Y/LE = f(Y/LE,1) Capitale: k = K/LE Risparmio, investimenti: s y = s f(k) Capitolo 8: La crescita economica, II

Il progresso tecnologico nel modello di Solow L’efficienza del lavoro La variazione del capitale per unità di lavoro effettivo: ( + n + g)k  k ammortamento n k crescita della popolazione g k progresso tecnologico (maggiore efficienza dei lavoratori) Capitolo 8: La crescita economica, II

Lo stato stazionario In presenza di progresso tecnologico Come nel modello base di Solow, in stato stazionario il capitale per unità di lavoro effettivo non varia: Dk = s f(k) – (d + n + g)k = 0 Nota: in questo caso quello che smette di crescere è il capitale per unità di lavoro effettivo Capitolo 8: La crescita economica, II

Lo stato stazionario In presenza di progresso tecnologico Investimenti di sviluppo uniforme, (d + n + g)k Investimenti, investimenti di sviluppo uniforme In stato stazionario: Dk = sf(k) – (d + n + g)k = 0 Investimenti, sf(k) k Capitale per lavoratore effettivo, k Capitolo 8: La crescita economica, II

Gli effetti del progresso tecnologico Quali sono i tassi di crescita delle variabili di stato stazionario? Tasso di crescita di stato stazionario Simbolo Variabile Capitale per lavoratore effettivo k = K /(E x L) Prodotto per lavoratore effettivo y = Y /(E x L)= f(k) Prodotto per lavoratore Y/L = y x E g Prodotto totale Y = y x (E x L) n + g Solo il progresso tecnologico spiega una crescita persistente del tenore di vita. Capitolo 8: La crescita economica, II

La regola aurea Progresso tecnologico e crescita della popolazione Il consumo di stato stazionario è dato da: c* = y*  i* = f (k* )  ( + n + g) k* c* è massimo quando: PMK =  + n + g ovvero PMK   = n + g Capitolo 8: La crescita economica, II

La regola aurea Progresso tecnologico e crescita della popolazione f (k) Prodotto per unità di lavoro effettivo, y (d + n + g)k Graficamente nello stato stazionario della regola aurea la pendenza della funzione di produzione è uguale a quella della retta di ammortamento: sgold f(k) PMK =  + n + g Capitale per unità di lavoro effettivo k k*gold Capitolo 8: La crescita economica, II

Esercizio 5 Partendo da s<sgold: ”Un aumento della quota di Y destinata agli investimenti (s) contribuirà a ripristinare una crescita più rapida e migliore tenore di vita” . Commentare e motivare usando il modello di Solow con capitale Effettivo (Labour Augmenting) III ESERCITAZIONE

Soluzione es. 5: lavoro effettivo (LxE), cosa cambia? Y = F(K,LxE) ; E = efficienza del lavoro g = ΔE/E = tasso di progresso tecnologico labour-augmenting. Tasso di crescita della forza lavoro effettiva (LxE): Δ(LxE)/(LxE)= Δ(L)/(L)+Δ(E)/E=n+g k = K/(LxE) = capitale per lavoratore effettivo. y = Y/(LxE) = prodotto aggregato per lavoratore effettivo. S.S. : Δk = sf(k) – (δ + n + g )k = 0 Regola aurea : PMK = (δ + n + g ) III ESERCITAZIONE

per lavoratore effettivo, k* Es.5: Stato stazionario con progresso tecnologico (d+n+g) k* y, i f(k *) c*Gold Investimento, sGoldf(k Gold*) i*Gold k* Capitale per lavoratore effettivo, k* IV ESERCITAZIONE k*Gold

Soluzione es. 5 - continua Supponiamo di partire da uno stock di capitale di stato stazionario inferiore a quello aureo: In t1 il tasso di risparmio aumenta: (+s)  +I e -c (gli investimenti aumentano e i consumi si riducono) In t0 I=k  in t1 I>k cosicché k  k   y, c e I  sino a raggiungere lo stato stazionario aureo. Consumi: subito si contraggono (-c) poi aumentano (c) ed alla fine saranno superiori rispetto al livello di partenza. III ESERCITAZIONE

Soluzione es. 5: chi ci guadagna e chi ci perde? Nell’immediato il tenore di vita misurato mediante i consumi diminuisce. … tuttavia, il maggiore investimento (maggiore s) implica che lo stock di capitale cresce più velocemente e quindi il tasso di crescita di Y e di y (=Y/L) aumentano; cioè la crescita della produttività aumenta. Nota: siamo nel BP. Nel nuovo stato stazionario Y cresce al tasso n+g mentre y al tasso g (quindi indipendenti da s). Nello stato stazionario aureo il consumo è maggiore e quindi il tenore di vita è aumentato (per le generazioni future). III ESERCITAZIONE

Soluzione: y,c,i nel tempo In t0 s aumenta y c i t0 III ESERCITAZIONE