Main tools of the probabilistic method with applications in graph theory Attività formativa - Yuri Faenza Supervisore: Prof. B. Scoppola CdLS in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi 19 settembre 2006

Indice Il metodo probabilistico Linearità dellaspettazione Il metodo del momento primo Il metodo del momento secondo Il lemma locale di Lovàsz

Il metodo probabilistico Fine: dimostrare lesistenza di un oggetto con specifiche proprietà Tecnica: Definire un adeguato spazio di probabilità, e dimostrare che a tale oggetto è associata una probabilità positiva Origini: Szele (43), Erdos (47) Maggiori Contributi: Erdos, Lovàsz, Janson, Alon, Spencer Applicazioni: Teoria dei grafi, Geometria Computazionale, Informatica Teorica

Il metodo probabilistico (2) Pro: ottiene facilmente risultati difficili da raggiungere deterministicamente; tecnica probabilistica, risultato deterministico. permette di costruire oggetti di grandi dimensioni, non strutturati e generali; Contro: raramente costruisce esempi espliciti.

Notazione e definizioni Variabili aleatorie Grafo con n vertici ed e archi Numero cromatico di G Massimo insieme indipendente di G se

Linearità dellaspettazione Torneo Sentiero hamiltoniano Thr. (Szele): Esiste un torneo T con n giocatori ed almeno sentieri hamiltoniani Dim. : # sentieri hamiltoniani: permutazione degli n giocatori se è un sentiero hamiltoniano, cioè se altrimenti

Linearità dellaspettazione (2) Thr. (Erdos): Per ogni k,l > 0 esiste un grafo G con lunghezza del ciclo più breve pari ad l e Dim. Si fissi e si assegni ogni arco di G in modo indipendente, con probabilità numero di cicli di lunghezza al più l se linsieme A forma un ciclo, |A| = i altrimenti

Linearità dellaspettazione (3) In particolare:1) Posto 2) Possiamo quindi scegliere n grande abbastanza perché esista G per cui 1) e 2) non sono verificati Si rimuova da ogni ciclo di lunghezza al più l un vertice, ottenendo che per quanto visto ha almeno vertici, ha il più piccolo ciclo di lunghezza maggiore di l e vale

Il metodo del momento primo Thr. (Caro & Wei): Per ogni grafo G(V,E) vale Dim. Si consideri un ordinamento di V scelto con probabilità uniforme

Il metodo del momento primo (2) v.a. che indica se v è nellinsieme I v ed i suoi vicini hanno tutti la stessa possibilità di avere lindice più piccolo Metodo del momento primo I è un insieme indipendente, infatti se per assurdo non lo fosse, esisterebbero tali che ; ma allora e ; impossibile Teorema di Turan

Il metodo del momento secondo Lemma (Diseguaglianza di Tchebyschev) Per ogni Lemma (Diseguaglianza di Markov) Dim.

Il metodo del momento secondo (2) Utilizzo: lower bound sul numero cromatico e proprietà dei grafi random Corollario Dim. Sia non negativa

Il lemma locale di Lovàsz Obiettivo: dimostrare che A raro ha probabilità > 0 Con eventi indipendenti, ciascuno con probabilità (almeno) p Lemma locale di Lovàsz: generalizzazione al caso in cui gli eventi che ci interessano sono quasi dipendenti, per provare lesistenza di eventi rari

Il lemma locale di Lovàsz (2) Thr (Lll), caso generale:

Il lemma locale di Lovàsz (3) Thr (Lll), caso simmetrico: è dipendente da al più altri d eventi

Il lemma locale di Lovàsz (4) Thr (Alon & Linial): Sia D(V,E) un grafo orientato con minimo grado uscente e massimo grado entrante. Se allora D contiene un ciclo orientato, semplice di lunghezza Dim. Si consideri un colorazione casuale di V in cui ogni nodo è colorato in modo uniforme ed indipendente dagli altri. Grafo Orientato D(V,E) (u,v) Grado entrante/uscente uv

Il lemma locale di Lovàsz (5) Ogni è indipendente da tutti gli eventi tranne quelli per cui vale: Tali eventi sono al più, è limitata Applichiamo il Lll (caso simmetrico) v u

Il lemma locale di Lovàsz (3) Thr (Lll), caso simmetrico: è dipendente da al più altri d eventi

Il lemma locale di Lovàsz (6) Partendo da otteniamo una sequenza tale che e Sia j il minimo intero tale che esista Allora il ciclo è quello richiesto