Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 11

DIFFERENZE STAGIONALI Come per il caso non-stagionale anche in questo caso il processo può presentare una non-stazionarietà nella componente stagionale. Si può quindi definire la differenza stagionale di ordine D con l’operatore alle differenze stagionali s = 1 – Bs : sD Zt = (1 – Bs)D dove D = 1; 2; … (tipicamente D = 1 è sufficiente ad eliminare i problemi di non stazionarietà stagionale). La necessità di applicare tale differenza si vede da coefficienti di correlazione elevati che decrescono lentamente in corrispondenza dei lag s, 2s, 3s, … . Si genera così la struttura più generale: il modello ARIMA stagionale, detto anche SARIMA

MODELLO ARIMA STAGIONALE ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s (B)(Bs) (1-B)d (1 – Bs)D Zt = (B)(Bs) at (1-B)d è l’operatore differenza non stagionale di ordine d (1 – Bs)D è l’operatore differenza stagionale di ordine D

UN CASO PARTICOLARE: MODELLO ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 Detto modello Airline, perché utilizzato da Box e Jenkins per modellare una serie storica del numero di passeggeri delle linee aeree americane: (1-B)(1- B12) Zt = (1 – B)(1 – B12)at Due possibili correlogrammi:

Per avere un’idea delle varie tipologie di correlogrammi totali e parziali nei casi più semplici di modelli ARMA stagionali si consulti la dispensa dal titolo «Correlogrammi teorici di particolari modelli ARMA e ARIMA» disponibile alla pagina web http://local.disia.unifi.it/buzzigoli/statistica-economica1/materiale-didattico-SE1.htm

PROBLEMA OPERATIVO COME È POSSIBILE INDIVIDUARE UN MODELLO ARIMA ADEGUATO A PARTIRE DA UN NUMERO FINITO E LIMITATO DI OSSERVAZIONI, OSSIA A PARTIRE DA UNA SERIE STORICA, CHE RAPPRESENTA UN CAMPIONE UNICO E TRONCATO DI UN P.S. ?

modello P.S. f.a.c. e f.a.c.p teoriche serie storica f.a.c. e f.a.c.p empiriche

Procedura identificazione-stima-verifica di Box-Jenkins Strategia di natura operativa e statisticamente fondata che consente di pervenire dalla serie osservata alla individuazione del migliore modello ARIMA. Sequenza di decisioni coordinate allo scopo di specificare il modello, stimare i parametri e verificarne la significatività statistica.

IDENTIFICAZIONE DEL MODELLO (a priori) - grafici - indici - trasformazioni ANALISI PRELIMINARI d, D, log (Serie staz. e gaussiana) - acf - pacf IDENTIFICAZIONE DEL MODELLO (a priori) p,q,P,Q Metodo massima verosimiglianza STIMA DEI PARAMETRI ∅ , 𝜃 , , , 𝜎 2 - test sui parametri - analisi dei residui VERIFICA DEL MODELLO accettazione rifiuto UTILIZZAZIONE MODELLO

PUNTO DI FORZA DELLA METODOLOGIA: La procedura è ITERATIVA (spesso non si chiude dopo il primo ciclo) INTERATTIVA (le conoscenze interne ed esterne ai dati che intervengono nel procedimento lo orientano verso la soluzione finale) PUNTO DI FORZA DELLA METODOLOGIA: IL RIFIUTO INSEGNA SULLA DIREZIONE DAPRENDERE PER UN MODELLO ALTERNATIVO

ANALISI PRELIMINARI Serie di verifiche preliminari sulla serie storica di interesse per accertare: stazionarietà in media e varianza gaussianità presenza di outlier e variazioni strutturali Fondamentali le analisi grafiche e l’analisi dei correlogrammi. Possono evidenziare la necessità di trasformare la serie. Producono, in uscita la ‘serie di lavoro’, cioè la serie su cui andrà individuato il modello (es. zt, zt, logzt, logzt, ecc.).

IDENTIFICAZIONE Consiste nella determinazione degli ordini p,q,P e Q del modello. Viene svolta mediante lo studio delle f.a.c. e della f.a.c.p. campionarie e il confronto di queste con le corrispondenti funzioni teoriche. FASE SOGGETTIVA: occorre riconoscere l’andamento di intere funzioni matematiche (f.a.c. e f.a.c.p. teoriche) sulla base delle corrispondenti stime campionarie, che sono soggette a grande variabilità (necessità di fare riferimento a bande di confidenza).

STIMA Una volta individuato l’ordine è necessario stimare i parametri del modello. Esistono diverse metodologie di stima: i metodi più utilizzati sono il metodo della massima verosimiglianza e il metodo dei minimi quadrati non lineari. Richiedono l’applicazione di algoritmi iterativi.