Iniziamo con la rappresentazione dell’architettura… … e se l’edifico è complesso?

vediamo qual è la miglior superficie per rappresentare la terra Abbiamo quindi 2 problemi: la scelta della superficie di riferimento GEODESIA vediamo qual è la miglior superficie per rappresentare la terra lo sviluppo sul piano di tale superficie CARTOGRAFIA sviluppiamo sul piano questa superficie La rappresentazione è in prima approssimazione una proiezione ortogonale in quale sistema di riferimento? c’è un sistema nazionale/internazionale unico?

Forma della terra La terra è tonda e liscia come una palla da biliardo (irregolarità dell’ordine di 1/1000)

GEOIDE Il Geoide è quella superficie che è sempre perpendicolare alle linee di forza del campo gravitazionale. Geoide P q P’ mare verticale Assumiamo il Geoide come riferimento delle quote Quota di P è la distanza di P dal Geoide, considerata sulla verticale.

ipotesi: Terra sferica non animata da moti Un po’ di storia………….. v R A S  Eratostene 220 a.c. ipotesi: Terra sferica non animata da moti  verticale diretta nel centro Come determinarne il RAGGIO? I raggi del Sole si considerano paralleli in quanto provenienti ~ dall’ A Siene (S), nel giorno del Solstizio d’estate, il Sole illumina il fondo dei pozzi: è allo Zenit E’ possibile misurare  ad Alessandria (A) AS è misurato (a passi di cammello!) AS=R* Errore dell’ordine del 10% !!!

AS=R*

Copernico, Galileo, Keplero,… Scoprirono i moti terrestri:la Terra non è una sfera : è schiacciata Mac Laurin (1700): ELLISSOIDE DI ROTAZIONE Sorse il problema di come determinare valori per a e c, ovvero =(a-c)/a c a Campagne per la misura del grado a diverse latitudini: CASSINI – meridiano di Francia PERU’ - LAPPONIA (1737-1743) a  1/300

Bessel 1841 6 377 397 1/299.2 Clarke 1880 6 378 243 1/293.5 Hermert prime rappresentazioni cartografiche italiane Clarke 1880 6 378 243 1/293.5 Hermert 1906 1/298.3 Hayford 1909 6 378 388 1/297.0 adottato come ellissoide internazionale Krassowsky 1942 6 378 245 WGS84 (GRS80) 1988 6 378 137 1/298.257 GPS

P CONSIDERAZIONI SUL GEOIDE Ogni particella della Terra è animata nel cosmo da un movimento che deve essere considerato risultante di moti elementari. sud nord z y x P r Q Ai fine del calcolo della gravità è sufficiente, per i nostri scopi considerare il moto di rotazione (precessione, nutazione, .. sono ininfluenti) La velocità angolare di rotazione w è costante e vale w = 2p/86164 rad/sec FORZE AGENTI SULL’ELEMENTO P

r è la distanza del generico punto P dall’asse di rotazione sud nord z y x P r Q P r Accelerazione centrifuga: sul punto P, dove è concentrata la massa m, il moto rotatorio della Terra intorno all’asse polare causa un’accelerazione a = ² r, dove: r è la distanza del generico punto P dall’asse di rotazione  è la velocità angolare del moto di rotazione (2/giorno siderale) L’accelerazione determina una forza centrifuga pari a: massima all’equatore, nulla ai poli f F g Attrazione newtoniana: sul punto P, dove è concentrata la massa m, la massa M, concentrata in Q esercita la forza dove: l è la distanza tra P e Q G costante newtoniana 6.67 10-11 m3kg-1s-2

La forza di gravità g è la composizione di queste due forze Non possiamo calcolare con la formula F=(G M m’)/l² l’attrazione che TUTTA LA TERRA esercita su P Decomponiamo la massa in elementi infinitesimi dM Ciascun elemento infinitesimo esercita sul punto P dF = G dM l2 La risultante F di tutte le forze elementari è l’attrazione newtoniana esercitata da tutta la Terra su P P dF g f Su P agiscono in prima approssimazione f, dovuta al moto rotatorio, dF, dovuta all’attrazione newtoniana. Cioè g= dF +f La forza di gravità g è la composizione di queste due forze g è la forza di gravità

La gravità costituisce un campo di forze: IL CAMPO GRAVITAZIONALE Ogni punto della Terra è soggetto alla forza di gravità ed ha un suo valore di g La gravità costituisce un campo di forze: IL CAMPO GRAVITAZIONALE POSSIAMO CONSIDEARE LE LINEE DI FORZA DEL CAMPO GRAVITAZIONALE e cioè LINEE CHE HANNO IN OGNI LORO PUNTO PER TANGENTE LA DIREZIONE DELLA FORZA Le linee di forza del campo gravitazionale sono curve gobbe e si chiamano verticali La tangente alla loro direzione in un punto è fornita dal filo a piombo: è facilmente individuabile geoide

Siamo arrivati a dire che: esiste un campo di forze, il campo gravitazionale le linee di forza del campo gravitazionale sono inviluppate dalle verticali dm in P sia unitaria, dm=1 dM sud nord z y x a Q b c P P r g = dF + f f F g dM dF = - G (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² f = ² r = ² (x² + y²)½ Quando si dice che una funzione v =v(x,y,z) ammette un potenziale (x,y,z) ? Quando  = vx  = vy  = vz x y z

Le due funzioni dF e f ammettono come potenziali dV e v [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² ] ½ dm dV = G = G l v = 1² (x² + y²) = 1 ² r² 2 2 Per i potenziali vale la proprietà additiva dm volume elementare  densità a b c variabili di integrazione V = G   [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² ] ½  da db dc IL POTENZIALE DELLA GRAVITÀ W(x, y, z) = V (x, y, z) + v (x, y)

W(x, y, z) = cost UNA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE Ponendo Troviamo l’equazione di una superficie il cui potenziale ha valore costante, cioè UNA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE Linee di forza W= ci Facendo variare la costante in W= ci si ottiene UNA FAMIGLIA DI SUPERFICI, superfici di livello, che in ogni loro punto sono normali alla direzione della gravità

Quella particolare superficie di livello che passa per un punto stabilito, e che definisce il livello medio del mare, è il GEOIDE Linee di forza W= ci P P’ mare verticale GEOIDE W=c0 linea di forza la verticale le è tangente g g è la forza di gravità W(x, y, z) = V (x, y, z) + v (x, y) = C W(x, y, z) = G   [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² ] ½  da db dc + 1 ² r² 2 IL GEOIDE È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA TERRA

superficie fisica della Terra W(x, y, z) = G   [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² ] ½  da db dc + 1 ² r² 2 IL GEOIDE È L’ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA TERRA PERCHE’ NON UTILIZZIAMO L’ESPRESSIONE DEL GEOIDE NEL PASSAGGIO superficie fisica della Terra GEOIDE PROIEZIONE SUL PIANO

W(x, y, z) = G   [(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² ] ½  da db dc + 1 ² r² 2 QUESTA FORMULA NON E’ OPERATIVA PERCHE’ NON CONOSCIAMO IL VALORE DI 

superficie fisica della Terra GEOIDE ELLISSOIDE PROIEZIONE SUL PIANO

A Torino differenza di ca. 50 m A Torino scostamento di circa 50m

SISTEMI ASSOLUTI E RELATIVI Coordinate geografiche (dipendono dal datum) Latitudine ()  Paralleli Longitudine ()  Meridiani

Coordinate geodetiche polari e rettangolari Geodetica: curva gobba di minima lunghezza che unisce due punti sull'ellissoide ( distanza) Coordinate geodetiche polari e rettangolari

sfera osculatrice Raggi principali di curvatura , N

Teoremi della geodesia operativa Formule di Puiseaux-Weingarten Fino a lunghezze di archi di geodetica dell'ordine del centinaio di chilometri: gli angoli misurati fra sezioni normali (A) differiscono da quelli delle corrispondenti geodetiche () di quantità sicuramente inferiori alla massima precisione possibile nelle misure angolari la differenza di lunghezza fra un arco misurato di sezione normale ed il corrispondente arco di geodetica è sempre trascurabile per qualsiasi valore della lunghezza dell'arco medesimo

Semplificazioni della superficie di riferimento Ellissoide Sfera locale Piano tangente

Scostamenti ellissoide-sfera - PLANIMETRIA s (km) 50 100 150 200 x (mm) 3.47 27.74 93.62 226.35 x/s 0.07 10-6 0.28 10-6 0.62 10-6 1.13 10-6 Campo geodetico (di Weingarten) Precisione 10-6 Scostamenti ellissoide-sfera - ALTIMETRIA S (km) 1 10 20 50 100 z (cm) 0.03 2.66 10.63 66.43 265.72 Livellazione trigonom.

Scostamenti ellissoide-piano - PLANIMETRIA s (km) 1 10 15 30 50 x (mm) 0.004 4 14 112 519 x/s 0.004 10-6 0.4 10-6 0.9 10-6 3.7 10-6 10.4 10-6 Precisione 10-6 Campo topografico Scostamenti ellissoide-piano - ALTIMETRIA s (km) 0.1 0.5 1 10 15 z (cm) 0.08 2.0 7.9 789 1775 Livellazione geom. Precisione 10-6 Livellazione geom.