Ovvero “Quanto è lunga la costa della Bretagna?” I FRATTALI Ovvero “Quanto è lunga la costa della Bretagna?” prof. Vanda Riboldi

Che cosa sono? Termine coniato nel 1975 da B. B. Mandelbrot per indicare una vasta categoria di oggetti matematici di dimensione geometrica frazionaria (da cui frattale, dal latino frangere) I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta

Le prime curve vengono studiate già a fine ‘800 da Koch e Peano, ma vengono considerate pure stranezze matematiche Con la pubblicazione del libro The fractal geometry of nature (Mandelbrot – 1977) i frattali diventano uno strumento matematico per studiare il comportamento di fenomeni naturali complessi

Risoluzione indefinita Dimensione frazionaria La definizione di frattale non è unica. Esiste una grande varietà di oggetti che vengono definiti frattali ed ognuno ha caratteristiche proprie. Le principali proprietà di una figura frattale F sono: Autosimilarità Struttura fine Risoluzione indefinita Dimensione frazionaria

Autosimilarità F è unione di un numero di parti che , ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F In altri termini se dettagli vengono osservati a scale differenti, si nota sempre una certa somiglianza approssimativa con il frattale originale

Si è sviluppata una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi. Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli riproducono sempre la stessa figura Nella figura accanto sono evidenziati i primi tre passi di questo confronto. La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu.

F rivela dettagli ad ogni ingrandimento: Struttura fine F rivela dettagli ad ogni ingrandimento: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente

Risoluzione indefinita Non è possibile definire in modo netto ed assoluto i confini dell'insieme (i bordi dell'immagine) F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. La funzione è ricorsiva: F = {Z | Z = f(f(f(...)))}

Per esempio usiamo come formula generatrice del frattale la seguente:  Z=z*z+c; si tratta di una parabola traslata rispetto all'origine in base al termine noto c. Quello che interessa è come si comporta, dato un punto di partenza, reimpostando nell'equazione i risultati della elaborazione precedente (z=Z) e proseguendo generando una successione di numeri reali il cui comportamento dipende dalla scelta del punto di partenza, nonché di c. E' proprio questo che genera l'indefinitezza, ovvero la possibilità di iterare virtualmente all'infinito per ciascun punto prima di passare al successivo.

la precisione del disegno dei confini diventa sempre più accurata Questa immagine mostra l'insieme di Mandelbrot ottenuto con un numero crescente di iterazioni massime: la precisione del disegno dei confini diventa sempre più accurata

Dimensione frazionaria Sebbene i frattali possano essere rappresentati (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. La lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.

In questi casi la dimensione è data dall'esponente di N. Ricordiamo che un oggetto è autosimile quando può essere diviso in un certo numero di parti simili alla figura intera. Un segmento può essere diviso in N parti simili al segmento intero, ciascuna parte di lunghezza 1/ N. Un quadrato può essere diviso in N2 parti simili al quadrato intero; ciascuno di questi quadratini più piccoli avrà area pari a 1/N2 del quadrato grande. Un cubo può essere diviso in N3 cubi più piccoli; ciascuno avrà volume pari ad 1/N3 del cubo iniziale. In questi casi la dimensione è data dall'esponente di N.

La dimensione frattale D viene definita da: Supponiamo di considerare un frattale in cui possiamo distinguere N copie autosimili. Ciascuna di queste copie si ottiene tramite un'omotetia di rapporto K. La dimensione frattale D viene definita da:

Dsegmento= log N / log(N)=1 Dquadrato= log(N2) / log(N)=2 Nei tre esempi visti (segmento, quadrato, cubo) K = 1/N Di conseguenza otteniamo: Dsegmento= log N / log(N)=1 Dquadrato= log(N2) / log(N)=2 Dcubo= log(N3) / log (N)=3 La dimensione di un frattale ci dà un'idea di quanto esso riempia il piano. Frattali di dimensione prossima ad 1 saranno simili ad una curva, frattali di dimensione prossima a 2, tenderanno ad occupare tutto il piano.

Triangolo di Sierpinski Il triangolo di Sierpinski può essere diviso in 3 parti simili all'intero triangolo. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad un'omotetia di rapporto K=1/2

Merletto di Koch Il merletto di Koch può essere diviso in 4 parti simili all'intero frattale. Ciascuna di esse si ottiene grazie ad un'omotetia di rapporto K=1/3.

Risulta quindi non autosimile, ma autosimile in senso generalizzato Fiocco di neve Non è possibile suddividere la figura in un numero di copie nella figura stessa: ovvero non è autosimile. D'altra parte è possibile, però dividere la figura in tre copie del merletto di Koch Risulta quindi non autosimile, ma autosimile in senso generalizzato

Costruzione del Merletto di Koch Si prende un segmento, lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmenti uguali a quello eliminato Si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti e si continua a ripeterla per un numero infinito di volte. 

Costruzione del Fiocco di neve Il Fiocco di neve si ottiene applicando il procedimento appena descritto ai lati di un triangolo.

Caratteristiche Le curve frattali pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto Presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita

Lunghezza del Merletto di Koch Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo 16/9, il quarto 64/27 e così via.  Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende all’infinito.  Inoltre ogni pezzo del merletto, anche piccolissimo, gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari e quindi anch'esso è di lunghezza infinita.

Quanto è lunga la costa della Bretagna? La lunghezza è diversa se considerata da un satellite, da un aereo a bassa quota o dal suolo, perché si devono utilizzare unità di misura diverse e i diversi dettagli contano in misura differente. Se tenessimo conto dei dettagli troveremmo che la lunghezza tende rapidamente all’infinito: infatti un tratto di costa può essere approssimato dalla curva di Kock (autosimilarità in senso statistico)

Teoria del caos "Una goccia d'acqua che si spande nell'acqua, le fluttuazioni delle popolazioni animali, la linea frastagliata di una costa, I ritmi della fibrillazione cardiaca, l'evoluzione delle condizioni meteorologiche, la forma delle nubi, la grande macchia rossa di Giove, gli errori dei computer, le oscillazioni dei prezzi sono fenomeni apparentemente assai diversi, che possono suscitare la curiosità di un bambino o impegnare per anni uno studioso, con un solo tratto in comune: per la scienza tradizionale, appartengono al regno dell'informe, dell'imprevedibile dell'irregolare. In una parola al caos. Ma da due decenni, scienziati di diverse discipline stanno scoprendo che dietro il caos c'è in realtà un ordine nascosto, che dà origine a fenomeni estremamente complessi a partire da regole molto semplici.“ (J.Gleick, pioniere di una nuova scienza, Chaos)

Teoria del caos Nella scienza classica, il caos era per definizione ,assenza di ordine. Oggi è considerato una dimensione retta da leggi non definibili; infatti, il concetto di disordine è inteso come complessità. E' fondamentale sottolineare che il caos non è sinonimo di caso e non si può parlare di completo disordine, in quanto i sistemi caotici, alla luce delle nuove scoperte della teoria del caos, sono sistemi dinamici sempre prevedibili a breve termine e, quindi, riconducibili ad una logica nuova più o meno complessa. Si può, dunque, paradossalmente affermare, in base a precise scoperte scientifiche, che nel caos c'è ordine.

Studi con frattali e teoria del caos Configurazioni delle nuvole – Scariche elettriche nei mezzi (per es. fulmini) Distribuzione delle galassie Distribuzione di un minerale sulla crosta terrestre Crescita e diffusione delle coltivazioni Terremoti

Studi con frattali e teoria del caos Ramificazioni dei vasi sanguigni – Struttura dei polmoni Ritmi della fibrillazione cardiaca Insorgenza di tumori (in relazione alla variazione della dimensione frattale di particolari strutture fisiologiche) Analisi della sequenza del DNA Analisi della struttura delle proteine Distribuzione della popolazione su un territorio Sistemi economici (mercato, borsa, vita di un’azienda …)

Applicazioni Arte (produzione di immagini mescolando una scelta oculata di colori con la complessità della forma) Musica (essendo funzioni matematiche è possibile associare ai frattali una rappresentazione sonora: l'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità) Cinema e videogiochi (strutture complesse e ramificate come alberi, coralli o paesaggi, vengono simulati con algoritmi frattali)