La probabilità nei giochi matematici Frascati 16 ottobre 2011 Nando Geronimi Centro Pristem Bocconi FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il primo problema Il cavaliere de Méré propose a Pascal il seguene problema: “E’ più facile vincere se si scommette che lanciando 4 volte 1 dado si presenti almeno una volta il 6, oppure se si scommette che lanciando 24 volte 2 dadi si presenti almeno una volta il doppio 6?” Calcolo di de Méré: Il rapporto tra il numero dei lanci (4 o 24) e il numero dei casi possibili (6 o 36) è lo stesso: 4:6=24:36. Sembra che le due probabilità sia uguali. Calcolo di Pascal: E1: esca almeno una volta il 6 in 4 lanci” E2: esca almeno una volta il doppio 6 in 24 lanci”. P(E1)=1- (5/6)4= 0,5177… P(E2)=1-(35/36)24 = 0,4914… 1/6+1/6+1/6+1/6=4/6=2/3 (1/6x1/6)+(1/6x1/6)+ ……=24x(1/36)=24/36=2/3 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il triangolo ottusangolo In un piano sono dati tre punti non allineati. Calcolare la probabilità che i tre punti siano vertici di un triangolo ottusangolo. (Lewis Carrol) FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il triangolo ottusangolo Chiamiamo con AB il segmento maggiore. Tracciamo gli archi R1 e R2 aventi centro rispettivamente in A e in B, e raggio AB; chiamiamo con P il loro punto di intersezione. Il terzo punto C si trova nella regione di piano compresa tra il segmento AB e gli archi AP e BP. P C2 C1 A B Tracciamo un semicerchio di diametro AB. I segmenti AC e BC sono gli altri due lati di un triangolo. Se il punto C è interno al semicerchio il triangolo è ottusangolo. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il triangolo ottusangolo P La probabilità richiesta è il rapporto tra l’area del semicerchio e l’area della regione di piano individuata dal segmento AB e dai due archi AP e BP. C A B Indipendentemente dall’unità di misura, la probabilità è: p=(π/2)/((4π/3)-√3) = 0,639… FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le sfere multicolori Indichiamo con r, b ,a,v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere. Il numero di casi possibili è: Un’urna contiene sfere di quattro colori: rosso, bianco, azzurro e verde. Estraendo contemporaneamente 4 sfere a caso, i seguenti eventi sono tutti ugualmente possibili: 4 sfere rosse 1 sfera bianca e 3 rosse 1sfera bianca, 1 azzurra e 2 rosse 4 sfere di colori diversi. Quante sfere ci sono al minimo nell’urna? Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è: = rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24 =bxrx(r-1)x(r-2))/6 =bxaxrx(r-1))/2 =bxaxrxv I quattro prodotti devono essere uguali tra loro FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le sfere multicolori Indichiamo con r, b ,a,v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere. Il numero di casi possibili è: . Da a) e b) si ricava b=(r-3)/4 Da b) e c) si ricava a= (r-2)/3 Da c) e d) si ricava v= (r-1)/2 Qual è il più piccolo numero che diviso per 4 dà resto 3, diviso per 3 dà resto 2 e diviso per 2 da resto 1? Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è: = rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24 =bxrx(r-1)x(r-2))/6 =bxaxrx(r-1))/2 =bxaxrxv I quattro prodotti devono essere uguali tra loro E’ il m.c.m tra2, 3 e 4, diminuito di 1, cioè 11. Da cui: n=21 r=11 b=2 a=3 v=5 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La mancia e gli scacchi “Papà mi regali 10 Euro?” “No Paolo, devi guadagnarteli! Facciamo tre partite a scacchi, contro di me e contro tua madre. Puoi scegliere l’ordine delle partite tra: padre-madre-padre oppure madre-padre-madre. Se vinci almeno due partite consecutive ti sarai guadagnato i 10 Euro”. Sapendo che Paolo, nel gioco degli scacchi è più debole del padre ma più forte della madre, quale sarà la sua scelta nell’ordine delle partite per avere la maggiore probabilità di guadagnarsi i 10 Euro? FRASCATI, 16 ottobre 2011

La mancia e gli scacchi Facciamo una simulazione. Indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. Supponiamo che le due probabilità siano rispettivamente: p=0,20 e q=0,70. La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è: Nel caso madre-padre-madre: qxpxq = 0,7x0,2x0,7=0,098 qxpx(1-q) = 0,7x0,2x0,3 =0,042 (1-q)xpxq = 0,3x0,2x0,7 =0,042 La probabilità totale è: 0,182 Nel caso padre-madre-padre: pxqxp = 0,2x0,7x0,2 = 0,028 pxqx(1-p) = 0,2x0,7x0,8 = 0,112 (1-p)xqxp = 0,8x0,7x0,2 = 0,112 La probabilità totale è: 0,252 FRASCATI, 16 ottobre 2011

4-La mancia e gli scacchi Nel caso madre-padre-madre: qxpxq = q2xp qxpx(1-q) = pxq- q2xp (1-q)xpxq = pxq- q2xp La probabilità totale è: 2xpxq- q2xp Nel caso padre-madre-padre: pxqxp = p2xq pxqx(1-p) = pxq- p2xq (1-p)xqxp = pxq- p2xq La probabilità totale è: 2xpxq- p2xq Generalizziamo: indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è: Paolo ha una maggiore probabilità di avere 10 Euro giocando in successione con Padre - Madre - Padre Dal confronto dei risultati si ha: 2xpxq- p2xq > 2xpxq- q2xp infatti: - p2xq > - q2xp o q2xp > p2xq perché q>p FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il dado irregolare In un dado irregolare la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore. Calcolare la probabilità di ciascuna faccia. p(1) = 1/21 p(2) = 2/21 p(3) = 3/21 p(4) = 4/21 p(5) = 5/21 p(6) = 6/21 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi?

Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? 1 2 3 4 5 6 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21

Il dado irregolare 1 2 3 4 5 6 FRASCATI, 16 ottobre 2011 Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? 1 2 3 4 5 6 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 2:1/441 3:2/441 4:3/441 5:4/441 6:5/441 7:6/441 4:4/441 5:6/441 6:8/441 7:10/441 8:12/441 6:9/441 7:12/441 8:15/441 9:18/441 8:16/441 9:20/441 10:24/441 10:25/441 11:30/441 12:24/441 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il dado irregolare Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore). Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi? 1 2 3 4 5 6 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 2:1/441 3:2/441 4:3/441 5:4/441 6:5/441 7:6/441 4:4/441 5:6/441 6:8/441 7:10/441 8:12/441 6:9/441 7:12/441 8:15/441 9:18/441 8:16/441 9:20/441 10:24/441 10:25/441 11:30/441 12:24/441 Somma 8: 70/441 Somma 9: 76/441 Somma 10: 73/441 FRASCATI, 16 ottobre 2011

“Ho un asso!” Alice sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: “Ho un asso!”. Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse? 5359/14498, meno di 1/2 FRASCATI, 16 ottobre 2011

“Ho un asso di quadri!” Bob sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: “Ho un asso di quadri!” Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse? 11686/20825, più di 1/2 FRASCATI, 16 ottobre 2011

7/a “Ho un asso!” ALICE BOB Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1♠), asso di quadri (1♦), due di fiori (2♣) e cinque di cuori (5♥). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Alice annuncia: “Ho un asso!” Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse? 1♠-1♦ 5♥-2♣ 1♠-2♣ 5♥-1♦ 1♠-5♥ 2♣-1♦ 1♦-2♣ 5♥-1♠ 1♦-5♥ 2♣-1♠ Probabilità:1/5 FRASCATI, 16 ottobre 2011

7/a “Ho un asso quadri!” BOB ALICE Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1♠), asso di quadri (1♦), due di fiori (2♣) e cinque di cuori (5♥). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Bob annuncia. “Ho un asso di quadri!”. Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse? 1♠-1♦ 5♥-2♣ 1♠-2♣ 5♥-1♦ 1♠-5♥ 2♣-1♦ 1♦-2♣ 5♥-1♠ 1♦-5♥ 2♣-1♠ Probabilità:1/3 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Laplace Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dall’urna C. Qual è la probabilità che sia nera? A B C Se si ignora quale urna contenga le palle nere, la probabilità di estrarre una palla nera dall’urna C è 1/3. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Laplace Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dall’urna C. Qual è la probabilità che sia nera? A B C Se si sa che l’urna A contiene solo palle bianche, la probabilità di estrare una palla nera dall’urna C è 1/2. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Laplace (1814 Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche. Si estrae una pallina dall’urna C. Qual è la probabilità che sia nera? A B C Se si sa che le urne A a e B contengono solo palle bianche, si ha la certezza che la palla estratta dall’urna C è nera. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1897) Un amico mi presenta un sacco che contiene quattro gettoni, ognuno dei gettoni può essere bianco (B) o nero (N). Mi invita ad estrarre due gettoni: sono entrambi bianchi. Poi mi dice: “Volevo dirti, prima di farti estrarre i gettoni, che almeno uno è bianco. Ma ora già lo sai, non ho più bisogno di dirtelo. Prendi ora un altro gettone” 1) Qual è la probabilità di estrarre il terzo gettone bianco? 2) Quale sarebbe la probabilità se mi avesse detto prima del gettone bianco? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1897) E: “prima estrazione due gettoni bianchi” F: “seconda estrazione un gettone bianco” 1–1 1-2-1 1-3-3-1 1-4-6-4-1 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 P(E) = 1x1/16 + 1/2 x 4/16 + 1/6 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/4 1 1/2 0 P(E∩F) = 1x1/16 + 1/4 x 4/16 + 0 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/8 P(F/E) = P(E∩F/E) = (1/8) / (1/4) = 1/2 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1897) E: “prima estrazione due gettoni bianchi” F: “seconda estrazione un gettone bianco” 1–1 1-2-1 1-3-3-1 1-4-6-4-1 1/16 1/8 4/16 3/8 6/16 3/8 4/16 1/8 P(E) = 1x1/8 + 1/2 x 3/8 + 1/6 x 3/8 + 0 x 1/8 = 3/8 P(E∩F) = 1x1/8 + 1/4 x 3/8 + 0 x 3/8 + 0 x 1/8 = 7/32 P(F/E) = P(E∩F/E) = (7/32) / (3/8) = 7/12 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La lettera attesa Sono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, l’altro a CONDINO. Ricevo una lettera da quella provincia, del il timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile. Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO? FRASCATI, 16 ottobre 2011

La lettera attesa Sono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, l’altro a CONDINO. Ricevo una lettera da quella provincia, dal timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile. Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO? Entrambe le località sono nomi formati da sette lettere; in ognuna si possono avere 6 coppie di lettere consecutive: BO – ON – ND – DO – ON - NE CO - ON – ND - DI – IN - NO La probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO è 1/3 FRASCATI, 16 ottobre 2011

QUADRATILANDIA Sono in visita a Quadratilandia. Parto da un incrocio e vado verso Nord (vedi la figura). Ad ogni incrocio lancio una moneta: se viene Testa giro a destra, se viene Croce giro a sinistra. Qual è la probabiltà che dopo aver lanciato 7 volte la moneta e percorso 8 tratti, mi ritrova nell’incrocio da cui sono partito? FRASCATI, 16 ottobre 2011

QUADRATILANDIA Indichiamo con +i uno spostamento unitario verso Nord, con –i uno spostamento unitario verso Sud, con +1 uno spostamento unitario verso Est e con -1 uno spostamento unitario verso Ovest. Si fa ritorno al punto di partenza se la somma degli otto movimenti è 0. Gli otto possibili spostamenti unitari sono, nell’ordine: +i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1. La somma dei diversi i (+i, ±i, ±i, ±i) si può scrivere in 23=8 modi diversi e 3 di questi hanno somma 0: (+i, +i, -i, -i) (+i, -i, +i, -i) (+i, -i, -i, +i) La somma dei diversi 1 (±1, ±1, ±1, ±1) si può scrivere in 24 =16 modi diversi e 6 di questi hanno somma 0: (+1, +1, -1, -1) (+1, -1, +1, -1) (+1, -1, -1, +1) (-1, +1, +1, -1) (-1, +1, -1, +1) (-1, -1, +1, +1) La probabilità che mi ritrova al punto di partenza è 3/8 x 6/16 = 9/64 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le scelte di Ali-Baba Il sultano disse ad Ali-Baba: “Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”. Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi. Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Le scelte di Ali-Baba Il sultano disse ad Ali-Baba: “Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”. Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi. Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi? (1/2)x1 (1/2)x12/25 27/50 + = FRASCATI, 16 ottobre 2011

Triangoli Ci sono cinque segmenti lunghi rispettivamente 2,4,6,8,10 cm. Scegliendo a caso tre segmenti, che probabilità abbiamo di poter costruire un triangolo? Le terne possibili sono 1Solo le terne (4,6,8) – (4,8,10) – (6,8,10) soddisfano la condizione per costruire un triangolo. La probabilità è 3/10 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Divisori M è un numero intero che ha la proprietà che se scegliamo a caso un numero x dall’insieme dei primi 1000 numeri interi positivi, la probabilità che x sia un divisore di M è 1/100. Se M≤1000, trovare il massimo valore che può assumere. Il numero deve avere esattamente 10 divisori, la sua scomposizione in fattori primi deve essere tale che abbia due soli fattori, uno con eponente 4 e l’altro con esponente 1. Il fattore elevato alla quarta potenza deve essere < 5 perché 54=625 (che dovremmo poi moltiplicare per il secondo fattore primo). Restano due soli casi possibili: 24 x61=976 (24 x 67=1072) 34 x11=891 (34 x13=1053) M=976 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno Bob è stato invitato ad una serata a casa di Alice, una amica matematica. Quando Bob arriva alla festa, Alice lo accoglie calorosamente con queste parole: “Grazie al tuo arrivo, ora siamo in numero sufficiente affinchè la probabilità che almeno due dei presenti festeggino il loro compleanno nello stesso giorno è maggiore di ½, escludendo naturalmente il caso che uno sia nato il 29 febbraio”. Qual è la probabiltà che almeno uno dei presenti festeggi il compleanno nello stesso giorno di Bob? FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno Probabilità che due persone non siano nate nello stesso giorno: 364/365 Probabilità che tre persone non siano nate nello stesso giorno: 364/365 x 363/365 Probabilità che quattro persone non siano nate nello stesso giorno: 364/365 x 363/365 x 362/365 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno FRASCATI, 16 ottobre 2011 NUMERO DI AMICI ULTIMO FATTORE PRODOTTI SUCCESIVI POTENZE DI 365 PROBABILITA’ DATA DIVERSA PERCENTUALE DATA UGUALE 1 364 365 0,99726 0,273973 2 363 132132 133225 0,991796 0,820417 3 362 47831784 48627125 0,983644 1,635591 4 361 17267274024 1,77E+10 0,972864 2,713557 5 360 6,21622E+12 6,48E+12 0,959538 4,046248 6 359 2,23162E+15 2,36E+15 0,943764 5,62357 7 358 7,98921E+17 8,63E+17 0,925665 7,433529 8 357 2,85215E+20 3,15E+20 0,905376 9,462383 9 356 1,01536E+23 1,15E+23 0,883052 11,69482 10 355 3,60454E+25 4,2E+25 0,858859 14,11414 11 354 1,27601E+28 1,53E+28 0,832975 16,70248 12 353 4,50431E+30 5,59E+30 0,80559 19,44103 13 352 1,58552E+33 2,04E+33 0,776897 22,31025 14 351 5,56517E+35 7,45E+35 0,747099 25,29013 15 350 1,94781E+38 2,72E+38 0,716396 28,3604 16 349 6,79785E+40 9,92E+40 0,684992 31,50077 17 348 2,36565E+43 3,62E+43 0,653089 34,69114 18 347 8,20881E+45 1,32E+46 0,620881 37,91185 19 346 2,84025E+48 4,83E+48 0,588562 41,14384 20 345 9,79886E+50 1,76E+51 0,556312 44,36883 21 344 3,37081E+53 6,43E+53 0,524305 47,56953 22 343 1,15619E+56 2,35E+56 0,492703 50,72972 23 342 3,95416E+58 8,57E+58 0,461656 53,83443 24 341 1,34837E+61 3,13E+61 0,4313 56,86997 25 340 4,58445E+63 1,14E+64 0,401759 59,82408 26 339 1,55413E+66 4,16E+66 0,373141 62,68593 27 338 5,25296E+68 1,52E+69 0,345539 65,44615 28 337 1,77025E+71 5,55E+71 0,319031 68,09685 29 336 5,94803E+73 2,03E+74 0,293684 70,63162 30 335 1,99259E+76 7,39E+76 0,269545 73,04546 31 334 6,65525E+78 2,7E+79 0,246652 75,33475 32 333 2,2162E+81 9,85E+81 0,225028 77,49719 33 332 7,35778E+83 3,59E+84 0,204683 79,53169 34 331 2,43542E+86 1,31E+87 0,185617 81,43832 35 330 8,0369E+88 4,79E+89 0,167818 83,21821 36 329 2,64414E+91 1,75E+92 0,151266 84,8734 37 328 8,67278E+93 6,38E+94 0,135932 86,40678 38 327 2,836E+96 2,33E+97 0,12178 87,82197 39 326 9,24536E+98 8,5E+99 0,108768 89,12318 40 325 3,0047E+101 3,1E+102 0,096848 90,31516 41 324 9,7354E+103 1,1E+105 0,08597 91,40305 42 323 3,1445E+106 4,1E+107 0,076077 92,39229 43 322 1,0125E+109 1,5E+110 0,067115 93,28854 44 321 3,2502E+111 5,5E+112 0,059024 94,09759 45 320 1,0401E+114 2E+115 0,051747 94,82528 46 319 3,3178E+116 7,3E+117 0,045226 95,47744 47 318 1,0551E+119 2,7E+120 0,039402 96,0598 48 317 3,3446E+121 9,8E+122 0,03422 96,57796 49 316 1,0569E+124 3,6E+125 0,029626 97,03736 50 315 3,3292E+126 1,3E+128 0,025568 97,4432 51 314 1,0454E+129 4,8E+130 0,021995 97,80045 52 313 3,272E+131 1,7E+133 0,018862 98,11381 53 312 1,0209E+134 6,3E+135 0,016123 98,3877 54 311 3,1749E+136 2,3E+138 0,013738 98,62623 55 310 9,8422E+138 8,4E+140 0,011668 98,83324 56 309 3,0412E+141 3,1E+143 0,009878 99,01225 57 308 9,367E+143 1,1E+146 0,008335 99,1665 58 307 2,8757E+146 4,1E+148 0,007011 99,29894 59 306 8,7995E+148 1,5E+151 0,005877 99,41227 60 305 2,6839E+151 5,5E+153 0,004911 99,50888 61 304 8,1589E+153 2E+156 0,00409 99,59096 62 303 2,4722E+156 7,3E+158 0,003396 99,66044 63 302 7,4659E+158 2,7E+161 0,00281 99,71905 64 301 2,2472E+161 9,7E+163 0,002317 99,76831 FRASCATI, 16 ottobre 2011

La data di compleanno FRASCATI, 16 ottobre 2011 Scegliendo a caso 24persone quale ritenete sia la probabilità che due o più di esse abbiano lo stesso giorno di nascita? FRASCATI, 16 ottobre 2011

La suddivisione dei bastoni Se rompiamo un’infinità di bastoni, qual è la probabilità che almeno uno sia rotto esattamente a metà? (Lewis Carrol) Immaginiamo di dividere ogni bastone in (n+1) parti con n numero dispari e che gli n punti abbiano tutti la stessa probabilità di essere punto di rottura. FRASCATI, 16 ottobre 2011

La suddivisione dei bastoni La probabilità che 1 bastone non sia diviso nel suo punto centrale è (n-1)/n. La probabilità che con n bastoni nessuno sia diviso nel suo centro è ((n-1)/n)^n = (1-1/n)^n. La probabiltà che con n bastoni almeno uno sia diviso al suo centro è: 1- (1-1/n)^n. Al tendere di n all’inifnito si ha: lim (n→ ∞) (1- (1-1/n)^n) = 1- 1/e ≈ 0,632 FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il paradosso di Pietroburgo Si lancia una moneta da 1 centesimo. Se viene testa il lanciatore paga 1 dollaro all’avversario; se viene croce il lancio viene ripetuto e se ora viene testa il lanciatore paga 2 dollari. Se viene croce si ripete il lancio e se viene testa il lanciatore paga 4 dollari. In breve, la posta viene raddoppiata ad ogni lancio e si continua sinchè non viene richiesto il pagamento. Quanto dovrebbe mettere di posta l’avversario per avere il privilegio di giocare a questo gioco? L’avversario ha sempre il diritto di scegliere se iniziare una nuova partita o di finire il gioco. (Daniel Bernoulli) 1$ T C C T 2$ C T 4$ C T 8$ FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il paradosso di Pietroburgo Qualsiasi somma, diciamo pure un milione di dollari per ogni singola partita. 1$ T In ogni singola partita si ha la probabilità: ½ di vincere 1 $ ¼ di vincere 2 $ 1/8 di vincere 4$ ……. C C T La vincita totale prevedibile è. (1x1/2)+(2x1/4)+(4x1/8)….. La somma di questa serie illimitata è infinita C T C T Qualsiasi somma pagasse in anticpito per ogni singola partita l’avversario vincerebbe alla fine giocando un sufficiente numero di partite. Si suppone che si disponga di un capitale illimitato e che si possa giocare un numero illimitato di partite. FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - ) Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ). Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - ) Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ). ? ? ? ± ± ± Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? FRASCATI, 16 ottobre 2011

Un problema di Lewis Carroll (1887) Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ). Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ). Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - ) Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ). ? ? ? ± ± ± Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi? FRASCATI, 16 ottobre 2011