LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III È possibile misurare la fortuna? Scuola edia Rainerum

Un po’ di storia … 

Il gioco dei dadi ha sempre affascinato l’umanità: era una sfida alla fortuna. Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C., i Greci, gli Etruschi, i Romani … Si giocava a dadi nelle più diverse parti del mondo e in tutte le epoche: nel Medioevo, nel Rinascimento … sempre. 

“Liber de ludo aleae” (Libro sul gioco dei dadi), X V I secolo Il matematico G. Cardano (1501-1576) scrive il “Liber de ludo aleae” (Libro sul gioco dei dadi), che verrà pubblicato solo 87 anni dopo la sua morte. 

”È preferibile, scommettere sull’uscita di X V II secolo il cavaliere De Méré si pose questo quesito: ”È preferibile, scommettere sull’uscita di ALMENO un 6 lanciando 4 volte un dado oppure ALMENO un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?” 

II V X secolo De Meré chiese a Blaise Pascal e Pierre De Fermat di studiare il problema Dagli studi dei due matematici scaturì la moderna Teoria delle Probabilità (1650 circa) 

II V X secolo 1656 L’olandese C. Huygens, prendendo spunto dal carteggio tra Pascal e Fermat, pubblica “De ratiociniis in ludo aleae” (Ragionamenti nel gioco dei dadi) 

”Ars conjectandi” (L’arte di congetturare) X V III secolo Nel 1713 viene pubblicato postumo il volume ”Ars conjectandi” (L’arte di congetturare) dello svizzero J. Bernoulli. Nel volume si propone l’uso della probabilità nel campo della medicina e della meteorologia. 

X I secolo Il tedesco C.F. Gauss utilizza la probabilità nello studio della geodesia e topografia. L’abate G. Mendel pone le basi della genetica usando metodi probabilistici. 

X secolo L’inglese K. Pearson introduce l’indagine statistica nella medicina e nella biologia. Nel 1944 l’americano di origine ungherese J.Von Neumann pubblica “Theory of Games end Economic Behavior” (Teoria dei giochi e comportamento economico), dando inizio alle applicazioni della teoria dei giochi nelle scienze sociali, nelle strategie elettorali, nell’economia. 

Un po’ di terminologia … 

Evento (Risultati possibili): Evento (Risultati possibili): M I N O L G A EVENTO (E) Ogni possibile risultato dell’esperimento Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado Evento (Risultati possibili): Testa , Croce Evento (Risultati possibili): 1, 2, 3, 4, 5, 6, # pari , # dispari, 3 o 5, 1 o 2 o 6, …, # < 2, # <4, … , # > 1, # >3, … , 

SPAZIO DEGLI EVENTI (S) R M I N O L G A SPAZIO DEGLI EVENTI (S) l’INSIEME di tutti i risultati dell’esperimento Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado Spazio degli Eventi: Spazio degli Eventi: {Testa, Croce} {1,2,3,4,5,6,#pari,#dispari,3o5,1o2o6,#<2,#<4,#>1,#>3, …} S T C S 1 2 3 5 4 6 < 2 < 5 pari dispari < 6 < 3 > 6 > 3 … 

un numero compreso tra 1 e 6 I N O L G A EVENTO CERTO Evento che SICURAMENTE si verificherà Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado EVENTO CERTO: Esce TESTA o CROCE EVENTO CERTO: Esce un numero compreso tra 1 e 6 

T E R M I N O L G A EVENTO POSSIBILE Evento che PUÒ verificarsi Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado EVENTI POSSIBILI: Esce TESTA Esce CROCE EVENTI POSSIBILI: Esce 1 Esce 2 Esce un #  3 Esce numero pari … 

T E R M I N O L G A EVENTO IMPOSSIBILE Evento che NON PUÒ verificarsi Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado EVENTI IMPOSSIBILI: Esce 1 Esce Giallo … EVENTI IMPOSSIBILI: Esce 0 Esce un #  7 Esce Testa … 

Iniziamo (iniziate) a lavorare … 

1^ Prova   Lavoro a coppie  ogni coppia lancia un dado esaedrico regolare NON truccato e compila la scheda n°1, n°2, n°4, n°5 consegnatale 

Scheda 1 10 lanci di un dado  Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta ISTOGRAMMA Esegui i 10 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU) nell’ISTOGRAMMA. Evento: Numero sul dado Numero Uscite 1 2 3 4 5 6 Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione  19

Se riesci giustifica la risposta Scheda 2 125 lanci di un dado Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta ISTOGRAMMA Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i risultati di ulteriori 115 lanci. Evento: Numero sul dado Numero Uscite 1 2 3 4 5 6 Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione  20

FREQUENZA ASSOLUTA fA(E) M I N O L G A FREQUENZA ASSOLUTA fA(E) Numero di volte che si è verificato l’evento E X 1 2 3 4 5 6 Rappresenta l’ALTEZZA della colonna dell’istogramma ISTOGRAMMA Evento: Numero sul dado Numero Uscite fA(E) fA(1) = 5 fA(2) = 4 fA(3) = 6 fA(4) = 1 fA(5) = 2 fA(6) = 7 

FREQUENZA RELATIVA fr(E) M I N O L G A FREQUENZA RELATIVA fr(E) È il rapporto tra la Frequenza Assoluta e il numero totale di lanci effettuati X 1 2 3 4 5 6 ISTOGRAMMA Evento: Numero sul dado Numero Uscite fA(E) 

Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra 0 e 1, G A FREQUENZA RELATIVA fr(E) Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra 0 e 1, a volte si preferisce esprimerla in percentuale: ciò significa che si moltiplica per 100 il suo valore e si scrive il simbolo % 

Frequenza Relativa in percentuale Scheda 3 calcolo frequenze Relativamente all’ultimo istogramma (quello con i 125 lanci), ogni coppia calcoli, per ogni Evento, Frequenza Assoluta Frequenza Relativa Frequenza Relativa in percentuale Eseguiti i calcoli passare la scheda alla coppia alla propria destra per la correzione  24

Scheda 4 250 lanci di un dado 500 lanci di un dado  Due gruppi si uniscono e creano un unico istogramma di 250 dati. Confrontano i tre istogrammi (10, 125 e 250 lanci) ponendo attenzione su: Frequenze Assolute e Relative 500 lanci di un dado Due gruppi si uniscono, formandone uno di 8 persone, e creano un unico istogramma di 500 dati. Verificano se le osservazioni precedenti sono ancora valide. Porre l’attenzione su: Frequenze Assolute (si osservino le differenze) Frequenze Relative (si osservino i valori)  25

Tiriamo le conclusioni : Scheda 5 1000 lanci di un dado Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato. Simuliamo con un foglio di calcolo (‘Calc’ o ‘Excel’) 1000000 lanci di un dado. Tiriamo le conclusioni :  26

Osservazione Qualitativa Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare) 100 Lanci 1000000 Lanci 

Aumentando il numero dei lanci Aumentando il numero dei lanci S E R V A Z I N Osservazione Qualitativa Frequenza ASSOLUTA: Aumentando il numero dei lanci le differenze tra i valori delle fA di ogni evento si riducono avvicinandosi a zero, ossia Frequenza RELATIVA: Aumentando il numero dei lanci 

O S E R V A Z I N Osservazione Qualitativa  Abbiamo un dado NON truccato con 6 facce uguali tra di loro, allora non vi è alcun motivo di pensare che una faccia debba mostrarsi più volte di un’altra. Si può quindi ipotizzare che ogni faccia debba comparire un numero di volte pari a 1/6 del numero dei lanci totale 1/6 perché: “1” è il numero dei casi favorevoli “6” è il numero dei casi possibili Definiamo PROBABILITÀ Matematica dell’evento E il numero 

C O N L U S I Abbiamo fatto vedere che  l’espressione Matematica indicante la PROBABILITÀ che esca un valore sul dado è nota prima del lancio PROBABILITÀ Matematica dell’evento E ed è confermata dall’esperienza se vengono effettuate un numero estremamente elevato di prove 

è una stima numerica del verificarsi di un determinato evento La PROBABILITÀ P(E) è una stima numerica del verificarsi di un determinato evento 

2^ Prova Si vuole studiare cosa avviene se anziché lanciare 1 dado se ne lancino 2. Questo studio avverrà confrontando i risultati del lancio di 2 dadi esaedrici con il lancio di 1 dado dodecadrico Confronteremo poi il risultato anche con un secondo esperimento che preveda la somma di 2 numeri ‘casuali’: il gioco del ‘pari o dispari’  32

2^ Prova   Lavoro: 5 coppie e 2 terne  4 coppie: lancio di due dadi esaedrici regolari NON truccati e compilazione della scheda n°6, n°7 e n°8  1 coppia: lancio di 1 dado dodecaedrico regolare NON truccato e compilazione della scheda n°8a  terna: due elementi giocano a ‘pari e dispari’ , il terzo segna i risultati; viene compilata la scheda n°6b e n°8b 

Scheda 6 50 lanci di due dadi  Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Esegui i 50 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA. Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione  34

Scheda 7 200 lanci di due dadi  Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i risultati di ulteriori 150 lanci. Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione  35

Scheda 8 1000 lanci di due dadi  Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato. E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci  36

Scheda 8a 1000 lanci di un dado dodecaedrico  Creiamo un istogramma di 1000 lanci. E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci  37

Scheda 6b 500 scambi a ‘pari/dispari’  Prima di iniziare a giocare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE. Se riesci giustifica la risposta Esegui i 500 scambi riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA. IMPORTANTE: “ NON giocare per vincere “ Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente. Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione  38

Scheda 8B 1000 scambi a ‘pari/dispari’  Creiamo un istogramma di 1000 scambi utilizzando tutti i dati che avete rilevato.  39

Lancio di 1 dado dodecaedrico S E R V A Z I N Lancio di 1 dado dodecaedrico Avete (abbiamo) ottenuto un risultato analogo al lancio di un dado esaedrico in quanto ogni evento (uscita di un numero compreso tra 1 e 12) è equivalente agli altri. Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare) 

Lancio di 2 dadi esaedrici V A Z I N Lancio di 2 dadi esaedrici Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un triangolo (distribuzione triangolare) 

Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici V A Z I N Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici Confrontiamo come si ‘formano’ gli eventi che analizziamo 1 dado 2 dadi 

Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici V A Z I N Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici 1 dado 2 dadi 

Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici V A Z I N Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici Ogni determinazione ha un UNICO ‘modo’ per potersi verificare: (Evento ELEMENTARE) Le determinazioni hanno un numero di ‘modi’ diversi per potersi verificare: (Evento COMPOSTO) 

TABELLA A DOPPIA ENTRATA M I N O L G A TABELLA A DOPPIA ENTRATA Per mostrare l’esito del lancio di 2 dati è anche possibile utilizzare una TABELLA A DOPPIA ENTRATA + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Come si legge la Tabella a doppia entrata Determinazioni 1°+ 2° dado: 36 casi possibili determinazioni 1° dado + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ci sono 6 casi favorevoli al 7 determinazioni 2° dado Ci sono 4 casi favorevoli al 9 Ci sono 2 casi favorevoli all’ 11 

E S R C I Z O A questo punto, utilizzando la tabella a doppia entrata, calcola la probabilità di uscita di ogni determinazione ottenibile con il lancio di 2 dadi + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

E S R C I Z O Consideriamo il lancio di 2 monete: - individua le possibili determinazioni - compila la relativa tabella a doppia entrata - calcola la probabilità di ogni determinazione 1ª moneta   T C TT TC CT CC Determinazioni 2 monete: TT, TC, CC 2ª moneta 

O S E R V A Z I N Confronto: 2 dadi esaedrici e “pari dispari”  Per il gioco del “pari dispari" mi aspetto qualcosa di analogo al lancio di 2 dadi. 2 dadi Prima confrontiamo le due tabelle a doppia entrata + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Poi verifichiamo l’ipotesi osservando l’istogramma ottenuto dai due gruppi 

Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici V A Z I N Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici RISULTATI STUDENTI …. 

A B I M O V S T C H E La PROBABILITÀ dell’evento E è un numero compreso tra 0 e 1 L’evento certo ha probabilità 1: È possibile determinare la PROBABILITÀ dell’evento E tramite la relazione 

E ora alcuni calcoli … 

 Esistono situazioni in cui l’espressione è di difficile utilizzo perché è complesso il calcolo di - Numero dei casi favorevoli - Numero dei casi possibili Vediamo alcune situazioni in cui il calcolo della probabilità può essere eseguito con semplici calcoli Eventi EQUIPROBABILI Eventi che SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE Eventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE Eventi INDIPENDENTI 

Esperimento che genera eventi equiprobabili Lancio di un dado esaedrico: 6 eventi identici Lancio di una moneta: 2 eventi identici Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identici Estrazione di un numero della tombola: 90 eventi identici La probabilità di un evento è data dalla relazione: 

Eventi che si escludono reciprocamente Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5 Lancio di una moneta: uscita T o C Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3 Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57 Dati gli eventi E1 , E2 ed E3 che si escludono vicendevolmente La probabilità P(E1 o E2 o E3) è data da: P(E1 o E2 o E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) 

Eventi che NON si escludono reciprocamente Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: Re o una carta di coppe A  2  3  4  5  6  7  F  C  R  A  2  3  4  5  6  7  F  D  A  2  3  4  5  6  7  F  C  A  2  3  4  5  6  7  F  C  A  2  3  4  5  6  7  F  C  R  R  R  R  R  R  R  R  I casi favorevoli sono dati da 10 carte di COPPE 4 carte con il RE In questo modo il [R] viene considerato 2 volte e dobbiamo tenerlo presente nel calcolo dei casi favorevoli casi favorevoli = 4 [ R ] + 10 [  ] – 1 [ R ] = 13 Casi Favorevoli Numero Casi Possibili 13 40 P([R] o []) = = 

Eventi che NON si escludono reciprocamente Lancio di due dadi esaedrici: numero  8 o numero multiplo 3 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I casi favorevoli sono dati da 12 valori multipli di 3 15 valori  8 In questo modo abbiamo 5 valori  8 e multipli di 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo dei casi favorevoli casi favorevoli = 12 [ mult. 3 ] + 15 [  8 ] – 5 [ (mult. 3)  8 ] = 22 Casi Favorevoli Numero Casi Possibili 22 40 P([mult. 3] o [ 8]) = = 

Eventi che NON si escludono reciprocamente Lancio di 2 dadi #  8 o # multiplo 3 CF= 12 [mult. 3] + 15 [ 8] – 5 [(mult. 3) 8] Estrazione di un Re o una carta di coppe A 2 3 4 5 6 7 F C R A 2 3 4 5 6 7 F C R A 2 3 4 5 6 7 F C R A 2 3 4 5 6 7 F C R Casi Favorevoli = 4 [R] + 10 [] – 1 [R] + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Dati i 2 eventi E1 ed E2 che NON si escludono vicendevolmente La probabilità P(E1 o E2) è data da: P(E1 o E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2) 

Sono eventi che NON si influenzano reciprocamente Eventi INDIPENDENTI Sono eventi che NON si influenzano reciprocamente Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadi L’esito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado Lancio (consecutivi o contemporanei) di due monete L’esito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta Doppia estrazione di una carta da un mazzo L’esito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª 

Risultati in accordo con quanto già visto Eventi INDIPENDENTI Sono eventi che NON si influenzano reciprocamente Lancio di due monete T C 1ª moneta T C 2ª moneta T C 2ª moneta Risultati in accordo con quanto già visto 

In accordo con quanto già visto Eventi INDIPENDENTI Sono eventi che NON si influenzano reciprocamente 2° dado Lancio di due dadi 1° dado 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 In accordo con quanto già visto 

P(E1 e E2) = P(E1)  P(E2) Eventi INDIPENDENTI Lancio di due monete T C n 1 2 3 4 5 6 Lancio di due dadi Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente) La probabilità P(E1 e E2) è data da: P(E1 e E2) = P(E1)  P(E2) 