Fenomeni di crescita e decrescita Funzioni esponenziali

Decadimento radioattivo: Tempo di dimezzamento Per tempo di dimezzamento T di un materiale radioattivo si intende il periodo passato il quale la metà del materiale è decaduta (cioè si è trasformata). Tali valori sono generalmente riportati in tavole e possono essere molto diversi per i vari materiali radioattivi: Materiale Tempo di dimezz. T AZOTO 10 minuti CARBONIO 5730 anni

Problema: Data una certa quantità iniziale Q(0) di azoto, dopo quanti tempi di dimezzamento (e quindi dopo quanto tempo) la quantità di sostanza radioattiva si riduce… ..a meno di 1/4, ..a meno di 1/100, ..a meno di 1/1000 della quantità iniziale?

Q0=Q(0) t=1T t=2T t=3T t=4T …… t=nT …….. Q(1)=Q0/2 Q(2)=Q0/4 Q(3)=Q0/8 Q(n) ……..

a)Dalla tabella si vede che : Q(n)=Q0/4 per n=2 , ossia dopo 2 tempi di dimezzamento Quindi la quantità di azoto si riduce a meno di 1/4 di quella iniziale, dopo 20 minuti. b)Il valore di n per cui Q(n) < Q0/100, deve essere approssimato con le successive potenze di 1/2: (1/2)1 (1/2)2 (1/2)3 (1/2)4 (1/2)5 (1/2)6 (1/2)7 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 7 tempi di dimezzamento equivalgono a 70 minuti.

Una sostanza radioattiva però, decade con continuità e non a intervalli per cui l’equazione può scriversi: Con x numero reale Se poniamo uguale a 1 (cioè al 100%) la quantità iniziale Q0, possiamo scrivere l’equazione del decadimento nella forma: xR

Grafico precedente, per punti:

Come si può osservare il grafico della curva contiene i punti del grafico “discreto” precedente.

Con questo nuovo strumento, possiamo calcolare con precisione dopo quanto tempo la quantità di azoto radioattivo si è ridotta ad 1/100 del valore iniziale? Dobbiamo risolvere l’equazione esponenziale: Prendendo i logaritmi di entrambi i membri e utilizzando la proprietà del log di una potenza, si ottiene:

Il risultato si può confrontare con quello ottenuto precedentemente per approssimazione, ma la risposta ora è più precisa: 6,64.. tempi di dimezzamento equivalgono a : (ricordando T=10 minuti) 6,64 T = (66,4)m = 1h (6,4)m = 1h 6m 24s (anche se è dubbio che si possa calcolare il tempo in modo così esatto per un fenomeno reale). Come esercizio, calcola la risposta al quesito (c)

L’equazione dell’evoluzione Ci proponiamo di generalizzare il problema, cercando un modello matematico in grado di descrivere il processo di decadimento radioattivo, o, analogamente, il processo di crescita delle cellule, crescita di colture batteriche o di fermenti. Nel 1798 il religioso inglese T.J. Malthus, tentò di elaborare un modello matematico che descrivesse la crescita delle popolazioni. L’interesse per tale problema era dovuto alla veloce crescita, in quell’epoca, della popolazione nelle città industriali e dalla conseguente preoccupazione per il popolamento dei paesi civilizzati.

Nel caso di processi di decrescita (risp Nel caso di processi di decrescita (risp. di crescita), l’esperienza scientifica mostra che: la variazione (aumento o diminuzione) della quantità di sostanza considerata è proporzionale alla quantità stessa (y) e al tempo trascorso(Dt): Dy  y Dt Introducendo una costante reale K otteniamo una prima equazione dell’evoluzione, nella forma: Per decrescita Per stagnazione Per crescita Questa equazione può essere ulteriormente elaborata sia nel caso discreto che nel continuo.

Caso discreto ……………………………………….. Se indichiamo con yj la quantità di materiale dopo j intervalli di tempo Dt, dall’equazione: segue Spostando yj-1 e raccogliendo a fattor comune: ……………………………………….. Con valore iniziale y0

Nel modello discreto, crescita e decrescita sono descritte da progressioni geometriche. Nell’esempio trattato precedentemente, si aveva: (un tempo di dimezzamento)

Progressioni geometriche Si definisce progressione geometrica una successione* di numeri diversi da zero tali che il rapporto tra un termine e il precedente è costante. Questo rapporto costante è detto ragione e si indica con q. (se q = 1 la progressione ha tutti i termini uguali) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…………..(q=2) *successione è una funzione da N  R

Caso continuo Immaginiamo l’intervallo [0;t] diviso in un numero crescente di intervalli Dt, sempre più piccoli. Indichiamo con n il numero di intervalli di tempo : Dt t n per cui: Sostituiamo nel modello discreto:

Come si comporta questa espressione per n   ? Ricordando il numero di Nepero (o di Eulero): Si dimostra facilmente che:

c.v.d. Osservando che per n risulta x0 Poniamo : Ricaviamo n : e sostituiamo nel limite: c.v.d.

Nel modello continuo, crescita e decrescita sono descritte dall’equazione: Per decrescita Per stagnazione Per crescita Con valore iniziale y0 e

dopo 10 minuti la quantità di Azoto si è dimezzata Ritorniamo al problema dell’Azoto radioattivo. Ponendo y0=1, il decadimento può essere espresso dalla : Per determinare k, usiamo i dati a nostra disposizione: dopo 10 minuti la quantità di Azoto si è dimezzata t=10min y=1/2

Ancora una volta con i logaritmi possiamo ricavare k

Il legame tra le due unità è: t=10x Può sembrare strano che due equazioni diverse formalizzino lo stesso problema: Sono equivalenti ? L’unità di misura è il tempo di decadimento; la x indica quanti T=10min sono passati L’unità di misura è il minuto Il legame tra le due unità è: t=10x

Generalizziamo il problema, dalla: Dove T, indica il tempo di dimezzamento di una qualsiasi sostanza Possiamo scrivere: Passando ai logaritmi: Tasso di decadimento, caratteristico di ogni sostanza

L’equazione dell’evoluzione può essere riscritta: Mostriamo l’equivalenza: Ricordando il legame: t=xT Quindi ancora una volta:

I fenomeni radioattivi Proposte di lavoro Scheda 1 – caso discreto Scheda 2 – caso continuo Approfondimenti I fenomeni radioattivi