ALGORITMO PER IL CALCOLO DELLA RADICE QUADRATA DI UN NUMERO METODO DI NEWTON Carlo Platella 224700
Studio del dominio specifico La radice quadrata di un numero è per definizione quel numero che, elevato al quadrato, ossia moltiplicato per sé stesso, da come risultato il numero di partenza. √x=y y2=x Le soluzioni della radice quadrata sono due: il numero trovato e il suo opposto,quindi y e -y
Metodo di Newton Il metodo di Newton prevede il calcolo della radice quadrata attraverso una successione per ricorrenza. Partendo da un’approssimazione intuitiva del valore della radice, si lima progressivamente l’errore, sottraendo una determinata quantità calcolata con la formula di Newton. Già dopo la prima volta si avrà una approssimazione più precisa del reale valore della radice. Il risultato diventa tanto più preciso quanto più viene ripetuta l’operazione.
Formula di Newton f(x)= x2 – z ; z è la base della radice x è la soluzione della radice quadrata. Infatti: x =± √z xn = prima approssimazione xn+1= successiva approssimazione Xn+1= xn-(f(x))/(f’(x))= xn-(xn2-z)/(2xn)= =(xn(2-xn)+z)/(2xn)=(xn+z/xn)/2
Passo significativo Il passo significativo corrisponde ad un passo dell’iterazione: Xn+1 = (xn+z/xn)/2 Si può usare come approssimazione iniziale di qualunque radice il numero 1. Terminazione: Si può stabilire di ripetere l’operazione fino a quando la differenza tra la base della radice e il numero trovato sia inferiore a 0,00001. |z - xn+1 * xn+1| < 0,00001 Si può osservare che le iterazioni convergono al valore vero in modo asintotico. Si ripete l’operazione fino a che due valori successivi differiscono di poco: |xn+1 - xn| < 0,00001
Algoritmo Inizializza soglia = 0.00001 Leggi z REPEAT Inizializza xn = 1 Inizializza soglia = 0.00001 Leggi z REPEAT Calcola (xn + z/xn)/2, risultato in xn1 Calcola |xn1 – xn|, risultato in differenza xn xn1 /* preparo l’iterazione successiva */ UNTIL differenza > soglia Visualizza xn1 come Radice quadrata.