La probabilità Schema classico

Il lancio di un dado da gioco Un fatto qualunque , che non sia certo a priori , si dice aleatorio o casuale Alcuni esempi Il lancio di un dado da gioco la durata della degenza in ospedale di un ammalato il numero degli incidenti stradali , nella prossima settimana in un determinato tratto stradale una misurazione scientifica mediante un qualche strumento

nella prossima mano di poker verrà un poker d’assi Le proposizioni che a priori sono incerte si chiamano eventi casuali Alcuni esempi nella prossima mano di poker verrà un poker d’assi nel lancio del dado uscirà un numero pari la durata della degenza del sig. X sarà minore di 20 giorni Un evento si dice certo quando della sua verità si è certi a priori Esempio: nel lancio del dado otterrò un numero non superiore a 14 Un evento si dice impossibile quando della sua falsità si è certi a priori Esempio: nella ruota di Venezia il primo numero che uscirà sarà il 100

Gli eventi elementari Consideriamo il lancio di un dado Evento elementare Estraiamo una carta da un mazzo Evento elementare Consideriamo una macchina automatica produttrice di viti: la prossima vite che sarà prodotta è una delle infinite viti producibili dalla macchina nelle sue condizioni attuali , ognuna delle quali è un evento elementare

Definizione : si chiama Spazio Fondamentale di un esperimento C , l’insieme dei suoi eventi elementari  1 3 5 2 4 6  asso di cuori asso di fiori asso di denari asso di picche 2 di cuori 2 di fiori 2 di denari 2 di picche ….. …... ….. ….. Definizione : un evento casuale A è un sottoinsieme dello spazio fondamentale  A=“ la faccia che uscirà sarà pari” B=“la carta che verrà estratta sarà un asso” Consideriamo un esperimento C e il corrispondente spazio fondamentale  L’insieme E di tutti i sottoinsiemi di  ha le seguenti proprietà:  appartiene ad E Se A appartiene ad E anche A appartiene ad E Se A1 , A2  E anche A1  A2 E

consideriamo questi eventi: Teorema se A , B  E , anche AB  E Teorema se A , B  E , anche A - B  E Definizione Due eventi A , B  E si dicono incompatibili se AB= Esempio Si lancia un dado: consideriamo questi eventi: 1 3 5 2 4 6 A- ”uscirà un numero pari” B- ”uscirà un multiplo di 3” C-”uscirà un numero dispari” A e C sono eventi incompatibili A e B sono eventi compatibili

Il concetto di probabilità Estraiamo una pallina da un’urna contenente 4 palline bianche e 6 palline rosse contiene 10 eventi elementari ciascuno di essi ha probabilità 1/10 di uscita  Consideriamo l’evento : A:”uscirà una pallina rossa” Tale evento , unione di 6 eventi equiprobabili , avrà probabilità 6/10 La probabilità di un evento A è data dal rapporto tra il numero k dei casi favorevoli al verificarsi di A e il numero degli n casi possibili.

D:” uscirà un numero minore di 3” P(D)=2/6 L’evento impossibile  ha probabilità P()=0 L’evento certo ha probabilità 1 Se A e B sono eventi incompatibili P(A B) = P(A) +P(B) Esempi A: ”nel lancio del dado otterrò un numero non superiore a 14” P(A)=1 B: ”nella ruota di Venezia il primo numero che uscirà sarà il 100” P(B)=0 Lanciamo un dado e consideriamo: C:” uscirà un numero maggiore di 4” P(C)=2/6 D:” uscirà un numero minore di 3” P(D)=2/6 1 3 5 2 4 6 P(C D)=2/6+2/6=2/3

Se A e B sono eventi compatibili P(A B) = P(A) +P(B) –P( AB) Lanciamo due dadi e consideriamo lo spazio degli eventi: A=“la somma dei numeri sarà 5”  P(A)=4/36 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 B=“il primo numero sarà pari” P(B)=18/36 AB=(2,3) (4,1) P(AB)=2/36 P(A B)=4/36+18/36-2/36=5/9

Probabilità condizionate Consideriamo gli eventi : 1 3 5 2 4 6 A:”lanciando un dado uscirà un numero dispari” B:”lanciando un dado uscirà un numero minore di 4” P(A)=1/2 P(B)=1/2 Supponiamo di sapere che si è verificato A e di voler valutare la probabilità di B , data questa ulteriore informazione. La indichiamo con P(B/A) e la chiamiamo probabilità condizionata È cambiato lo spazio degli eventi 1 3 5 P(B/A)=2/3 da cui si ricava:

Eventi indipendenti In generale P(B)P(B/A) , se dovesse verificarsi che : P(B)=P(B/A) allora gli eventi A e B sarebbero tra loro indipendenti Definizione: due eventi A e B sono tra loro indipendenti se P(AB)=P(B)P(A) Esempio:  1 3 5 2 4 6 Lanciamo un dado e consideriamo gli eventi: A=1,2,3,4 B= 4,5,6 C=2,4,6 P(A)=4/6 P(B)=3/6 P(C)=3/6 P(A B)=1/6 P(A)P(B) P(A C)=2/6=P(A)P(C) A e B sono dipendenti A e C sono indipendenti

 Lanciamo due dadi consideriamo i due eventi: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 B1 = “la somma è minore o uguale a 7” B2 = “la somma è maggiore di 7 “ B1B2=  B1  B2= Supponiamo di sapere che: A= “il primo numero è 2” Ci chiediamo: “qual è la probabilità che la somma sia minore od uguale di 7?” P(B1  A) P(B1 /A) = = P(A) P(B1 ) P(A/ B1 ) = P(A  B1 )+ P(A  B2 ) P(B1 ) P(A/ B1 ) P(B1 ) P(A/ B1 )+P(B2 ) P(A/ B2 ) (21/36)(5/21) P(B1 /A)= = 5/6 (21/36)(5/21)+(15/36)(1/15)

 Consideriamo due urne dalle seguenti composizioni: B1 B2 Si sceglie una pallina da un’urna a caso. La pallina è bianca (evento A) Qual è la probabilità che la pallina provenga dalla prima urna?  B1 (1/2)(4/8) P(B1 /A)= = 3/5 (1/2)(4/8)+(1/2)(2/6) B2

sia A un altro elemento di  La formula di Bayes Consideriamo n eventi incompatibili B1 , B2 , . . . ,Bn tali che Bi=  A  sia A un altro elemento di  B1 B2 Bn A=A= A(B1 B2 . . . Bn )= (A  B1)  (A  B2) . . .  (A  Bn) P(A) = P (A  B1 ) + P (A  B2 ) + . . .+ P (A  Bn )= = P (B1) P (A/ B1 ) + P (B2) P (A/ B2 ) +. . . + P (Bn) P (A/ Bn )