Il piano fattoriale a due fattori Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie Tipo di Materiale Temperatura (°F) 15 70 125 1 130 155 34 40 20 74 180 80 75 82 58 2 150 188 136 122 25 159 126 106 115 45 3 138 110 174 120 96 104 168 160 139 60 Durata Batterie Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie? C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata, indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al D temperatura)
Il piano fattoriale a due fattori Piano completamente causalizzato Fattore B 1 2 … b 1 2 Fattore A … a Osservazione generica alla k-esima replicazione: yijk
Il piano fattoriale a due fattori Piano completamente causalizzato Fattore B 1 2 … b 1 2 Fattore A … a Modello a fattori fissi con effetti dei trattamenti definiti come scarti dalla media generale:
Il piano fattoriale a due fattori L’interesse è rivolto a valutare ipotesi sull’eguaglianza di effetti di riga, colonna e di interazione H0 = Nessun Effetto H1 = Presenza Effetto
Il piano fattoriale a due fattori
Il piano fattoriale a due fattori La somma dei quadrati totale corretta può essere scritta come: Riarrangiando Giacché i sei prodotti incrociati che provengono dallo sviluppo del lato destro sono nulli, si noti che la somma dei quadrati totale è stata scomposta in una somma dei quadrati dovuta alle sole righe, alle sole colonne, all’interazione tra i fattori A e B e all’errore:
Il piano fattoriale a due fattori Il numero di gradi di libertà associati a ciascuna somma dei quadrati è: I gradi di libertà dei fattori sono pari al numero di livello meno 1. I gradi di libertà delle interazioni sono dati dal numero delle celle – 1 a cui vanno sottratti i gradi di libertà dei singoli fattori. Infine, il grado di libertà dell’errore è dato dal grado di libertà di ciascuna casella del piano sperimentale, cioè n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.
Il piano fattoriale a due fattori Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri gradi di libertà è un quadrato medio con valore atteso E(MS) dato da (D.C. Montgomery, Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp. 74-79): Termini pari a 0 solo in caso di validità dell’ipotesi nulla H0, cioè in caso di assenza di effetti di riga, colonna e incrociati Dimostrazione esemplificativa
Il piano fattoriale a due fattori
Il piano fattoriale a due fattori Per verificare la significatività di entrambi i fattori e della loro interazione è sufficiente dividere il corrispondente quadrato medio per il quadrato medio dell’errore. Valori elevati di tale rapporto stanno ad indicare che i dati non confermano l’ipotesi nulla H0 e che quindi vige l’ipotesi H1
Il piano fattoriale a due fattori Se i termini di errore eijk sono distribuiti normalmente ed indipendentemente con varianza costante s2: Origine della variabilità Somma dei quadrati Gradi di libertà Media dei Quadrati F0 A trattamenti SSA a-1 MSA= SSA/(a-1) MSA/MSE B trattamenti SSB b-1 MSB= SSB/(b-1) MSB/MSE Interazione SSAB (a-1)(b-1) MSAB= SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE Errore SSE ab(n-1) MSE= SSE/(ab(n-1)) Totale SST abn-1
Il piano fattoriale a due fattori Le somme dei quadrati possono essere anche calcolate manualmente, comunque si suggerisce l’uso di un calcolatore SSSubtotali
Progettazione batteria
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