Le Partizioni dei spazii proiettivi di Sottospazii Come usare piani di traslazione per capire partizioni!

Bruen-Thas Circa 1974, Bruen e Thas hanno dimostrato che da una partizione di un spazio proiettivo e’ possible costruire un piano di traslazione. Allora, una partizione di PG(2s-1,q^2) con sottospazii che sono isomorfi a PG(2s-1,q) ed anche sottospazzi isomorfi a PG(s-1,q^2) Sia possible trovare un metodo da fare direttamente dal piano di trazlazione a partizione?

Hirschfeld-Thas Usando le varieta’ di Segre, c’e’ una altra costruzione di partizioni di PG(2s,q^2) con sottospazii isomorphi a PG(2s,q). Con un motodo dissimilare, e’ anche possible costruire un piano di trazlazione. Sia qui anche un metodo da fare direttamente da piano di traslazione? Si, alle due domande!

I Probleme Piu’ Generale Si piace fare una generalizazione completamente del problema di partizioni dei spazii proiettivi anche senza l’ipotese che i spazii sono finiti. Usando sottospazii? Questo dipende se si vuole una corrispondente completamente con piano di traslazione o forse come fibrazioni generalizzati. Perche’?

Cominciamo con: Ritrazione di un piano di traslazione Recentamente, ho trovato un metodo andare da un piano di traslazione a una partizione. Sia un piano di traslazione dell’ordine q^2s che ammette un gruppo G di collineazione dell’ordine q^2 tale che questo gruppo containe un sottonucleo del piano isomorfo al GF(q)-{0}. Se g in G non fissa un punto non-zero, da allora le orbite delle rette hanno misure 1 o (q+1) Si puo’ dimostrare che G unione zero e’ un campo dell’ordine q^s e un’orbita con misura (q+1) e’ una rete di un regolo.

Le Partizioni? Beh, se ci sono n orbite della misura q+1 e m orbite della misura 1, questi produrono in PG(3,q^2): n spazii isomorfi al PG(3,q), m spazii isomorfi al PG(1,q^2)---- Si chiama una partizione di typo (n,m). Questa partizione ri-produra il piano di traslazione che ammette lo stesso gruppo G. Allora, questo da il metodo di Bruen-Thas direttamente dal piano di traslazione.

Hirschfeld-Thas Senza Segre Sia P un piano di traslazione dell’ordine q^m con nucleo GF(q) tale che m e’ dispari ---in questo caso, abbiamo uno spazio vettoriale di dimensione 2m/GF(q), quindi q^2m vettori. Allora, sia possibile avere un gruppo dell’ordine q^2 che agisce come un gruppo di collineazione, ed anche contene il gruppo del nucleo (il gruppo di omologia) Se ogni elemento nontrivial che fissa solo il vettore zero allora abbiamo le orbite di componenti hanno misura solo (q+1). Questi orbite diventono regoli ----e una partizione in PG(2m-1,q^2) dai PG(2m,q).

Fibrazioni Parziali Generalizzate Sia V uno spazio vettoriale/K per K un corpo. Sia T un’insieme dei sottospazii che hanno uno per uno intersettzione triviale ---allora T si chiama un F.P.G; elementi li chiamano “componenti.” Siano K e D campi, e D e’ un’estenzione di K---supponiamo che D “agisce’ su V e T. Un’orbita di componenti di D su una fibrazione generalizzate si chiama un “fan” (ventilatore) Se L e’ un componente D(L) e’ il sotto-campo che fissa L-----allora abbiamo un “D(L)-fan.”

Quasi-Sottogeometrie Quando D e’ un’estensione quadratica di K, un D(L)=K-ventilatore diventa uno sottospazio isomorfo al PG(L-1,D(L)=K) in PG(V-1,D). Benche, D non sia un’estensione quadratica di K, prediamo le rette come <av+bw;a,b in K> dove v,w in L tale che v,w sono K-independenti. In questo modo, abbiamo ottenere uno spazio isomorfo al PG(L-1,D(K)) come un’insieme di PG(V-1,D); un quasi-sottogeometia. Prediamo tutti partizioni essere costruito come questo metodo.

Chiude la Ventilatore Con una ventilatore, produrano un sottospazio di proiettivo: Sia O(L) un D(L)-ventilatore, forma la traliccio in PG(V-1,D), allora chiudiamo la ventilatore e otteniamo un sotto”insieme” isomorfo in PG(L-1,D(L)). Benche, abbiamo un “quasi”-sottospazio.

Partizioni con Quasi-Sottospazii Sia V un spazio vettoriale su K un campo e sia D un campo-estensione di K. Sia T una fibrazione generalizzate tale che D agisce su V e T. Una partizione? Si, abbiamo una partizione di PG(V-1,D) con quasi-sottospazii PG(L-1,D(L)) per ogni componenti di T. Si nota che siano possible avere molti sottocampi diversi D(L).

Aprire La Ventilatore-proiettiva. Con una partizione usando quasi-sottospazii di uno spazio proiettivo e’ possible di formare una fibrazione generalizzata con un metodo che si chiama “aprirendo” la vemtilatore. Generalmente, la struttura geomettrica si chiama uno spazio di Sperner-generalizzato. Ci sono esempii? Ci vediamo un po’ --- Si!

Il Caso Finito per Piani di traslazione Sia P un piano di traslazione dell’ordine q^ds e nucleo K isomorfo al GF(q). Assumiamo che esiste un group di collineazione GK* tale che GK e’ un corpo che e’ isomorfo a GF(q^w), dove w=d o 2d e s e’ dispari nel caso secondo. Per ogni componente L, c’e’ un sottocampo GF(q^f), per f un divisore di w. In questo caso, la misura dell’orbita di L e’ (q^w-1)/(q^f –1) e l’orbita e’ un q^f-ventilatore. Considiamo AG(2ds/w,q^w). Si incassa in il PG(2ds/w,q^w) corrispondente, e si conside l’iperspazio al infinito che e’ isomorfo al P(2ds/w-1,q^w)---------otteniamo:

Partizioni Finite Ottiamo una partizioni finite di PG(2ds/w-1,q^w) usando quasi-sottospazii che sono isomorfi ai PG(ds/f-1,q^f) per un’insieme N dei divisori di w. Si chiama questo “typo-N.” Viceversa, se esiste una partizione di PG(2ds/w-1,q^w) con quasi-sottospazii che sono isomorfi ai PG(ds/f-1,q^f), dove f in un’insieme dei divisori di w, allora: Riceveriamo un piano di traslatione? Certamente!

In Fine –Una Domanda Supponiamo che abbiamo spazio PG(2s-1,q^d). Si sceglie un’insieme N di divisori di d. Esiste una partizione con quasi-sottospazii? Assolutamente! Come si puo’ costruire? Usando piani di Andre’ di typi varii. Troppo facile! Va bene ---aspetti alla prossima converenza!