Daniele Santamaria – Marco Ventura Seminario di Metodi Matematici per l’ottimizzazione A.A.2011/2012 Interpolazione Trigonometrica Daniele Santamaria – Marco Ventura
Sommario Introduzione. Interpolazione. Interpolazione nel piano complesso. Radici n-esime. Interpolazione trigonometrica. Esempi. Implementazione in Matlab.
Introduzione Approssimare le funzioni è utile quando: Manca l’espressione che descrive un fenomeno e abbiamo solo alcuni valori. L’espressione è nota, ma difficile da gestire.
Introduzione Nel primo sostituiamo la funzione f con una più semplice g, che sia quanto più possibile “vicina” a quella approssimata, rispettando una certa tolleranza: Nel secondo caso cerchiamo una funzione approssimante che passi per i punti noti (interpolazione).
Interpolazione Nel caso dell’interpolazione vogliamo che la funzione interpolante passi esattamente per alcuni punti. Date n coppie di numeri reali una funzione g è detta interpolante se: Se come funzione interpolante usiamo i polinomi, l’interpolazione si dirà: Interpolazione Polinomiale.
Interpolazione Nel corso di Formazione Numerica abbiamo studiato vari metodi di interpolazione: Metodo dei coefficienti Indeterminati. Lagrange. Metodo delle differenze divise di Newton. Hermite.
Interpolazione Cosa accade però se la funzione da interpolare è periodica? Ricordiamo che f è periodica di periodo T se: Se f è periodica di periodo T, lo è anche di periodo kT, con k intero.
Interpolazione Per approssimare funzioni periodiche non possiamo usare i classici polinomi, in quanto non periodici. Allora dobbiamo considerare i polinomi composti da funzioni che siano: Periodiche. Facili da calcolare. Ovviamente ci riferiamo alle funzioni seno e coseno.
Interpolazione Le funzioni seno e coseno godono delle seguenti proprietà: Sono periodiche. Facili da calcolare. Sono ortogonali tra loro in un intervallo di , allora sono anche linearmente indipendenti e quindi formano una base. Le loro derivate e primitive sono funzioni della stessa classe.
Interpolazione Vogliamo calcolare un nuovo polinomio, ovvero un Polinomio Trigonometrico, la cui base è data dalle funzioni: In particolare una funzione del tipo: È detta Polinomio Trigonometrico di grado m.
Interpolazione Quindi, data funzione periodica, il problema dell’interpolazione trigonometrica è quello di trovare Dove, dati n punti:
Interpolazione nel piano complesso Per trovare F(x) nel piano reale possiamo partire dal caso generale nel piano complesso. Infatti, dato che una funzione a valori reali può essere considerata come una particolare funzione a valori complessi il problema in R può essere considerato un caso particolare del problema in C. Pertanto, il problema dell’interpolazione trigonometrica è riconducibile al problema di interpolazione polinomiale sul cerchio unitario nel piano complesso. R=x z=x+i0
Interpolazione nel piano complesso Nel piano complesso gli n nodi corrispondono alle radici n-esime dell’unita, cioè dei punti del cerchio unitario. Geometricamente sono i vertici di un poligono regolare di n lati i cui vertici sono disposti lungo la circonferenza unitaria, radialmente equispaziati e con un vertice in (1,0). Z=1 , w^4=z^(1/4), i punti k=0,k=1,k=2,k=3
Radice n-esima Nel piano complesso gli n nodi sono le radici n-esime dell’unità, cioè i punti del cerchio unitario:
Interpolazione nel piano complesso L’interpolazione polinomiale nel piano complesso consiste nel trovare i numeri complessi coefficienti del polinomio di grado al più n-1: Tale che: 1 2
Interpolazione nel piano complesso Partendo dalle precedenti formule (1 e 2) si ha che i coefficienti z si ricavano risolvendo il sistema: Con: 3
Interpolazione nel piano complesso V è la matrice di Vandermonde con elementi
Interpolazione nel piano complesso Se n=3
Interpolazione nel piano complesso Dobbiamo risolvere il sistema 3. Definita la trasposta i cui elementi sono i coniugati degli elementi di V si ha che: Quindi:
Interpolazione nel piano complesso Il vettore z è la Trasformata Discreta di Fourier: Il vettore y è la Trasformata Discreta Inversa di Fourier: 4
Interpolazione nel piano complesso Osserviamo che ponendo i valori Corrispondono alle radici n-esime dell’unità E, per la 3, ai valori
Interpolazione nel piano complesso Adesso abbiamo quello che serve per calcolare il polinomio 1: Distingueremo due casi, uno per n pari e l’altro per n dispari.
Interpolazione nel piano complesso Se n è dispari, ponendo n=2m-1, avremo:
Interpolazione nel piano complesso Alla fine, per n dispari si ottiene: Analogamente per n pari poniamo n=2m, allora
Interpolazione nel piano complesso Iniziamo calcolando Visto che (formula di Eulero):
Interpolazione nel piano complesso Si ottiene Ma e , allora:
Interpolazione nel piano complesso Pongo Ottenendo
Interpolazione nel piano complesso Calcoliamo il coefficiente, , e per la 4:
Interpolazione nel piano complesso Richiamando Eulero: Otteniamo:
Interpolazione nel piano complesso Calcoliamo il coefficiente, , per la 4:
Interpolazione nel piano complesso Richiamando Eulero: Otteniamo:
Interpolazione nel piano complesso Torniamo al polinomio: con
Interpolazione nel piano complesso Considerando che: Abbiamo:
Interpolazione nel piano complesso Ponendo:
Interpolazione Trigonometrica Si ha che il polinomio trigonometrico di interpolazione della funzione negli n punti vale: Ponendo n=2m-1 se n è dispari e n=2m se è pari.
Interpolazione Trigonometrica I coefficienti sono dati da:
Esempi Calcoliamo il polinomio trigonometrico per una semplice funzione periodica. Consideriamo ed f sia periodica. Supponiamo di voler interpolare su 4 punti.
Esempi Avremo: Dividiamo il dominio in punti equidistanti:
Esempi n è pari, allora calcoleremo ovvero
Esempi Calcoliamo i coefficienti: , , , .
Esempi Continuando, si ha:
Esempi L’ultimo coefficiente vale:
Esempi Pertanto il polinomio cercato nei 4 punti vale:
Esempi Risultato grafico su tre periodi di f
Esempi Interpolazione su 10 punti:
Esempi Interpolazione su 25 punti:
Esempi Proviamo con: e n=5
Esempi Proviamo con: e n=20
Esempi Proviamo con: e n=50
Implementazione in MatLab InterpolazioneTri.m