Metodo dei minimi quadrati Teoria dei minimi quadrati

Metodo dei minimi quadrati Ipotesi: m punti sperimentali (coppie (xj, yj)) Equazione polinomiale di grado n data dalla somma di n funzioni φ dipendenti da x Obiettivo: Trovare i valori dei parametri αi minimizzando lo scarto fra i valori sperimentali e quelli previsti dal modello, al fine di ottenere un modello che, data x, permetta di stimare y generica funzione di x

Metodo dei minimi quadrati Termine da minimizzare: il quadrato dello scarto tra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello scarto della j-esima coppia

Metodo dei minimi quadrati il termine da minimizzare è una funzione positiva dipendente dai parametri αi, perciò per determinare i parametri αi per i quali la funzione ha un minimo, si cercano gli αi tali per cui tutte le derivate prime parziali siano nulle

Metodo dei minimi quadrati per semplificare la formulazione del problema si definisce un vettore colonna φi in cui il j-esimo elemento corrisponde alla funzione φi calcolata nel punto sperimentale xj. raggruppando le n colonne φi si ottiene la matrice B, di m righe e n colonne

Metodo dei minimi quadrati definito il vettore colonna d dei valori sperimentali yj e il vettore colonna α dei parametri αi, l’equazione (1) diventa: NB: L’OBIETTIVO È TROVARE α dati B e d

Metodo dei minimi quadrati se la matrice B è ortogonale, il prodotto BTB restituisce una matrice diagonale i cui elementi sono rappresentati dalle norme della sua base, perciò si può scrivere nel modo seguente: si può operare una trasformazione di base in modo da ortogonalizzare la matrice B, in modo da poter calcolare il vettore α ma B non è ortogonale

Metodo dei minimi quadrati per ortogonalizzare si utilizza una procedura iterativa: - la prima componente della nuova base è identica a quella della vecchia base - ciascuna ulteriore componente della nuova base è identica a quella della vecchia base MENO il prodotto scalare fra la vecchia componente e le nuove appena trovate, in modo che tutte le componenti della nuova base siano tra loro indipendenti nel nuovo sistema si ottiene ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

Metodo dei minimi quadrati seguendo la procedura iterativa dell’ortogonalizzazione di Gram-Schmidt si ottiene: si può introdurre un ulteriore termine: βi,p si può riscrivere il risultato dell’ortogonalizzazione come αi’ è diverso da αi!!

Metodo dei minimi quadrati αi’ è diverso da αi!! Per risalire agli α iniziali si procede nel seguente modo:

Metodo dei minimi quadrati Caso lineare: Modello Ortogonalizzazione Param. del mod. ortog. Modello ortog.

Metodo dei minimi quadrati Retta dei minimi quadrati (I ordine) Modello Modello ortogonalizzato Parametri del modello

Esercizio 1: applicazione dei minimi quadrati al caso del I ordine Sono state eseguite delle prove su un dispositivo gomma-metallo al fine di stimarne la rigidezza longitudinale. I risultati ottenuti sono i seguenti: lunghezza Forza applicata mm N 50.56 50.87 50 51.06 75 50.90 100 51.14 150 50.86 200 51.37 300 51.69 400 52.75 500 52.40 600 53.52 700 53.98 800

Esercizio 2: applicazione dei minimi quadrati al caso del secondo ordine Un proiettile viene sparato con un angolo incognito e la distanza che raggiunge lungo l’asse di sparo viene misurato utilizzando una videocamera ad alta velocità. Si devono determinare la velocità iniziale e il valore di decelerazione. tempo posizione (x) s m 0.000 1.404 0.001 1.100 0.002 1.985 0.005 2.307 0.010 2.781 0.020 3.112 0.030 4.815 0.040 5.670 0.050 6.002 0.100 11.269 0.150 16.623 0.200 21.146