Esercizio 1 Scegliere opportunamente gli esponenti (positivi, negativi o nulli) delle grandezze fondamentali (L, T, M, Q), in modo da rendere vere le seguenti equazioni dimensionali: [E] = [F] L T M Q [V] = [F] L T M Q [V] = [H] L T M Q [V] = L T M Q [B] = [E] L T M Q [ L ] = [B] L T M Q [Z] = L T M Q [ 0 ] = [B] L T M Q [ 0 ] = [F] -1 L T M Q [ B ] = [B] L T M Q [RC] = L T M Q [ ] = L T M Q Significato dei simboli: F: forza, E: campo elettrico; V: potenziale elettrico; H: energia; B: campo magnetico; L : coefficiente di autoinduzione; Z: impedenza; 0 : permeabilita` magnetica del vuoto; 0 : costante dielettrica del vuoto; B : flusso del campo magnetico; R: resistenza; C: capacita`; : angolo in radianti.

Soluzione dellesercizio 1 Per determinare le dimensioni di una grandezza si parte da una formula in cui compaia la grandezza stessa, ad esempio per il campo E: O per il potenziale V: Ovviamente il segno di integrale non ha alcuna influenza sulle dimensioni fisiche, per cui lo si e` trascurato nella prima formula Per limpedenza Z, ricordiamo che ha le stesse dimensioni della resistenza R. Dalla definizione, B ha le dimensioni di campo magnetico volte area

[E] = [F] L 0 T 0 M 0 Q -1 [V] = [F] L 1 T 0 M 0 Q -1 [V] = [H] L 0 T 0 M 0 Q -1 [V] = L 2 T -2 M 1 Q -1 [B] = [E] L -1 T 1 M 0 Q 0 [ L ] = [B] L 2 T 1 M 0 Q -1 [Z] = L 2 T -1 M 1 Q -2 [ 0 ] = [B] L 1 T 1 M 0 Q -1 [ 0 ] = [F] -1 L -2 T 0 M 0 Q 2 [ B ] = [B] L 2 T 0 M 0 Q 0 [RC] = L 0 T 1 M 0 Q 0 [ ] = L 0 T 0 M 0 Q 0

Esercizio 2 Un circuito e` formato da due condensatori C 1 e C 2, una resistenza R, un generatore E e un deviatore A. Inizialmente C 1 e C 2 sono scarichi e il deviatore viene posto nella posizione seguente, in modo da escludere C 2. R C1C1 C2C2 E A C1C1 C2C2 R E A Si attende abbastanza a lungo per raggiungere lo stato stazionario (stato 1). Trovare: (a) lenergia erogata dal generatore; (b) lenergia dissipata nella resistenza; (c) lenergia immagazzinata nel condensatore. Successivamente il deviatore viene messo nella posizione seguente, in modo da escludere il generatore Si attende abbastanza a lungo per raggiungere il nuovo stato stazionario (stato 2). Scelto il verso di percorrenza antiorario nella maglia, determinare (d) il valore assoluto e il segno del potenziale ai capi di ciascun condensatore. Trovare: (e) lenergia elettrostatica totale dello stato 2; confrontare tale energia con quella dello stato 1 e dire (f) perche i due valori non sono uguali.

Soluzione dellesercizio 2 Scriviamo innanzitutto lequazione del circuito nella disposizione iniziale: Ricordando la relazione tra carica e corrente, perveniamo alla seguente equazione differenziale: Che si risolve ricordando la trattazione del circuito RC e tenendo conto della condizione iniziale che la carica nel condensatore (e la corrente nel circuito) e` inizialmente nulla: ove = RC 1 e` la costante del circuito e e` la carica nello stato stazionario.

La potenza erogata dal generatore e` data da Se la corrente erogata fosse costante, lenergia erogata sarebbe semplicemente il prodotto della potenza per il tempo dellerogazione. Nel nostro caso essa non e` costante, e quindi lenergia fornita varia da istante a istante. Per ottenere lenergia totale erogata, bisognera` sommare nel tempo lenergia erogata istantaneamente, ovvero integrare la potenza nel tempo: Ove t=0 corrisponde allistante in cui si chiude il circuito e si e` posto t=infinito per semplicita` di calcolo dellintegrale, significando con cio` un tempo abbastanza lungo affinche si raggiunga lo stato stazionario. Lenergia dissipata nella resistenza e`, analogamente, lintegrale della potenza relativa: Lenergia immagazzinata nel condensatore si puo` trovare ricordando la formula: Lenergia del generatore va quindi per meta` dissipata nella resistenza e per meta` accumulata nel condensatore.

Dopo aver escluso il generatore e aver raggiunto il nuovo stato stazionario, possiamo trovare le cariche sui condensatori ricorrendo a due principi: il principio delle maglie di Kirchhoff e il pricipio della conservazione della carica. Il primo stabilisce che la somma delle ddp lungo la maglia e` nulla. Tenendo presente che in questo stato stazionario la corrente e` nulla e quindi la ddp ai capi della resistenza e` nulla, si ottiene: Da qui si deduce che la ddp su un condensatore e` uguale e contraria a quella sullaltro. Laltro principio ci permette di affermare che la carica presente inizialmente sul condensatore 1 ( ) si ridistribuira` sui due condensatori: Le due equazioni scritte ci permettono di trovare le due cariche incognite:

Lenergia elettrostatica finale si trova sommando lenergia dei due condensatori: Che confrontata con lenergia elettrostatica accumulata inizialmente nel condensatore 1 (vedi espressione ricavata in precedenza) ci permette di dire che ce` stata una diminuzione di energia. La differenza e` stata dissipata nella resistenza nel passaggio dallo stato 1 allo stato 2.

Esercizio 3 Tre cariche Q 1 =+e, Q 2 =+2e, Q 3 =-3e sono fissate rispettivamente nei punti (1cm,0,0), (0,1cm,0), (0,0,1cm) di un sistema cartesiano ortogonale Oxyz. Trovare (a) il modulo del campo elettrico E nellorigine O; (b) i coseni direttori del vettore E e (c) gli angoli (espressi in gradi) che esso forma con ciascun asse. Trovare (d) lenergia elettrostatica necessaria per costituire questa disposizione di cariche e (e) si discuta il segno dellenergia trovata per stabilire se bisogna spendere lavoro sul sistema o si riceve lavoro dal sistema. y z x Q2Q2 Q3Q3 Q1Q1

Soluzione dellesercizio 3 Il campo elettrico totale e` la somma dei campi dovuti alle tre cariche: Dove le distanze d delle cariche dallorigine sono tutte uguali e i versori sono proporzionali ai versori di base Il modulo del campo totale e` quindi: I coseni direttori si riferiscono agli angoli che il vettore campo forma con gli assi coordinati (non sono quindi da confondere con le coordinate angolari del vettore) E gli angoli sono

Come si puo` trovare usando una calcolatrice tascabile. Lenergia elettrostatica e` la somma delle energie relative alle tre coppie di particelle: Ove le distanze tra le particelle di ogni coppia sono tutte uguali a D: Il segno delenergia e` negativo, cio` significa che si riceve lavoro dal sistema.