“Analisi delle serie storiche e applicazioni” Corso di Laurea in Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati Anno Accademico 2003-2004 Prova Finale “Analisi delle serie storiche e applicazioni” Relatori: Correlatore: Dott. Fabio Rapallo Dott. Emanuela Sasso Prof. Mauro Gasparini Candidato: Daniele Rampoldi

Processi Stocastici e Serie Storiche Prova Finale Processi Stocastici e Serie Storiche Per Serie Storica o Serie Temporale intendiamo una successione di osservazioni ordinate logicamente secondo una variabile t, che solitamente rappresenta il tempo. Un Processo Stocastico è una famiglia di variabili casuali descritte da un parametro t appartenente ad un insieme T .

Processi Stocastici e Serie Storiche Prova Finale Processi Stocastici e Serie Storiche Una Serie Storica è una parte finita di una singola realizzazione del processo. Dato un processo , esistono infinite possibili realizzazioni, tra le quali noi osserviamo unicamente la successione dei risultati campionari , chiamata realizzazione o traiettoria del processo.

Correlazione e indipendenza Prova Finale Correlazione e indipendenza Una prima distinzione tra i differenti processi stocastici riguarda l’indipendenza o meno delle variabili casuali che lo compongono. La quasi totalità dei processi normalmente considerati è a componenti correlate, quindi non indipendenti. Una importante eccezione è il processo definito “White Noise” di valor medio nullo e varianza costante , che indicheremo:

Stazionarietà e Autocovarianza Prova Finale Stazionarietà e Autocovarianza Un’altra distinzione può essere fatta considerando il comportamento della famiglia di variabili casuali rispetto alla variabile temporale. Un processo è stazionario in senso stretto se la distribuzione multivariata delle variabili casuali non è funzione di , per ogni . È stazionario in senso debole se valgono le seguenti condizioni: (1) (2) (3)

La funzione di autocorrelazione Prova Finale La funzione di autocorrelazione L’autocovarianza, come covarianza fra misura il segno e la forza del legame lineare esistente fra al variare di k . In analogia con il coefficiente di correlazione si introduce quindi la funzione di autocorrelazione, definita come il coefficiente di correlazione lineare fra le variabili casuali , al variare di k .

Prova Finale

Processi invertibili e periodici Prova Finale Processi invertibili e periodici Un processo stocastico è invertibile se esiste una funzione lineare e un processo tale che, per ogni t, si possa scrivere: L’invertibilità è quindi la possibilità di esprimere un processo tramite le variabili casuali del “passato”.

Il Teorema di Wold Prova Finale Ogni processo stocastico stazionario di valor medio può essere decomposto in due differenti processi stocastici, stazionari e fra loro mutuamente incorrelati, , detti, rispettivamente, componente non deterministica e componente deterministica , le quali hanno le seguenti rappresentazioni: dove , mentre sono successioni di variabili casuali tali che è una successione di numeri reali tali che .

Modelli ARMA – Processo MA Prova Finale Modelli ARMA – Processo MA Il Teorema di Wold introduce il modello lineare . Per la condizione posta sui , possiamo considerarli trascurabili da un certo punto in poi. Poniamo quindi: e consideriamo quindi il processo stocastico Media Mobile di ordine q, denotato , e definito da: Un processo è sempre stazionario.

Modelli ARMA Prova Finale Se è noto si possono calcolare univocamente le autocovarianze. In generale non è vero il contrario. Se consideriamo i processi invertibili, esiste però corrispondenza biunivoca fra parametri del modello e funzione di autocovarianza.

Modelli ARMA – Processo AR Prova Finale Modelli ARMA – Processo AR Un processo ,se invertibile, si può scrivere come: Tale struttura viene chiamata Auto Regressiva (AR) perchè paragonabile ad una regressione della variabile al tempo t (ovvero ) su se stessa ad un tempo precedente (ovvero ).

Modelli ARMA Prova Finale I modelli AR rispondono al tentativo di spiegare il presente in funzione del passato, fino ad una certa “distanza” p. I modelli MA rispondono al tentativo di spiegare il presente come la risultante di una successione di impulsi casuali, statisticamente riassunti nel WN .

Modelli ARMA Prova Finale Consideriamo quindi il processo stocastico Auto Regressivo di ordine p e Media Mobile q, indicato con e definito dalla relazione:

Modelli ARIMA Prova Finale L’introduzione dei modelli ARMA, stazionari ed invertibili, ci permette di individuare il processo a partire dalla serie secondo criteri statisticamente efficienti. I modelli ARIMA nascono dal tentativo di generalizzare i risultati ottenuti sui modelli ARMA. Box e Jenkins proposero una procedura iterativa per la costruzione di un modello ARIMA.

Procedura iterativa di Box e Jenkins Prova Finale Procedura iterativa di Box e Jenkins Analisi Preliminari Passo di data Proc Gplot Identificazione del modello ARIMA Proc Arima Statement Identify Proc Arima Statement Estimate Stima dei parametri Proc Arima Statement Forecast Verifica del modello stimato Utilizzazione del modello Rifiuto Accettazione

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