Quali conoscenze e abilità matematiche valutare al termine della Università di Roma “Tor Vergata” 16 ottobre 2013 Giornata di lavoro e discussione Quali conoscenze e abilità matematiche valutare al termine della scuola secondaria di II grado? Luigi Tomasi Liceo Scientifico Galilei, Adria (Ro) luigi.tomasi@unife.it 1

Sommario Il contributo alla discussione partirà dalla insoddisfacente situazione attuale della prova scritta di matematica al liceo scientifico e delle prove in cui è presente la matematica nelle altre scuole - dove non c'è quasi nulla di oggettivo e addirittura non è chiaro su cosa avvenga la valutazione per sottolineare la necessità di prove oggettive, strutturate, per tutti; il contrario di quello che avviene ora all'esame di stato (ex maturità) sulla base di un quadro di riferimento di conoscenze/abilità matematiche che sia condiviso dalla scuola, dall'università e dalla società.

Parte I situazione attuale per la valutazione delle conoscenze matematiche al termine della scuola secondaria di 2^ grado della prova scritta di matematica al liceo scientifico (nella 2^ prova scritta) altre prove in cui è presente matematica nelle altre scuole (nella 3^ prova scritta e nella prova orale) prove di ingresso all’università

Prova scritta di matematica all’esame di stato di liceo scientifico Dal 2001 al liceo scientifico è presente una prova scritta di matematica in cui lo studente può scegliere un “problema” (su 2) e 5 quesiti (su 10) da un “questionario” Questa struttura della prova è stata introdotta con una nota del MPI, 4 ottobre 2000 Applicato dall’esame 2000-2001.

Prova scritta di matematica all’esame di stato di liceo scientifico Dal 2001 al liceo scientifico è presente una prova scritta di matematica in cui lo studente può scegliere un “problema” (su 2) e 5 quesiti (su 10) da un “questionario” Questa struttura della prova è stata introdotta con una nota del MPI, 4 ottobre 2000 Applicato dall’esame 2000-2001.

La prova d’esame di matematica e il “programma non scritto” I programmi “vigenti” non precisano in modo dettagliato quali sono le conoscenze/ abilità/ competenze matematiche da verificare nella prova d’esame Gli insegnanti (e gli studenti) attualmente si affidano a una sorta di “programma non scritto”, che viene di fatto indotto dalle prove d’esame assegnate negli anni precedenti.

Temi che ritornano nelle prove d’esame al liceo scientifico Dal 2001 nelle prove assegnate ci sono dei temi che ricorrono anche se a volte non sono presenti nei programmi, ad esempio: il metodo delle “sezioni normali” per gli integrali il metodo dei “gusci cilindrici” per il volume dei solidi di rotazione alcune domande alle quali non è chiaro quale potrebbe essere la “risposta attesa” quesiti di diverso livello di difficoltà, ma che devono essere valutati con lo stesso punteggio.

Indeterminatezza degli argomenti e modalità della prova scritta da cambiare Nelle prove scritte di matematica per il liceo scientifico rimane quindi l’indeterminatezza più volte sottolineata negli anni passati in cui sono state criticate le modalità di tale prova e si è richiesto un loro profondo ripensamento.

Proposte di rinnovamento della prova scritta di matematica (Gruppo di lavoro 2008 – 2009) Occorre ricordare che su queste richieste di rinnovamento della II prova scritta, e sulle questioni connesse, ha lavorato un Gruppo di esperti (nominato dal Direttore generale agli ordinamenti M. Dutto) nel 2008 e 2009, che ha formulato delle proposte approfondite di rinnovamento della prova scritta Ma nulla nel frattempo è cambiato in questo esame dal punto di vista normativo.

La richiesta di un syllabus (2007) Per non affidarsi solo alle prove assegnate negli anni precedenti e rendere questa prova più calibrata, nel 2007 era stato chiesto al MIUR di precisare, in un documento ufficiale (“syllabus”), le conoscenze e le abilità matematiche richieste dalla prova. Il Ministero, però non ritenne opportuno emanare la bozza di “syllabus” alla quale si era faticosamente arrivati nel Gruppo di lavoro ministeriale (luglio 2009).

Problema della struttura e della valutazione della prova A più di dieci anni dell’adozione della formula dei “due problemi e un questionario” è opportuno riflettere sulla struttura e la valutazione della prova stessa Non è chiaro, ad esempio, quale debba essere considerato il livello di sufficienza (al quale deve essere attribuito il punteggio 10/15): 1 problema e 2 quesiti? Solo i quesiti? Un solo problema?

Problema e quesiti: ha senso questa distinzione? La distinzione tra “problema” e “quesito” è molto esile e andrebbe superata Le tipologie di quesiti andrebbero scelte in modo più preciso e scientifico (a scelta multipla, a risposta aperta, ecc.) Queste scelte andrebbero fatte nonostante quel che pensano molti docenti, inclini a conservare la struttura attuale della prova (2 problemi e 10 quesiti).

Indagini UMI-INVALSI sulla prova di matematica al liceo scientifico L’UMI in collaborazione con l’INVALSI ha svolto delle indagini –a campione- sulle prove scritte di matematica (di ordinamento e sperimentali) al liceo scientifico procedendo anche alla “ricorrezione” (anonima) di un campione di prove di matematica. Sono stati pubblicati dei rapporti sulle prove scritte di matematica (e di italiano) del 2007, del 2009 e del 2010.

Criteri di valutazione molto diversi Le indagini condotte da un gruppo di lavoro dell’INVALSI - UMI (prove 2007 e 2009 di matematica nei licei scientifici) hanno evidenziato criteri diversissimi , tra le Commissioni, nell’attribuire i punteggi e nello stabilire il livello di sufficienza delle prove di matematica, tra scuole diverse ed addirittura tra commissioni operanti nella stessa scuola. (Vedi articolo di G. Bolondi, I dati INVALSI bocciano gli studenti. E anche i professori, Il sussidiario 2010)

Indagini INVALSI-UMI sulla prova di Matematica all’esame La lettura di questi rapporti è molto interessante e da questi è possibile ricavare indicazioni sulle modifiche da introdurre nelle prove scritte di matematica all’esame di Stato del secondo ciclo, non soltanto per i licei scientifici. I rapporti citati si possono scaricare da questa pagina sul sito dell’INVALSI: http://www.invalsi.it/Estato2-0910/pagine/matematica.php

Indagine MATMEDIA (Mathesis nazionale) Oltre a questa indagine INVALSI-UMI, da diversi anni (dal 2001, con l’interruzione per gli anni 2006 e 2007), ne esiste un’altra – svolta in base a un protocollo d’intesa tra Ministero dell’Istruzione e la Mathesis nazionale - condotta tramite il sito “Matmedia” (si veda www.matmedia.it )

Indagine MATMEDIA Anche quest’anno, su questo sito sono state pubblicate delle griglie di valutazione della prova scritta elaborate da alcuni gruppi di insegnanti –con il supporto degli Uffici Scolastici Regionali- proposte a tutte le commissioni d’esame di liceo scientifico. Come negli anni precedenti, tale indagine “Matmedia” contiene delle domande ai docenti di matematica, che fanno parte delle commissioni d’esame, sulla struttura della prova, sulla distinzione tra “problemi” e “quesiti”, sulla corrispondenza tra le prove assegnate e i programmi effettivamente svolti, ecc. Si veda il sito “Matmedia” a questo indirizzo: http://www.matmedia.it/seconda-prova/anno-2013/risultati-indagine-2013.html

Mantenere l’attuale struttura della prova scritta di matematica al liceo scientifico? Dalle indagini Matmedia su questo esame sembra che la maggioranza dei docenti sia favorevole a mantenere la struttura attuale delle prove di matematica (2 problemi e un questionario di 10 quesiti tra i quali lo studente deve scegliere un problema e 5 quesiti) forse perché permette una certa “flessibilità” nella valutazione? forse perché favorisce gli allievi?

Tenere conto delle proposte emerse nel 2008-2009 Per innovare e aggiornare questo tipo di prova occorre tener conto, oltre che di queste indagini dell’INVALSI-UMI e di Matmedia-Mathesis, delle proposte che erano emerse, dopo una discussione approfondita, nel Gruppo di lavoro Ministero negli anni 2008-2009, sul “syllabus”, sulla struttura della prova, sulla valutazione e sugli strumenti da utilizzare durante la prova. Le proposte emerse in quel Gruppo di lavoro meriterebbero di essere riprese ed aggiornate, alla luce delle nuove Indicazioni curricolari per la matematica del 2010.

Parte II Necessità di un confronto sulle conoscenze e abilità matematiche al termine della scuola secondaria di II grado

Confronto sulle conoscenze e abilità matematiche Per rinnovare le prove di matematica occorre un confronto tra gli insegnanti e tra la Scuola secondaria di II grado e l’Università Stabilire quali sono le conoscenze e abilità matematiche per tutti gli studenti e per affrontare studi universitari in ambito scientifico e tecnologico (Indicazioni curricolari) Occorre ripensare a questo esame di stato perché attualmente è uno “strumento” poco affidabile (vedi articolo di G. Anichini, Maturi a luglio e … acerbi a settembre, Periodico di Matematiche, n.2, Maggio Agosto 2011).

OTTOBRE 2013

OTTOBRE 2013

Confronto internazionale Anche per la prova scritta di matematica (presente soltanto all’esame di stato di liceo scientifico) è fondamentale un confronto con quel che avviene in altri Paesi (almeno europei) Ad es. con le prove di matematica del Baccalauréat francese (che riportano il punteggio massimo attribuibile per ogni quesito) Confronto con le prove di matematica al termine della scuola secondaria di II grado negli altri Paesi (almeno quelli europei).

Un anno di passaggio e poi (nel 2015) ci sarà un nuovo tipo di prova scritta di matematica? Ho espresso qui il punto di vista di un insegnante sulla prova scritta di matematica all’esame di stato di liceo scientifico e su come dovrebbe essere in futuro. Cosa sarebbe importante modificare in questo momento di passaggio (fino al 2015) ? con che tempi? con quali strumenti?

Passaggio a un nuovo esame nel 2015? Più in generale, quali sono le priorità che andrebbero affrontate e i nodi da risolvere, per il nuovo esame di stato che dovrà essere operativo nel 2015? A meno che… non si ritenga che l’attuale esame di stato al termine del secondo ciclo vada bene così com’è, e quindi anche per il 2015

Priorità che andrebbero affrontate e nodi da sciogliere in vista dell’esame 2015 L’attuale struttura della prova scritta di matematica di matematica può funzionare anche quando il riordino sarà a regime (nel 2015)? Eventualmente con quali modifiche?

Priorità che andrebbero affrontate e nodi da sciogliere in vista dell’esame 2015 Elaborare un quadro di riferimento delle conoscenze e abilità di matematica sulla base delle Indicazioni nazionali/Linee guida. Problema della scelta: ridurla (vedi articolo di Lucia Ciarrapico, su Archimede, 2011) o eliminarla. L’attuale possibilità di scelta non è valida se si vuole arrivare a una maggiore oggettività nella valutazione. Non si possono verificare conoscenze e competenze a scelta dello studente.

Priorità che andrebbero affrontate e nodi da sciogliere in vista dell’esame 2015 Introdurre delle modalità di valutazione più precise; punteggi chiari; indicare ad es. il punteggio di ciascun quesito; una maggiore oggettività e affidabilità delle valutazioni Una parte della prova dovrebbe verificare il possesso di alcune conoscenze e abilità di base imprescindibili (con quesiti obbligatori) E’ auspicabile che sia introdotta una prova di matematica al termine della classe 5^ per tutti gli studenti (non solo per il Liceo scientifico).

Le proposte INVALSI per la classe 5^ superiore Parte III Le proposte INVALSI per la classe 5^ superiore un quadro di riferimento di conoscenze/abilità/competenze matematiche per la classe V che sia condiviso dalla scuola, dall'università e dalla società

La proposta dell’INVALSI (aprile 2013) per la 5^ superiore Nell’aprile 2013 l’INVALSI ha presentato un quadro di riferimento di Italiano e uno di Matematica per costruire prove strutturate INVALSI nella classe 5^ Superiore (come prevede la normativa). Si ipotizzano per la matematica prove differenziate per indirizzo di studi Da svolgere all’inizio della classe 5^, probabilmente a gennaio; quindi su contenuti prevalentemente del Secondo biennio.

La proposta dell’INVALSI (4 aprile 2013) per la 5^ superiore Intervento di Roberto Ricci, 4 aprile 2013

La proposta dell’INVALSI (aprile 2013) per la 5^ superiore Intervento di Roberto Ricci, 4 aprile 2013

La proposta dell’INVALSI (aprile 2013) per la 5^ superiore Intervento di Giorgio Bolondi - Roma 4 aprile 2013

La proposta INVALSI (aprile 2013) di un Quadro di Riferimento di Matematica per la 5^ superiore Esiste già da qualche anno un Quadro di Riferimento INVALSI di Matematica per il I ciclo (Scuola Primaria e Sec. I grado) e per la II superiore.

Si completano le rilevazioni INVALSI con la 5^ superiore

Il quadro di riferimento proposto per la 5^ superiore - Matematica INVALSI per la Matematica per il 5° anno è costruito in stretto collegamento con il Documento sugli Assi culturali (2007), le Indicazioni nazionali (2010) e le Linee Guida (2010)

Le due dimensioni dei quesiti di Matematica nelle prove INVALSI

Le competenze matematiche nelle prove INVALSI (dal documento sugli “assi culturali”, 2007) La competenza matematica comporta la capacità e la disponibilità a usare modelli matematici di pensiero (dialettico e algoritmico) e di rappresentazione grafica e simbolica (formule, modelli, costrutti, grafici, carte), la capacità di comprendere ed esprimere adeguatamente informazioni qualitative e quantitative, di esplorare situazioni problematiche, di porsi e risolvere problemi, di progettare e costruire modelli di situazioni reali. Finalità dell’asse matematico è l’acquisizione al termine dell’obbligo d’istruzione delle abilità necessarie per applicare i principi e i processi matematici di base nel contesto quotidiano della sfera domestica e sul lavoro, nonché per seguire e vagliare la coerenza logica delle argomentazioni proprie e altrui in molteplici contesti di indagine conoscitiva e di decisione.

Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi Le quattro competenze matematiche di base (documento del 2007, sull’asse matematico) Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica. Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico.

Obiettivi di apprendimento nei Licei Profilo educativo, culturale e professionale dello studente (allegato A al Regolamento dei Licei) - tra gli obiettivi di apprendimento al termine del percorso indica i seguenti, che costituiscono quindi uno dei riferimenti fondamentali per la valutazione al termine del percorso. Comprendere il linguaggio formale specifico della matematica, saper utilizzare le procedure tipiche del pensiero matematico, conoscere i contenuti fondamentali delle teorie che sono alla base della descrizione matematica della realtà. 41

Linee generali e competenze (dalle Indicazioni nazionali per i Licei, 2010) Lo studente conoscerà i concetti e i metodi elementari della matematica, sia interni alla disciplina in sé considerata, sia rilevanti per la descrizione e la previsione di semplici fenomeni, in particolare del mondo fisico … avrà approfondito i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, formalizzazioni), conoscerà le metodologie elementari per la costruzione di modelli matematici in casi molto semplici ma istruttivi e saprà utilizzare strumenti informatici di rappresentazione geometrica e di calcolo. 42

Le competenze matematiche nelle Linee guida (2010, Primo biennio) per gli Istituti Tecnici e per gli Istituti Professionali Il docente di “Matematica” concorre a far conseguire allo studente, al termine del percorso quinquennale, risultati di apprendimento che lo mettono in grado di padroneggiare il linguaggio formale e i procedimenti dimostrativi della matematica; possedere gli strumenti matematici, statistici e del calcolo delle probabilità necessari per la comprensione delle discipline scientifiche e per poter operare nel campo delle scienze applicate. 43

La valutazione INVALSI delle conoscenze matematiche I saperi sono articolati in abilità/capacità e conoscenze, con riferimento al sistema di descrizione previsto per l’adozione del Quadro europeo dei Titoli e delle Qualifiche (EQF). Il Quadro Europeo dei Titoli e delle Qualifiche è reperibile all'indirizzo http://ec.europa.eu/education/pub/pdf/general/eqf/broch_it.pdf

La valutazione INVALSI delle conoscenze matematiche Le indicazioni presenti in questi documenti rappresentano quindi lo zoccolo comune di competenze di base comuni a tutti i percorsi, gli obiettivi di apprendimento sono poi dettagliati e specificati ulteriormente nelle Indicazioni Nazionali e nelle Linee Guida. Queste riferimenti alla normativa, che delinea per i diversi percorsi scolastici un quadro teorico coerente per l'apprendimento della matematica pur nella specificità delle diverse scuole, costituiscono la cornice di riferimento per la costruzione delle prove. 45

Le domande presenti nelle prove di matematica INVALSI Le domande di matematica delle prove INVALSI, per tutti i livelli scolastici, sono costruite in relazione a due direzioni: - i contenuti matematici coinvolti, organizzati nei quattro ambiti: Aritmetica e algebra Geometria Relazioni e funzioni Dati e previsioni - i processi coinvolti nella risoluzione. 46

I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 1

I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 2

I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 3

I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 4 Saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare informazioni utili, confrontare strategie di risoluzione, individuare schemi, esporre il procedimento risolutivo,…)

I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 5 Riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni, utilizzare strumenti di misura, misurare grandezze, stimare misure di grandezze (individuare l'unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto,…)

utilizzare forme tipiche del ragionamento matematico I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 6 utilizzare forme tipiche del ragionamento matematico (congetturare, argomentare, verificare, definire, generalizzare, dimostrare ...)

I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 7 utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno in termini quantitativi con strumenti statistici o funzioni, utilizzare modelli matematici per descrivere e interpretare situazioni e fenomeni, ...).

I processi da rilevare nei quesiti di matematica delle prove INVALSI processo 8 saper riconoscere le figure nello spazio e operare su di esse (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni,…).

I processi rilevati nei quesiti di matematica INVALSI Questi “processi” non pretendono di essere una classificazione teorica dell'azione dello studente, nel momento in cui risponde a una domanda Sono infatti qualitativamente differenti, e talvolta sono possibili etichettature differenti. L'etichettatura delle domande con il processo prevalente risponde essenzialmente a una esigenza pragmatica e non teorica.

I processi rilevati nei quesiti di matematica INVALSI È importante sottolineare quindi che l'etichettatura proposta è solo indicativa in matematica una domanda coinvolge in genere diversi ambiti, e la risposta richiede processi di diversa natura l'etichettatura indica l'ambito e il processo prevalenti, tenendo presente che spesso la scelta di un particolare distrattore può indicare difficoltà o lacune in altri ambiti o in altri processi.

Prove INVALSI e contenuti minimi o irrinunciabili Le prove di matematica INVALSI non si propongono di controllare soltanto i contenuti minimi o irrinunciabili. Si propongono invece di rilevare, se possibile, tutti i livelli di conoscenza e abilità.

Conclusioni Occorre aumentare le conoscenze, le abilità e le competenze matematiche degli studenti in uscita dalla scuola secondaria E’ quindi necessario introdurre forme di valutazione delle conoscenze e abilità matematiche oggettive, strutturate, per tutti quasi il contrario di quello che avviene ora all'esame di stato (ex maturità)… Si spera pertanto che la prova INVALSI di Matematica per la classe 5^ superiore migliori la situazione attuale sulla base di un quadro di riferimento di conoscenze/abilità matematiche condiviso dalla scuola, dall'università e dalla società.

Grazie per l’attenzione luigi.tomasi@unife.it 59