LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO AD UN’INCOGNITA A cura della Prof.ssa Monica Secco, Prof. Roberto Orsaria, Prof.ssa Francesca Ciani

Che cos’è una disequazione? Per dare una definizione di disequazione utilizziamo il seguente esempio.

Due amici desiderano frequentare una palestra, per questo motivo si informano sui prezzi praticati dalle due palestre presenti nella loro città. La palestra privata richiede una quota di iscrizione annua di 312 € più 2 € per ogni ingresso. La palestra comunale non richiede alcuna quota di iscrizione, ma l’ingresso costa 5 €. Quale palestra è più conveniente frequentare?

Per rispondere a questa domanda, supponiamo che i due amici intendano frequentare la palestra una volta alla settimana, quindi in un anno sono 52 ingressi. Per la palestra privata dovrebbero pagare 312 € + 52 X 2 € = 416 € Per la palestra comunale dovrebbero pagare 52 X 5 € = 260 € Risulta più conveniente la palestra comunale.

Invece, se vogliono frequentare la palestra tre volte alla settimana, in un anno sono 3 X 52 = 156 ingressi. Per la palestra privata dovrebbero pagare 312 € + 156 X 2 € = 624 € Per la palestra comunale dovrebbero pagare 156 X 5 € = 780 € Risulta più conveniente la palestra privata.

Il costo annuo di entrambe le palestre dipende dal numero di volte in cui si andrà in palestra. Frequentando la palestra x volte in un anno: Per la palestra privata si pagherebbe (312 + 2 x) € Per la palestra comunale si pagherebbe 5 x €

Quindi la palestra privata risulterà più conveniente se 312 + 2 x sarà minore di 5 x, ossia se 312 + 2 x < 5 x. Questa è una disequazione, cioé una disuguaglianza in cui compare un’incognita, che in questo caso è x. Per sapere quando è più conveniente la palestra privata basta risolvere tale disequazione.

Prima di passare effettivamente allo studio delle disequazioni, ripassiamo alcune proprietà delle disuguaglianze numeriche. Risolviamo i seguenti problemi ed enunciamo le relative proprietà delle disuguaglianze numeriche.

1. Se Antonio ha più anni di Barbara, tra 4 anni chi sarà il maggiore di età? Se Antonio ha 16 anni e Barbara ne ha 14, tra 4 anni: Antonio avrà 16 + 4 = 20 anni Barbara avrà 14 + 4 = 18 anni Quindi il maggiore sarà Antonio. In simboli se A > B allora A + m > B + m.

2. Una penna azzurra costa più della blu 2. Una penna azzurra costa più della blu. Spenderò di più acquistando 5 penne di quale colore? Se una penna azzurra costa 0,50 € e quella blu costa 0,40 €, acquistando 5 penne spenderò: 5 X 0,50 € = 2,50 € per quelle azzurre 5 X 0,40 € = 2,00 € per quelle blu Quindi spenderò di più acquistando le penne azzurre. In simboli quando m > 0, se A > B allora m · A > m · B.

3. Andrea e Beatrice hanno lo stesso credito sul cellulare 3. Andrea e Beatrice hanno lo stesso credito sul cellulare. Mentre Andrea chiama Paolo per 8 minuti, Beatrice telefona a Carla e si parlano per 3 minuti. Se la loro tariffa è di 0,10 € al minuto, chi avrà più credito dopo aver telefonato all’amico? - 0,10 X 8 € = - 0,80 € credito di Andrea dopo la tel. a Paolo - 0,10 X 3 € = - 0,30 € credito di Beatrice dopo la tel. a Carla Quindi il credito di Beatrice sarà maggiore. In simboli quando m < 0, se A > B allora m · A < m · B.

4. Ho due torte uguali per dimensione: una all’ananas, l’altra con i bigné. Se divido la torta all’ananas tra 12 ragazzi, mentre quella con i bigné tra 6 ragazzi, quale torta sarà tagliata in fette più grandi? Le fette della torta all’ananas sono 1 12 di tutta la torta Le fette della torta con i bigné sono 1 6 di tutta la torta Le fette più grandi sono quelle della torta con i bigné. In simboli con A e B concordi, se A > B allora 1/A < 1/B.

5. Mi vengono proposte due tariffe telefoniche: la tariffa A prevede uno scatto alla risposta di 0,15 €, la B di 0,10 €. Inoltre la A ha un costo di 0,15 € al minuto, mentre la B di 0,12 €. Con quale tariffa costa di più una telefonata di un minuto? Un minuto con la tariffa A costa (0,15 + 0,15) € = 0,30 € Un minuto con la tariffa B costa (0,10 + 0,12) € = 0,22 € La tariffa A è la più costosa. In simboli se A > B e C > D allora A + C > B + D.

6. Ada ha 6 figli e Bianca ne ha 4 6. Ada ha 6 figli e Bianca ne ha 4. Ogni figlio di Ada ha 3 figli, mentre ogni figlio di Bianca ne ha 2. Chi ha più nipoti, Ada o Bianca ? Bianca ha 4 X 2 = 8 nipoti Ada ha 6 X 3 = 18 nipoti Quindi Ada ha più nipoti. In simboli se A > B e C > D allora A · C > B · D.

Riepiloghiamo le proprietà delle disuguaglianze: se A > B allora A + m > B + m quando m > 0, se A > B allora m · A > m · B quando m < 0, se A > B allora m · A < m · B con A e B concordi, se A > B allora 1/A < 1/B se A > B e C > D allora A + C > B + D se A > B e C > D allora A · C > B · D

Una disequazione è una disuguaglianza nella quale compare un’incognita. Una disequazione in forma normale viene scritta in questo modo: f ( x ) > 0 oppure f ( x ) < 0 Prima di procedere con i calcoli, vediamo alcune proprietà delle disequazioni, che derivano dalle proprietà sulle disuguaglianze.

Un numero è soluzione di una data disequazione se, sostituendolo all’incognita, la disequazione diventa una disuguaglianza vera. Due disequazioni sono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni. f ( x ) > g ( x ) e f ( x ) + h ( x ) > g ( x ) + h ( x ) sono due disequazioni equivalenti.

Proprietà: quando m > 0 se f ( x ) > g ( x ) allora m · f ( x ) > m · g ( x ) quando m < 0 se f ( x ) > g ( x ) allora m · f ( x ) < m · g ( x )

Ci sono disequazioni scritte nella forma: f ( x )  0 oppure f ( x )  0 Basta trovare le soluzioni delle disequazioni f ( x ) > 0 o f ( x ) < 0 e aggiungere le soluzioni dell’equazione f ( x ) = 0.

Consideriamo una generica disequazione: a x + b > 0. Sommiamo ad entrambi i membri il termine – b: a x > - b. a x + b – b > 0 - b. Se a > 0, dividiamo entrambi i membri per a: > b a - . a a x a x a > b - . Le soluzioni della disequazione data sono tutti i b a - numeri reali maggiori di . Graficamente: b a -

a x > - b. Se a < 0, dividiamo entrambi i membri per a, cambiando il verso della disequazione: . < b a - NoNo x a x a < b - . Le soluzioni della disequazione data sono tutti i b a - numeri reali minori di . Graficamente:

Problema Il vostro gestore di telefonia vi applica due tariffe a seconda di chi chiamate. La tariffa A è per le chiamate verso telefono fisso: è senza scatto alla risposta e costa 25 cent. al minuto. La tariffa B è per le chiamate verso i cellulari: ha lo scatto alla risposta di 15 cent. e costa 15 cent. al minuto. Dopo quanti minuti è più costoso chiamare il vostro amico a casa piuttosto che sul cellulare?

Una telefonata di x minuti costa: al telefono fisso 25 x 15 + 15 x al cellulare Per trovare quando costa di più chiamare a casa, basta risolvere la seguente disequazione: 25 x > 15 + 15 x.

Risolviamo quindi la seguente disequazione: 25 x > 15 + 15 x 25 x – 15 x > 15 + 15 x – 15 x 10 x > 15 10 x 10 > 15 3 2 Costa di più chiamare a casa se si parla per più di un minuto e mezzo, ossia 3 2 .