SCHEMA A BLOCCHI DEL CALCOLO INTEGRALE 1 SCHEMA A BLOCCHI DEL CALCOLO INTEGRALE CALCOLO INTEGRALE PRIMITIVE INT. INDEF. METODI INT. INT. DEF. CALC. AREE Derivate Esempi Esempi Esempi Casi speciali Int.Elementari Int.Esatti Int.Quasi Esatti Decompos. Sostituz. Per parti F.raz.fratte Sost.particolari Claudio Cinti

PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE INTEGRALI INDEFINITI METODI DI INTEGRAZIONE 2 CALCOLO INTEGRALE PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE INTEGRALI INDEFINITI METODI DI INTEGRAZIONE INTEGRALI DEFINITI CALCOLO DI AREE Claudio Cinti Schema

PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE 3 Definizione: si chiama primitiva di una funzione f(x), ognuna delle funzioni, F(x), la cui derivata è la stessa f(x). Cioè: F(x) è una primitiva di f(x) se Esempi F(x) è una primitiva di f(x) perché: F’(x)=f(x) Osservazione importante:data una funzione f(x) le sue primitive sono infinite, perché Definizione: l’insieme infinito delle primitive di una funzione si chiama l’integrale indefinito della funzione e si scrive: Claudio Cinti Schema

TABELLE DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI 4 TABELLE DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Funzione: y=f(x) Funzione derivata: y=f’(x) Claudio Cinti Schema

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Esempi di primitive di funzioni 8 Esempi di primitive di funzioni Ricorda che: data una funzione f(x) sai calcolare la sua funzione Derivata f’(x)= . Per esempio: Pertanto la funzione derivata f’(x) di una funzione f(x), se esiste, è unica: f(x) f’(x) unica. Mentre: data una funzione f(x), se F(x) è una sua primitiva [F’(x)=f(x)], ne esistono infinite altre: f(x) F(x)+c infinite. Esempi è una primitiva di perchè Claudio Cinti Schema

9 Segue Esempi è una primitiva di perchè Claudio Cinti Schema

10 INTEGRALI INDEFINITI L’integrale indefinito di una funzione f(x) é l’insieme infinito delle sue primitive F(x)+c. Si scrive : La determinazione di una primitiva,o dell’integrale indefinito, di una funzione f(x) costituisce sostanzialmente la operazione inversa della derivazione di una funzione o meglio della sua differenziazione; infatti si tratta di trovare una funzione F(x) conoscendo la sua derivata F’(x)=f(x). La difficoltà nel calcolo degli integrali indefiniti consiste proprio in questo: individuare una funzione conoscendone la sua derivata. Esamineremo pertanto alcune classi di funzioni per le quali è crescente il grado di difficoltà per la determinazione dei corrispondenti integrali indefiniti. Precisamente: integrali elementari, integrali esatti o immediati, integrali quasi esatti. Esistono dei teoremi analoghi a quelli sulle derivate. Claudio Cinti Schema

Integrali di funzioni elementari 11 Teoremi o regole di integrazione indefinita 1) 2) Dalla tabella delle derivate delle funzioni elementari si ottiene la tabella degli integrali indefiniti: basta avere presente che si tratta di individuare una funzione,la primitiva,di cui si conosce la derivata. Nota: è molto importante sapere riconoscere se un integrale è elemen tare, immediato o quasi esatto, per risolverlo rapidamente e corretta= mente, senza ricorrere ai vari metodi di integrazione. Claudio Cinti Schema

Tabella di alcuni integrali elementari. 12 Tabella di alcuni integrali elementari. Claudio Cinti Schema

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Integrali esatti o immediati 15 Integrali esatti o immediati Ricorda che: la tabella degli integrali elementari è stata ricavata dalla tabella delle derivate elementari. Teorema di derivazione di una funzione di funzione: Sulla base di questo teorema si può costruire una tabella di integrali, più complicati, ma esatti. Esempi: è primitiva di perché Claudio Cinti Schema

Generalizzazione degli integrali elementari 16 Per ciascuno dei casi della tabella degli integrali elementari, si può realizzare una generalizzazione da cui si ottiene una tabella di integrali, apparentemente complicati, ma esatti di cui si può scrivere immediatamente il risultato. La generalizzazione avviene così al posto di x si pone f(x) e al posto di dx si sostituisce f’(x)dx : x f(x) , dx f’(x)dx . Integrali elementari Generalizzazione: integrali esatti Esempi 1. 2. Claudio Cinti Schema

Integrali elementari Generalizzazione: integrali esatti Esempi 17 3. 4. 5. 6. 7. Claudio Cinti Schema

Integrali elementari Generalizzazione:integrali esatti Esempi 8. 9. 10. 11. 18 Claudio Cinti Schema

Integrali quasi esatti 19 Di questi integrali non si riesce (se non dopo un po’ di pratica), a scrivere immediatamente il risultato, perché non sono esatti. Però, ricordando in particolare il teorema: lo possono diventare. Esempi 1) infatti Ciò che si deve capire è che: l’integrale dato va moltiplicato, al suo esterno per e al suo interno per , in questo modo l’integrale diventa esatto. 2) 3) 4) 5) 6) Claudio Cinti Schema

7) 8) 20 Claudio Cinti Schema

METODI DI INTEGRAZIONE 21 METODI DI INTEGRAZIONE Se l’integrale che si deve risolvere non si riconosce come elementare, immediato o quasi esatto, allora si ricorre a uno dei metodi di integrazione. Infatti non esiste un metodo generale per determinare l’integrale indefinito di una qualsiasi funzione continua, ecco perché è importante sapere riconoscere gli integrali e classificarli: per scegliere la via della risoluzione. Vi sono vari metodi di integrazione: per scomposizione, per sostituzione, per parti, per le funzioni razionali fratte, per sostituzioni particolari. Claudio Cinti Schema

Integrazione per scomposizione Il metodo consiste nello scomporre la funzione che si deve integrare nella somma algebrica di funzioni delle quali è noto o più facile il calcolo dell’integrale indefinito. Esempi 1) 2) 3) 4) perché: 5) 6) perché: 7) 22 Claudio Cinti Schema

Integrazione per sostituzione o per cambiamento di variabile Qualche volta può accadere che il calcolo di un integrale diventa più semplice se si cambia la variabile di integrazione x con un’altra variabile t legata alla precedente da una relazione x=g(t) che ha la sua inversa t=h(x). Il procedimento si sviluppa attraverso i seguenti passaggi: Si stabilisce la sostituzione x=g(t), [oppure t=h(x)] Si calcola il differenziale della x che risulta: Nell’integrale da risolvere alla x e al dx si sostituiscono le espressioni che si sono ricavate: e Si calcola l’integrale che ora ha per variabile di integrazione la t Al risultato dell’integrale si sostituisce ora al posto della t la sua espressione t=h(x) Osservazioni Questo metodo si rivela utile quando, attraverso la sostituzione x=g(t) , l’integrale si trasforma in uno di quelli che si sanno risolvere. Si tratta sostanzialmente di una generalizzazione degli integrali quasi immediati. Non ci sono regole per stabilire quale sia la sostituzione per rendere più semplice il calcolo dell’integrale, si deve fare un po’ di pratica con calcoli su vari esempi. 23 Claudio Cinti Schema

A) Seguendo il procedimento si ottiene: 1) Sostituzione iniziale Esempi A) Seguendo il procedimento si ottiene: 1) Sostituzione iniziale 2) Calcolo del differenziale 3) Sostituzione nell’integrale 4) Calcolo dell’integrale 5) Sostituzione nel risultato. B) C) Si procede così: Oppure anche così: 24 Claudio Cinti Schema

Integrazione per parti Questo metodo è utile quando la funzione integranda è costituita dal prodotto di due funzioni: Si può dimostrare la validità della seguente formula: Come si vede dalla formula, f(x) e g(x) hanno ruoli diversi: f(x) si chiama “fattore finito” mentre g(x) é il “fattore differenziale”. Per dimostrare la formula consideriamo date u(x) e v(x) continue e con derivate continue, risulta: integrando questa ultima relazione e ricordando che si ottiene Se confrontiamo con la formula iniziale risulta: u(x) è il fattore finito, dv=v’dx è il fattore differenziale, é evidente che: Osservazione Nell’applicare la regola di integrazione per parti occorre prestare attenzione ai diversi ruoli che hanno il fattore finito e il fattore differenziale, in generale: si prende come fattore differenziale l’espressione che è facilmente integrabile, mentre come fattore finito si assume quello che si semplifica attraverso la derivazione. Gli esempi successivi chiariscono il procedimento. 25 Claudio Cinti Schema

sbagliata del fattore finito e del fattore differenziale. Esempi 1) , assumiamo x come fattore finito e senxdx come fattore differenziale, si ottiene: . . Se avessimo assunto come fattore finito senx e come fattore differenziale xdx avremmo ottenuto: , come si vede l’integrale che si deve calcolare è più complicato di quello di partenza,ciò è dovuto alla scelta sbagliata del fattore finito e del fattore differenziale. : , fattore finito, fattore differenziale: 3) , fattore finito, fattore differenziale: 4) , fattore finito, fattore differenziale. riassumendo: , da cui si ottiene , quindi ,assumendo cosx come fattore finito e cosxdx come fattore differenziale si ottiene: da cui si ricava 26 Claudio Cinti Schema

Funzioni razionali fratte 27 Vi sono vari casi di integrazione di funzioni razionali fratte in corrispondenza alla composizione della frazione. Claudio Cinti Schema

Sostituzioni particolari 28 Si presentano numerosi tipi di sostituzioni, algebriche o goniometriche, in relazione alla funzione che si deve integrare. Claudio Cinti Schema

INTEGRALI DEFINITI Introduzione 29 Introduzione Uno dei problemi che portarono all’invenzione del calcolo infinitesimale (derivazione o differenziazione e integrazione), fu quello di determinare l’area di superfici a contorno curvilineo, (l’altro problema fu quello di determinare la retta tangente a una curva in un suo punto) . Archimede, attraverso un procedimento da lui inventato, determinò l’area della superficie compresa tra un arco di parabola e l’asse delle ascisse. Il metodo di Archimede considera due successioni, formate dalle somme delle aree di rettangoli inscritti e circoscritti all’arco di parabola, le quali per n che tende all’infinito hanno uguale limite:tale limite comune rappresenta l’area della superficie individuata dalla curva e dall’asse delle ascisse. L’area della superficie sottesa all’arco di parabola di equazione nell’intervallo è .Con la simbologia degli integrali tale risultato si scrive così : . Generalizziamo il ragionamento fatto per la parabola: consideriamo una funzione y=f(x) definita e continua in un intervallo chiuso [a,b] e, in tale intervallo per esempio positiva; quindi dividiamo l’intervallo in n parti uguali e in ognuno degli n intervalli consideriamo il massimo e il minimo della funzione che indichiamo con . A questo punto la somma rappresenta l’area della somma dei rettangoli inscritti, mentre la somma rappresenta l’area della soma dei rettangoli circoscritti al grafico della funzione nell’intervallo [a,b]. L’ampiezza di ogni intervallo è . Claudio Cinti Schema

Per definizione si pone : Risulta che: la successione e la successione per n che tende all’infinito hanno lo stesso limite e tale limite è assunto per definizione come l’area della superficie individuata dall’asse delle ascisse e dal grafico della funzione continua y=f(x) nell’intervallo chiuso [a,b], cioè: Definizione Si chiama integrale definito della funzione continua y=f(x) nell’intervallo chiuso [a,b] il limite comune delle due successioni e si scrive : Per definizione si pone : Significato geometrico: l’integrale definito fornisce l’area, con segno, compresa fra il grafico della funzione y=f(x) , l’asse delle ascisse e le rette x=a e x=b data da : se 29/A Claudio Cinti Schema

Teoremi -Teorema 1. -Teorema 2 . Se due funzioni continue f(x) e g(x) sono tali che per ogni allora -Teorema 3 (Teorema della media). Data la funzione y=f(x) continua nell’intervallo [a,b] , esiste un numero reale , tale che : -Teorema fondamentale del calcolo integrale4. Data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo [a,b] la sua funzione integrale è una sua primitiva, cioè risulta: -Teorema 5 (Formula di Newton-Leibniz). L’integrale definito di una funzione si calcola in questo modo: , dove F(x) è una primitiva di f(x). 29/B Claudio Cinti Schema

Osservazioni -L’integrale indefinito di una funzione é l’insieme delle sue funzioni primitive. -L’integrale definito di una funzione in un intervallo [a,b] è un numero reale e esprime a meno del segno l’area della superficie sottesa al grafico della funzione. -La formula di Newton-Leibniz, collega il calcolo dell’integrale definito a quello delle funzioni primitive, cioè al calcolo degli integrali indefiniti. -La formula di Newton-Leibniz suggerisce il procedimento per calcolare un integrale definito ,che è sostanzialmente rimandato al calcolo di integrali indefiniti ovvero al calcolo della primitiva di una funzione . -Significato geometrico dell’integrale definito:se la funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] è tutta positiva o tutta negativa, l’integrale definito in detto intervallo rappresenta l’area (a meno del segno), della superficie compresa fra il grafico della funzione, l’asse delle ascisse e le rette x=a e x=b. -Dal significato geometrico si desume facilmente che gli integrali definiti sono un metodo per calcolare delle aree. Funzioni integrabili L’integrale definito è stato introdotto soltanto per funzioni continue, si può tuttavia estendere il concetto di integrale definito a un insieme di funzioni più vasto. Esempi di funzioni integrabili anche se non continue sono quelle che hanno un numero finito di punti di discontinuità e sono nell’intervallo di integrazione [a,b] limitate; in questo caso basta considerare gli integrali definiti in tutti gli intervalli in cui la funzione è continua e sommarli. 29/C Claudio Cinti Schema

Esempi di calcolo di integrali definiti 1) Significato geometrico: 2) Significato geometrico: 3) Significato geometrico: 4) pertanto: 29/D Claudio Cinti Schema

5) 6) 7) 29/E Claudio Cinti Schema

CALCOLO DI AREE Introduzione 30 Introduzione -Una delle applicazioni degli integrali definiti consiste nel calcolare aree a contorno curvilineo. Sappiamo già che, per una funzione continua in un intervallo [a,b] e tutta positiva (negativa) in tale intervallo, l’integrale definito è un numero reale positivo (negativo) che rappresenta l’area della superficie sottesa al grafico, cioè la regione di piano limitata da: l’arco di grafico della funzione e le rette x=a , x=b , y=0 . -Nel caso in cui la funzione f(x) nell’intervallo [a,b] sia positiva e negativa intersecante per esempio in un punto x=c l’asse delle ascisse, per calcolare l’area della superficie sottesa dalla curva nell’intervallo citato non si deve calcolare l’integrale , il cui valore non ha alcun riscontro geometrico, bensì si devono calcolare due integrali separatamente considerando il segno, così: l’area della superficie sottesa A non è data dall’integrale definito si deve invece calcolare tenendo conto del segno che hanno i valori dei due integrali. Claudio Cinti Schema

Area di una superficie compresa tra due grafici Teorema: date due funzioni continue nell’intervallo [a,b] e tali che per ogni si ha , l’area della superficie S compresa tra i grafici delle due funzioni e le rette x=a e x=b è: Esempi di calcolo di aree Determinare l’area della regione finita di piano individuata dai grafici delle funzioni: I punti intersezione delle due curve hanno ascisse: L’area richiesta,essendo le due curve simmetriche rispetto all’origine, è data da: 2)Determinare l’area compresa tra: Le due curve sono tangenti in O(0,0) e si intersecano in P(2,8), l’area è: 30/A Claudio Cinti Schema

3) Calcolare l’area delimitata dai grafici delle tre funzioni: I punti intersezione hanno coordinate: L’area è data da: 4) Calcolare l’area della regione finita delimitata dalle due curve, grafici delle funzioni: I punti intersezione delle due curve sono: L’area risulta dall’integrale: 30/B Claudio Cinti Schema

5) Osservazione Fino ad ora gli esempi che si sono considerati hanno riguardato casi di aree di superfici limitate; però si possono prendere in considerazione anche aree di regioni di piano illimitate. C’è da dire che una superficie illimitata può avere come area un numero reale definito, ma anche risultare infinita. Per determinare l’area di superfici illimitate si calcolano degli integrali che si chiamano integrali impropri o generalizzati : il loro calcolo avviene sostanzialmente attraverso la determinazione del limite di un integrale definito. 30/C Claudio Cinti Schema