Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi Luca D’Acci

Equazioni ricorsive ... Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Se è un’equazione ricorsiva: Rappresentazione grafica Se è un’equazione ricorsiva: Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Parto da un valore iniziale Reitero la nuova Calcolo la Retta bistettrice x=y Generica funzione Parto da un valore iniziale x=y Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Che graficamente equivale a x=y Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Percorso curva–bisettrice curva f(x) Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

y = rx(1-x) La logistica mappa Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

y = rx-rx2 y = rx(1-x) la scriviamo come Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

che graficamente è una: parabola… di h y = rx-rx2 y = rx-rx2 y = rx-rx2 y = rx-rx2 … verso il basso Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

x = popolazione al tempo t y = rx (1-x) xt+1=rxt(1-xt) xt+1 tasso di crescita termine correttivo Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

La popolazione non può essere negativa xt+1=rxt (1-xt) xt+1=rxt (1-xt) xt+1=rxt (1-xt) xt+1=rxt (1-xt) 0 ≤ r ≤ 4 0 ≤ x 0 ≤ x ≤ 1 xt+1=rxt(1-xt) ma se r=4 quando xt=0.5 si avrebbe: xt+1= 4 ∙ 0.5 (1-0.5) = 1 quando r > 4 → xt+1 >1 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

r7=4 xt+1=rxt(1-xt) r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 r7=4 r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

I valori ammessi sono quindi: 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ r ≤ 4 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Indipendentemente dal valore di r si ha : per xt=0 → xt+1=0 xt+1=rxt(1-xt)=r0(1-0)=0 per xt=1 → xt+1=0 xt+1=rxt(1-xt)=r1(1-1)=0 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Come si comporta la funzione al variare di r ? Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Proviamo con… r=2 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Punto fisso 0,5 F(x)=rx (1-x) r=2 ; partiamo ad esempio da x0=1/3 0,4444…. x1= F(x0)=2∙1/3(1-1/3)=4/9 0,4938…. x2= F(x1)=2∙4/9(1-4/9)=40/81 x3= F(x2)=2∙40/81(1-40/81)=3280/6561 0,4999…. . . xn= F(xn-1)=1/2 0,5 xn+1= F(xn)= 2∙1/2(1-1/2)= 1/2 0,5 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

partendo da qualunque valore iniziale si ha lo stesso risultato Se r=2 partendo da qualunque valore iniziale si ha lo stesso risultato Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

xn=1/2 x0 x1 x2 … x = y r = 2 F(x) x2 x1 x x2 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

xn=1/2 x F(x) x = y r = 2 x0 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

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Tranne, come detto, per x0=0 e per x0=1 Quindi per r=2 ½ è un punto fisso attraente Tranne, come detto, per x0=0 e per x0=1 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

0 è un punto fisso attraente Per si dimostra facilmente che Quindi per 0 è un punto fisso attraente Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

xn=0 xn=0 x F(x) x = y x0 x0 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

si dimostra facilmente che visualizziamo dominio di r dominio di x → xn = 0 → xn = dominio di r dominio di x si dimostra facilmente che xn i punti fissi 1 1/2 al variare di r r 4 3 1 1 2 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Perché se parto da x0 dopo una iterazione torno ad x0 0 e ½ sono attrattori di Periodo 1 Perché se parto da x0 dopo una iterazione torno ad x0 x0 F(x0) x0 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

r xn 1 attrattore di periodo 1 Un attrattore di periodo 1 stabilizza (dopo n iterazioni) il valore di x su un solo valore (il punto fisso xn) 0 < r < 1 visualizziamo x r=0.1 r=0.5 r=0.1r=0.5r=0.9r=1 iterazione Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

attrattore di periodo 1 x iterazione r xn 1 0,5 2 3 1 attrattore di periodo 1 0,5 2 3 x r=1,5r=2 r=2,5r=2,9r=3 iterazione Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

xn 1 1/2 ? r 4 1 3 1 2 3 4 xn = 0 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

In r=3 nasce un nuovo attrattore di si dimostra facilmente che Periodo 2 x0 F(x0) x1 F(x1) x0 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

da elementari passaggi algebrici si ottengono i due valori che si alternano infinitamente ad ogni iterazione quando si raggiunge il nuovo attrattore di periodo 2 da elementari passaggi algebrici Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

_ x1 x2 x1 + attrattore di periodo 2 F(x1) F(x2) 1 0.5 1 2 3 4 xn r r 1 2 3 4 x1 F(x1) x2 F(x2) x1 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Un attrattore di periodo 2 stabilizza (dopo n iterazioni) il valore di x su due valori (due punti periodici xn) Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

x1 x2 x1 x2 x1 x2 …∞ x1 x2 F(x) xn x1 2 valori di xn x2 r 1 3 x 1 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 …∞ x Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

2 soluzioni: 2 punti periodici xn xn,1 MA 1 1/2 xn,2 r 1 2 3 4 non appena r cresce di un infinitesimo... 2 soluzioni: 2 punti periodici Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

AL PUNTO FISSO DI PERIODO 1 xn ? 1 1/2 r 1 2 3 4 BIFORCAZIONE COSA SUCCEDE AL PUNTO FISSO DI PERIODO 1 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

DA PUNTO FISSO ATTRAENTE DIVENTA xn 1 1/2 r 1 2 3 4 DA PUNTO FISSO ATTRAENTE DIVENTA PUNTO FISSO REPELLENTE Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Quando r raggiunge il valore con qualche calcolo si ricava che si ha un nuovo sdoppiamento dell’attrattore xn 1 1/2 r 1 2 3 4 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Abbiamo ora 4 valori che si alternano infinitamente su cui la x si stabilizza dopo n iterazioni Attrattore di periodo 4 xn Xn,1 1 Xn,2 Xn,3 1/2 Xn,4 r 1 2 3 4 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

x1 x2 x3 x4 x1 x2… xn x1 F(x) x3 4 valori di xn x4 x2 r x1 x3 x4 x2 x Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi x

La successione delle rn ha come limite un n.irrazionale r∞≈3.569934 cosa capita se Successive biforcazioni insorgono secondo lo stesso meccanismo per valori di r via via crescenti ma sempre più vicini tra loro ? r r∞ r1 r2 r3 … r4 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

nessun punto fisso “attrattore” con periodo infinito Qualunque valore iniziale dà luogo a traiettorie aperiodiche “attrattore” con periodo infinito nessun punto fisso Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

x iterazione r=3 r=3.25 r=3.5 r=3.75r=4 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

xn più stati finali ∞ stati finali un unico stato finale Per r>r∞ non si hanno più attrattori, un punto dovrebbe attendere un tempo infinito prima di tornare su se stesso r∞ r Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

128 iterazioni 256 iterazioni 1024 iterazioni 8192 iterazioni Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

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Il futuro del sistema è noto a priori indipendentemente dalle condizioni iniziali: EQUILIBRIO STABILE L’evoluzione del sistema è caoticamente imprevedibile: CAOS DETERMINISTICO Variazioni del parametro non mutano la soluzione di equilibrio asintotico data dalla: (r-1)/r Il futuro del sistema dipende dal valore del parametro; piccole variazioni di r determinano notevoli riassestamenti della configurazione finale: COMPLESSITA’ Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

La dinamica esposta non è peculiare della sola mappa logistica, ma è generale per un’ampia classe di mappe unidimensionali: tutte le funzioni continue e derivabili nell’intervallo considerato, unimodali, con un massimo di tipo quadratico. Dinamiche simili possono sussistere in modelli differenti in apparenza ma non nella sostanza matematica. Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

L’ EVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO dipende da un insieme di parametri di controllo stabilità complessità caos Parametri di controllo La dinamica di un comportamento complesso è caratterizzata da traiettorie sensibili alle perturbazioni (variazioni del parametro di controllo) Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Esempi di applicazione della mappa logistica Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Modelli di interazione spaziale = attrattività della zona i Zona i = costi di trasferimento = sensibilità dell’utente a Zona j = attrattività della zona j = probabilità di trasferimento dalla zona i alla zona j Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

forma tipica della mappa logistica Assumendo per semplicità che: forma tipica della mappa logistica Indicando con uj l’utilità della zona j si può trasformare nella probabilità che j riceva popolazione indipendentemente dalla zona i di origine La Chiamando αj la duj /dt e assumendola costante (assumiamo cioè che la uj cresca linearmente con il tempo) discretizzando Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Attrattore di Lorenz Rimescolamento fluido dT orrizzontale (1963) Rimescolamento fluido Parametri relativi alla dinamica atmosferica dT orrizzontale dT verticale Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

forma discreta forma continua Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Iterazione 500 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Iterazione 5.000 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Iterazione 50.000 Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi