fine I NUMERI NATURALI DIMENSIONE COGNITIVA

In quanti modi contiamo? fine Uno due tre quattro cinque sei sette otto nove ... intransitivo

In quanti modi contiamo? fine Uno due tre quattro cinque sei sette otto nove ... Ci sono sei mele nel mio sacchetto intransitivo transitivo

Contare in modo intransitivo? fine contare per contare filastrocca dei numeri Il modo intransitivo di contare è legato ad esperienze come la filastrocca dei numeri, in cui contiamo per contare, senza alcun intenzione di sapere quanti oggetti sono in gioco. Esso si basa sull’idea che ogni numero ha un successivo e, probabilmente, l’idea di infinito scatta in questo contesto. I nomi dei numeri nella successione sono usati, per esempio, come indicatori con cui contraddistinguere i diversi elementi di una collezione senza alcuna valenza di cardinalità. Questo modo di contare è vicino al significato ordinale dei numeri.

Contare in modo intransitivo? fine contare per contare filastrocca dei numeri Il modo intransitivo di contare è legato ad esperienze come la filastrocca dei numeri, in cui contiamo per contare, senza alcun intenzione di sapere quanti oggetti sono in gioco. Esso si basa sull’idea che ogni numero ha un successivo e, probabilmente, l’idea di infinito scatta in questo contesto. I nomi dei numeri nella successione sono usati, per esempio, come indicatori con cui contraddistinguere i diversi elementi di una collezione senza alcuna valenza di cardinalità. Questo modo di contare è vicino al significato ordinale dei numeri. Ogni numero ha un successivo e allora? Significato ORDINALE

Contare in modo transitivo? fine Quante siamo? Il modo transitivo di contare è invece legato ad esperienze o esigenze di sapere quanti sono gli oggetti di una collezione o, in generale, nella situazione in cui ci si trova. L’ordine in cui si indicano gli elementi è irrilevante ai fini della conoscenza di quanti sono. Questo modo di contare è vicino al significato cardinale dei numeri, che si identifica con l’etichetta utilizzata per contrassegnare l’ultimo degli elementi.

Contare in modo transitivo? fine Quante siamo?

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Contare in modo transitivo? fine quattro Significato CARDINALE

Cosa implica l’attività del contare? fine Richiede di: - ricordare ogni numero e il suo successivo - ripetere la sequenza di parole sempre nello stesso ordine - variare ogni dieci il ‘tema’ della sequenza filastrocca dei numeri Significa: combinare la pronuncia di una parola numero con un gesto ed il gesto con un oggetto, in modo da realizzare due corrispondenze biunivoche tra parole e gesti e gesti e oggetti. La difficoltà di memorizzazione della filastrocca dei numeri indica quanto il suo apprendimento sia un’elaborazione concettuale complessa. Il bambino si trova a esplorare e individuare sequenze brevi, con variazioni ogni dieci ‘parole’ e scoprire dopo quali parole ci sia il cambio di denominazione. Deve, in un cero senso, scoprire la grammatica di formazione delle ‘parole’ della filastrocca. Questo richiede un periodo di esperienze consistente sia nel tempo che nella varietà dei intervalli considerati. La difficoltà del contare oggetti aumenta se gli oggetti non sono manipolabili, per cui risultano a volte necessaire forme di registrazione intermedia. Delle forme di registrazione intermedia tra la corrispondenza parole-oggetti e tacche e la successiva scrittura del numero si presenta quando si chiede ai bambini, prima di iniziare la scuola, di scrivere il numero di un insieme di oggetti dati. Il bambino (Sinclair)cerca di simbolizzare il conteggio che sta eseguendo perché egli coglie la cardinalità di una collezione di oggetti unicamente attraverso il conteggio. contare oggetti

Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine

Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine Contare tutto Due sono le possibili strategie di conteggio Contare da

Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine Contare tutto Contare tutto (‘counting all’): processo secondo cui il bambino risponde al quesito contando i gattini di Paolo fino a 2 poi quelli di Leo fino a 3 e poi, tutte insieme, ricominciano dal primo gattino di Paolo

Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine uno Contare tutto

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Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine uno due tre quattro cinque Contare tutto Cinque gattini

Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine due gattini tre gattini Contare da (‘counting on’): processo secondo cui il bambino conta i gattini di Paolo e Leo separatamente, e poi parte dal primo gattino di Leo, pronunciando il nome, due fino a cinque. Questo processo rappresenta una contrazione del precedente ed più efficace se si parte dall’addendo maggiore Contare da

Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine due uno due Contare da

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Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3 Paolo ha 2 gattini e Leo ne ha 3. Quanti gattini hanno Paolo e Leo insieme? fine Cinque gattini uno due tre quattro cinque Contare da

Un’esperienza importante: contare le monete fine Un’esperienza ricca dal punto di vista sociale Campo di esperienza: - i bambini devono lavorare sui numeri dei quali conoscono solo il suono o la scrittura - di tali numeri conoscono alcune corrispondenze tra parole-valore e pezzi-moneta

«…Che cosa c’è scritto?…Disegna tanti pallini quanti dice il biglietto...» fine 4

- Interpretare il simbolo numerico sulla carta «…Che cosa c’è scritto?…Disegna tanti pallini quanti dice il biglietto...» fine - Interpretare il simbolo numerico sulla carta - stabilire un rapporto tra il numerale e una possibile rappresentazione iconica - contare i pallini durante l’esecuzione, confrontando continuamente il numero di quelli disegnati con quello indicato sulla carta

«…Che cosa c’è scritto?…Disegna tanti pallini quanti dice il biglietto...» fine 4 

«…Che cosa c’è scritto?…Disegna tanti pallini quanti dice il biglietto...» fine 4  

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«…Che cosa c’è scritto?…Disegna tanti pallini quanti dice il biglietto...» fine Fatto! 4   

E lo zero? fine È un numero? È un elemento critico perché crea ai bambini il problema di rappresentare il vuoto o il niente Allo 0 colorato si potrebbe associare qualcosa dell'abaco come approfondimento

E lo zero? fine È un numero? È un elemento critico perché crea ai bambini il problema di rappresentare il vuoto o il niente Allo 0 colorato si potrebbe associare qualcosa dell'abaco come approfondimento e di superare la contraddizione che il nulla sia associato a qualcosa, ad un simbolo

Quale genesi del concetto di numero? fine Quale genesi del concetto di numero? Piaget Vygotskij (l'immagine è provvisoria) Gelmann & Gallistel

Piaget Vygotskij Gelmann & Gallistel l’aspetto cardinale fine l’aspetto cardinale viene privilegiato rispetto a quello ordinale Piaget Vygotskij Nozione d’insieme centrale Nella genesi del concetto di numero, l’aspetto cardinale viene privilegiato rispetto a quello ordinale. La nozione di insieme era considerata il centro delle esperienze che portano alla formazione del numero. Le idee sono state riprese da molte altre scuole Gelmann & Gallistel

attività di interazione fine attività di interazione Piaget Vygotskij attività verbale Elemento fondamentale: l’attenzione si sposta dalla conoscenza “in astratto” all’attività di interazione e all’attività verbale che serve a concettualizzarla Altre ricerche, d’ispirazione piagetiana, riconducono esperienze dell’apprendimento del numero a problemi comuni con sistemi di tipo linguistico. Diverse ricerche sono state condotte e hanno come risultato che il linguaggio assume un ruolo fondamentale perché è lelemento di fissazione di esperienze di natura percettiva e determina schemi di riferimento con valore evocativo. Gelmann & Gallistel

per leggere l’evoluzione fine Cinque principi per leggere l’evoluzione della concezione di numero. L’osservazione del comportamento dei bambini nella loro attività di contare e la constatazione che per il bambino avere contato gli elementi di un insieme non equivale a sapere quanti siano gli elementi, portato Gelman e Gallistel a fare l’ipotesi che le radici cognitive del contare stiamo nel modo intransitivo e nel modo transitivo di contare. Nelle esperienze osservate, molto spesso i bambini di fronte al compito di contare degli oggetti, ripetevano due volte il nome del numero di oggetti: la prima volta corrisponde al modo transitivo (accezione ordinale), la seconda volta al modo intransitivo con cui si attribuisce all’insieme la cardinalità corrispondente al nome dell’ultimo elemento. Quest’idea è stata trattata da Tall&Gray, nel loro modello di procept. Al seguito della ricerca, Gelman e Gallistel hanno proposto cinque principi fondamentali per leggere il modo nel quale evolve nei bambini la concezione di numero. I primi tre principi descrivono il procedimento con il quale avviene il conteggio. 1. Il contare intransitivo, contare per contare, recitare la filastrocca dei numeri è un’abilità connessa ad esperienze di azioni ripetute. Nell’espletare correttamente tale attività vale un ‘principio di iniettività’: i nomi dei numeri nella loro successione vengono usati come indicatori; lettere dell’alfabeto del loro ordine o le dita dei mani e piedi in un certo ordine, hanno la stessa funzione. Due i requisiti essenziali: operare una partizione che distingua gli elementi già contati da quelli ancora da contare e coordinare questa operazione con l’insieme fonte delle etichette. 2. Il Principio dell'ordine stabile: i nomi dei numeri, usati come indicatori con i quali contrassegnare gli elementi di una collezione, sono pronunciati in una sequenza stabile (non necessariamente coincidente con quella standard); 3. Il principio di cardinalità è quello che consente di assegnare, come proprietà, ad un insieme l’ultima etichetta usata per identificare i suoi elementi. E quando le etichette saranno i numerali o le parole numero nella corretta successione, partendo dalla prima si avrà l’atto di contare e come viene espletato dagli adulti. 4. Il principio di astrazione fissa cosa contare: le tre attività soggiacenti ai principi precedenti possono essere applicate a una qualunque collezione di entità, anche insiemi di oggetti eterogenei, anche oggetti solo pensati 5. Il principio di irrilevanza dell’ordine, non interessa quale elemento riceve quale etichetta Gelmann & Gallistel

fine 1. Il Principio di iniettività: nel contare transitivo, i nomi dei numeri vengono usati come indicatori. Due i requisiti essenziali: operare una partizione che distingua gli elementi già contati da quelli ancora da contare e coordinare questa operazione con l'insieme fonte delle etichette. 2. Principio dell'ordine stabile 3. Principio di cardinalità 4. Principio di astrazione 5. Principio di irrilevanza dell'ordine 1. Il contare intransitivo, contare per contare, recitare la filastrocca dei numeri è un’abilità connessa ad esperienze di azioni ripetute. Nell’espletare correttamente tale attività vale un ‘principio di iniettività’: i nomi dei numeri nella loro successione vengono usati come indicatori; lettere dell’alfabeto del loro ordine o le dita dei mani e piedi in un certo ordine, hanno la stessa funzione. Due i requisiti essenziali: operare una partizione che distingua gli elementi già contati da quelli ancora da contare e coordinare questa operazione con l’insieme fonte delle etichette. Gelmann & Gallistel

fine 1. Principio di iniettività 2. Il Principio dell'ordine stabile: i nomi dei numeri, usati come indicatori con i quali contrassegnare gli elementi di una collezione, sono pronunciati in una sequenza stabile; 3. Principio di cardinalità 4. Principio di astrazione 5. Principio di irrilevanza dell'ordine 2. Il Principio dell'ordine stabile: i nomi dei numeri, usati come indicatori con i quali contrassegnare gli elementi di una collezione, sono pronunciati in una sequenza stabile (non necessariamente coincidente con quella standard); Gelmann & Gallistel

fine 1. Principio di iniettività 2. Principio dell'ordine stabile 3. Il Principio di cardinalità è quello che consente di assegnare, come proprietà, ad un insieme l'ultima etichetta usata per identificare i suoi elementi. E quando le etichette saranno i numerali o le parole-numero nella corretta successione e partendo dalla prima si avrà l'atto di contare come viene espletato dagli adulti. 4. Principio di astrazione 5. Principio di irrilevanza dell'ordine 3. Il principio di cardinalità è quello che consente di assegnare, come proprietà, ad un insieme l’ultima etichetta usata per identificare i suoi elementi. E quando le etichette saranno i numerali o le parole numero nella corretta successione, partendo dalla prima si avrà l’atto di contare e come viene espletato dagli adulti. Gelmann & Gallistel

fine 1. Principio di iniettività 2. Principio dell'ordine stabile 3. Principio di cardinalità 4. Il Principio di astrazione fissa cosa contare: le tre attività soggiacenti ai principi precedenti possono essere applicate a una qualunque collezione di entità, anche insiemi di oggetti eterogenei, anche oggetti solo pensati. 5. Principio di irrilevanza dell'ordine 4. Il principio di astrazione fissa cosa contare: le tre attività soggiacenti ai principi precedenti possono essere applicate a una qualunque collezione di entità, anche insiemi di oggetti eterogenei, anche oggetti solo pensati Gelmann & Gallistel

fine 1. Principio di iniettività 2. Principio dell'ordine stabile 3. Principio di cardinalità 4. Principio di astrazione 5. Il Principio di irrilevanza dell'ordine, non interessa quale elemento riceve quale etichetta. 5. Il principio di irrilevanza dell’ordine, non interessa quale elemento riceve quale etichetta Gelmann & Gallistel

numerosità scrittura dei numeri Ma c’è qualcosa di "naturale" fine Ma c’è qualcosa di "naturale" nel nostro rapporto con i numeri? Quale relazioni tra i numeri e la struttura del nostro cervello? numerosità Alcuni osservazioni tratte dal libro di Dehaene “La bosse des Maths” 1. I bambini molto piccoli hanno un’immagine di numerosità: riescono a distinguere due oggetti da tre oggetti, non soltanto visualmente ma anche sonoramente. Questa sembra effettivamente essere una capacità del nostro cervello. Per la stessa capacità, possiamo riconoscere fino a quattro, più raramente cinque oggetti senza contarli. Questo fenomeno è detto subitizing. La scrittura dei numeri mediante simboli sembra mantenere traccia di questa capacità di contare senza contare fino a tre oggetti: nelle varie culture i simboli per uno due, tre richiamano la stessa, o quasi, forma (I,II,III) pag75 scrittura dei numeri

fine subitizing Alcuni osservazioni tratte dal libro di Dehaene “La bosse des Maths” 1. I bambini molto piccoli hanno un’immagine di numerosità: riescono a distinguere due oggetti da tre oggetti, non soltanto visualmente ma anche sonoramente. Questa sembra effettivamente essere una capacità del nostro cervello. Per la stessa capacità, possiamo riconoscere fino a quattro, più raramente cinque oggetti senza contarli. Questo fenomeno è detto subitizing. Pag 82

scrittura dei numeri fine La scrittura dei numeri mediante simboli sembra mantenere traccia di questa capacità di contare senza contare fino a tre oggetti: nelle varie culture i simboli per uno due, tre richiamano la stessa, o quasi, forma (I,II,III) pag75 molte societa umane, presenti o passate, hanno convenuto di indicare i primi tre o quattro numeri con altrettanti segni identici e i numeri successivi inmodo più o meno arbitrario. Si può avanzare l’ipotesi che tale scelta sia legata alla capacità di distinguere con un solo colpo d’occhio due da tre, ma diventa più difficile distinguere tre oggetti da quattro senza forse contare. Si pensi alla numerazione romana. Ecco alcuni esempi di scrittura di numeri.