Considerazioni sul modello di Ehrenfest Benedetto Raimondi benedetto.raimondi@istruzione.it benedetto.raimondi@libero.it

Il modello di Ehrenfest risale al 1907, anno della sua introduzione ad opera di Paul e Tatiana Ehrenfest. La sua attuazione ed applicazione concreta sono semplici ma, per avere risultati significativi, occorrono tempi lunghi. Per chi non lo conoscesse, esaminiamolo un pò…

Siano date due scatole, una vuota ed un’altra contenente N palline numerate ordinatamente da 1 a N. La scatola con le palline la chiameremo scatola A, quella vuota la chiameremo scatola B. Sia data, infine, un’urna contenente N biglietti, numerati come le palline. Tra i biglietti e le palline c’è una corrispondenza biunivoca. A Urna B

Ogni volta che viene estratto un biglietto, la pallina corrispondente va spostata dalla scatola in cui era all’altra. Dopo lo spostamento della pallina, il biglietto va reimmesso nell’urna. A Si effettuino K estrazioni, dopo tale numero di estrazioni si avranno: NA palline in A e NB palline in B. NA è definita popolazione della scatola A, analogamente per NB. Notare che N = NA + NB B Si indichi con [NA, NB] lo stato macroscopico con NA palline in A e NB palline in B. A [NA, NB] corrispondono tutti i microstati ottenibili permutando le palline in A e B lasciando invariati NA e NB. Tale numero, indicato con W, è uguale a:

All’inizio, stato [N, 0], il valore di W, chiamato probabilità termodinamica, è uguale ad 1. La probabilità dello stato generico [NA, NB] é compresa tra 1 ed il massimo valore permesso di W. Allo stato [N /2, N /2], corrispondente all’equipartizione delle palline tra le scatole A e B, corrisponde il massimo valore di W e dell’entropia S. Il legame tra S e W è dato dall’equazione di Boltzmann: S = k lnW k è la costante di Boltzmann. W cresce al crescere di K, numero di estrazioni. La crescita di W non è monotòna, si hanno fluttuazioni. Allo stato [N /2, N /2], ripetiamo corrispondente al massimo valore di W, si perviene, con fluttuazioni della popolazione anche ampie, per valori di K sufficientemente grandi. L’ampiezza delle fluttuazioni della popolazione dallo stato [N /2, N /2], decresce, per valori di K grandi, al crescere di N. Se N tende ad infinito…

Per N tendente ad infinito, l’ampiezza delle fluttuazioni della popolazione, nello stato [N /2, N /2], tende a zero. Le considerazioni esposte sono derivabili dall’applicazione concreta del modello di Ehrenfest. Per fare questo, tuttavia, occorre molto tempo. Per N = 20 e K = 1.000, stimando 5 secondi per ogni osservazione (estrazione, conteggio delle palline, verifica del vincolo N = NA + NB, riportare i dati su carta millimetrata per eventuali grafici)… Occorrerebbero 5.000 secondi, cioè più di un’ora! Davide Neri e Valerio Innocenti Sedili hanno preparato, con Microsoft Excel®, un’efficace e fedele simulazione del modello di Ehrenfest. Tale lavoro simula, in quattro differenti fogli di lavoro, K = 1.000 estrazioni per N uguale, rispettivamente a 20, 40, 80 e 160. I risultati si ottengono in pochi secondi e vengono riportati in due grafici. In uno si riporta NB vs K, in un altro si riporta S vs K.

Analogia tra modello di Ehrenfest e sistemi chimico-fisici suscettibili d’evoluzione verso stati d’equilibrio

Risultati della simulazione del modello di Ehrenfest per proporre lo sviluppo di argomenti generalmente non vengono trattati o che non possono essere approfonditi come meriterebbero. Necessità di usare un approccio microscopico per comprendere l’evoluzione spontanea dei sistemi macroscopici verso stati d’equilibrio. Necessità di usare un approccio microscopico per comprendere l’evoluzione spontanea dei sistemi macroscopici verso stati d’equilibrio. Natura statistica dell’entropia e carattere d’attrattore che lo stato d’equilibrio esercita sui sistemi lontani da questo. Lo stato d’equilibrio è quello più probabile. Se si parte da uno stato lontano dall’equilibrio si avrà evoluzione verso lo stato d’equilibrio. Può sempre accadere che un sistema transiti da uno stato più probabile verso uno meno probabile

Punto 1, ricordiamo che: S = k ln W L’entropia S cresce al crescere di W e, per un dato valore di N, il valore massimo di W e quindi dell’entropia S, si ha proprio se NA = NB = N/2 cioè se le palline sono equidistribuite tra le due scatole.

Punto 2. Spostamento d’una pallina da A a B Probabilità [NA, NB]  [NA -1, NB +1] uguale a NA /N. Spostamento d’una pallina da B ad A Probabilità [NA, NB]  [NA +1, NB -1] uguale a NB /N. Se: NA > NB è più probabile [NA, NB]  [NA -1, NB +1] NA < NB è più probabile [NA , NB] [NA +1, NB -1].

Punto 3. a) da [N, 0] a [N/2, N/2] con una ben precisa sequenza d’estrazioni; b) da [N/2, N/2] a [N, 0] con la sequenza inversa. La a) é una delle tante che porta il sistema da da [N, 0] a [N/2, N/2]; la b) è una delle poche che allontana il sistema dall’equilibrio. D’altronde, appena il sistema tende ad allontanarsi dall’equilibrio, si verificano le condizioni discusse per il punto 2. Le considerazioni fatte possono essere applicate all’espansione spontanea d’un gas nel vuoto o alla diffusione da regioni a pressione (o concentrazione) maggiore verso altre a pressione (o concentrazione) minore. La diffusione è sempre più probabile nel verso da dove la pressione (concentrazione) è maggiore a dove la pressione (concentrazione) è minore. La diffusione in verso opposto non è impossibile, è solo meno probabile.

Perentorietà di certe affermazioni con cui il secondo principio della termodinamica è stato formulato. In particolare occorre insistere sulla sostituzione della parola “impossibile”, tipica degli enunciati originari di Kelvin e Clausius, con l’espressione “estremamente improbabile”. “impossibile” esclude la possibilità di fluttuazioni rispetto alla condizione d’equilibrio; “estremamente improbabile”, di ampio respiro ed agevola la comprensione della tendenza dei sistemi macroscopici isolati ad evolvere spontaneamente verso condizioni di entropia massima e d’equilibrio. Approccio microscopico indispensabile.

Proposte d’approfondimento interdisciplinare e conclusione

Nell’ottica di uno studio storico della scienza, il modello di Ehrenfest potrebbe essere usato come punto di partenza per approfondire la questione del rapporto tra il concetto termodinamico di attrattore e quello delle leggi del moto. Un altro aspetto, molto fecondo, collegato al precedente e non solo di pertinenza della termodinamica, è quello del rapporto tra tempo ed entropia. Nel lavoro di Neri ed Innocenti Sedili s’evidenzia, pure, il problema del rapporto tra probabilità soggettiva e probabilità oggettiva… C. P. Snow, Le due culture, Feltrinelli, 1975. Superare la gratuita separazione tra le due culture, umanistica e scientifica e riunire in un’unica prospettiva discorsi propri delle scienze dure, con discorsi storici e filosofici.