“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa.” Keplero

Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 DE DIVINA PROPORTIONE La geometria nell’antica Grecia era strettamente legata all’architettura e tutte le conoscenze geometriche venivano utilizzate per edificare costruzioni all’avanguardia. Grande importanza veniva data dai Greci all’armonia nelle proporzioni delle figure geometriche e, di conseguenza, tra elementi architettonici. Sembra impossibile esprimere l’armonia con una quantità matematica eppure la proporzione perfetta dal punto di vista estetico esiste ed è quella utilizzata dalla natura per costruire innumerevoli suoi componenti. Piante, conchiglie, persino le falangi degli esseri umani, seguono in qualche modo i rapporti di questa proporzione, che per la sua intrinseca perfezione viene definita sezione aurea……

SEZIONE AUREA II C Andrea Palmieri Agostino Biondo Federico Zei Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 II C Andrea Palmieri Agostino Biondo SEZIONE AUREA Federico Zei Riccardo Casini Edoardo Antonini Daniele Pellegrini Maurizio Mostacci

LA SEZIONE AUREA Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 La sezione Aurea di un segmento è la sua porzione (AB), media proporzionale tra il segmento stesso (AC) e la parte del segmento rimanente (BC) A C B AC : AB = AB : BC Assegnando, dunque, alla porzione di segmento in sezione aurea (AB) il valore “x”, e alla porzione rimanente (BC) il valore 1, traduciamo l’enunciato appena formulato in proporzione algebrica. Chiaramente il segmento intero (AC), sarà dato dalla somma tra x e 1 1 : x = x : (x + 1)

DERIVAZIONE MATEMATICA Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 DERIVAZIONE MATEMATICA Il numero 1,618033.. è il numero che esprime il rapporto aureo e si indica con φ 1 . : x2 x x2 x : . - ( x + - 1 ) = _____ __________ 1 + √ 4 1 + 5 x ≈ 1,618033… = 2 1. Partiamo dalla proporzione appena ottenuta 4. Risolviamo, quindi, l’equazione di secondo grado con la nota formula, prendendo in considerazione il valore ottenuto dall’addizione della radice di 5 e non quello ottenuto dalla sottrazione poiché la “x”, che è la lunghezza di un segmento, può avere solamente valori positivi 2. Data la proprietà delle proporzioni per cui il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi … 3. … riduciamo l’equazione così ottenuta in forma normale 5. Il numero ottenuto è irrazionale, ne ricaviamo un’approssimazione.

COSTRUZIONE GEOMETRICA Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 COSTRUZIONE GEOMETRICA C D A M E B 5. Centriamo in C con apertura di compasso CB e tracciamo un arco che interseca il segmento AC nel punto D 1. Tracciamo il segmento AB. 2. Innalziamo da B la perpendicolare al segmento AB 6. Centriamo in A con apertura di compasso AD e descriviamo un arco che interseca il segmento AB nel punto E 3. Individuiamo il punto medio M e centrando il compasso in B tracciamo l’arco di raggio BM individuando sulla perpendicolare il punto C. 7. Il segmento AE è la sezione aurea di AB 4. Congiungiamo A con C

I NUMERI DI FIBONACCI 0+1 = 1 +1 = 2 +1 = 3 +2 = 5 +3 = 8 +5 = 13 +8 = Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 Leonardo da Pisa, detto anche “Leo” Fibonacci è stato uno dei più grandi matematici italiani. Tra le altre cose, inventò una successione di numeri, ognuno dei quali si ottiene dalla somma dei due precedenti, scegliendo di partire da 0 e 1. La successione dei primi numeri di Fibonacci, quindi, sarà: 0+1 = 1 +1 = 2 +1 = 3 +2 = 5 +3 = 8 +5 = 13 +8 = 21 +13 = 34 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

LA SEZIONE AUREA E FIBONACCI Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 LA SEZIONE AUREA E FIBONACCI Abbiamo appena definito la sequenza dei numeri di Fibonacci. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Proviamo a trovare il rapporto fra ciascun numero ottenuto e quello che lo precede nella sequenza (escludiamo la prima coppia perché non ha senso dividere per 0). 1 13 Riportiamo su un grafico cartesiano i valori decimali dei rapporti così ottenuti in corrispondenza delle coppie utilizzate __ ___ 1,625 1 = = 8 1 21 __ 2 ___ 1,6153.. 2 2 = = 13 1 1,7 __ 3 34 1,5 ___ 1,6190.. 1,6 = = 1,5 2 21 5 55 ___ 1,66.. ___ 1,6176.. = = 3 34 1 8 1/1 2/1 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 ___ 1,6 = 5 Il grafico mostra come i rapporti così ottenuti tendano al numero aureo ottenuto in precedenza (φ≈1,618033…), senza però mai raggiungerlo…

PENTAGRAMMA Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 L I F H D E L I C F H G A B 1 Dato il pentagono regolare ABCDE tracciamo le sue diagonali. Queste si intersecano nei punti FGHIL. La figura così ottenuta prende il nome di pentagramma. 2 Analizzando i rapporti all’ interno del pentagramma, ritroviamo che tutti e cinque i lati del pentagono esterno sono in sezione aurea rispetto alle diagonali. 3 Un esempio può essere il lato ED che possiede una proporzionalità aurea rispetto alla diagonale AD. 4 Inoltre si può notare che pure EI è in proporzionalità aurea rispetto a EC

COSTRUZIONE DELLA SPIRALE DI FIBONACCI Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 COSTRUZIONE DELLA SPIRALE DI FIBONACCI 8 Iniziamo a costruire i quadrati aventi il lato corrispondente ai numeri di Fibonacci 13 2 1 1 5 3 Partendo dai quadrati più piccoli tracciamo archi di circonferenza di raggio pari al lato di ciascun quadrato e con una estremità in comune con l’arco precedente

LA “SPIRALE DI FIBONACCI” Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 La spirale che abbiamo appena ottenuto è presente in natura, nelle esatte proporzioni descritte, in vari elementi, ad esempio nel cavolo o nella conchiglia del Nautilus. Aggiungiamo che la figura ottenuta nella diapositiva precedente risulta essere un rettangolo aureo, concetto che sarà definito successivamente.

LE PIRAMIDI E LA SEZIONE AUREA Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 LE PIRAMIDI E LA SEZIONE AUREA Le grandi piramidi di Giza, costruite rispettivamente da Chéope, Chéfren e Micerino, vennero edificate tra il 2500 e il 2400 a.C. e sono tuttora fonte di meraviglia ed emblema dell’Egitto. Ciascuna faccia delle piramidi può essere scomposta in due triangoli rettangoli. Questi triangoli hanno la peculiarità che la somma tra cateto maggiore e cateto minore è uguale ad un segmento la cui sezione aurea è il cateto maggiore! (triangolo rosso). triangolo giallo, Gli altri triangoli raffigurati ( triangolo verde e triangolo celeste ) completano il quadro della presenza della proporzione aurea secondo le misure riportate a fianco delle immagini.

RETTANGOLO AUREO Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 Il rettangolo aureo non è altro che un rettangolo le cui dimensioni sono l’una in sezione aurea rispetto all’altra. Secondo i Greci era il rettangolo perfetto. Vediamo come costruirlo. D C F A M B E 3. Innalziamo da E la perpendicolare ad AE incrociando il prolungamento di DC nel punto F 1. Costruiamo il quadrato generico ABCD 2. Individuiamo il punto medio del lato AB in M e, puntando in M con apertura MC, tracciamo un arco fino a incrociare il prolungamento di AB nel punto E 4. Il rettangolo AEFD, rispetta le proporzioni della sezione aurea. È infatti verificabile che AB è la sezione aurea di AE

LA SEZIONE AUREA NEL PARTENONE Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 LA SEZIONE AUREA NEL PARTENONE Nel Partenone, luogo sacro dedicato alla dea Athena Parthenos, costruzione dominante dell’Acropoli, si realizza l’ideale greco di misura equilibrata e trova definitiva formulazione il rapporto tra le parti, caratteristico del periodo classico. Il tempio è un periptero (a colonnato continuo) in stile dorico con 8 colonne lungo i lati brevi e 17 lungo i lati lunghi, secondo il principio classico per il quale sul lato lungo il numero delle colonne laterali è il doppio più una di quelle del fronte. L’ architetto Iktinos al fine di conservare la divina proporctione ha applicato la sezione aurea nel Partenone. Infatti il lato minore del rettangolo costruito intorno al tempio è in sezione aurea rispetto al suo lato di base. Questo si può comprendere con maggiore certezza sovrapponendo un rettangolo aureo al Partenone stesso. Per Le Corbusier il vero autore del Partenone è Fidia: solo uno scultore può plasmare una “macchina per creare emozioni”, come egli definisce il tempio, dove l’architettura diventa “Il gioco sapiente, rigoroso e magnifico dei volumi nella luce”

L’UOMO VITRUVIANO E LA SEZIONE AUREA Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 L’UOMO VITRUVIANO E LA SEZIONE AUREA Nel celebre disegno delle proporzioni umane di Leonardo, l’altezza dell’uomo determina il lato del quadrato in cui è inscritta la figura. Le diagonali si incrociano all’altezza dei genitali. I due segmenti che uniscono il punto medio della base con i due vertici in alto incrociano l’asse orizzontale del quadrato in due punti. Se da questi punti si tracciano le perpendicolari al lato superiore del quadrato, si delimita il quadrato piccolo interno. I lati verticali di questo quadrato formano con i segmenti obliqui due triangoli rettangoli. Le sezioni auree di questi lati (in verde) individuano l’altezza delle braccia dell’uomo immobile. Tracciando l’asse verticale del quadrato maggiore si individua un triangolo di cui l’asse stesso è il cateto maggiore. Costruendo la sezione aurea di questo segmento (in rosso) si individua il centro della circonferenza che circoscrive l’uomo in movimento. Il punto di intersezione tra questa circonferenza e il lato superiore del quadrato individua l’altezza delle braccia.

Liceo S. Labriola – Roma, Classe 2°C A.S. 2007/’08 LA SEZIONE AUREA Ci sono, oltre a quelli appena presentati, innumerevoli altri esempi di sezione aurea, in tutti i campi...

LA SEZIONE AUREA FINE www.sectioaurea.com Per ulteriori approfondimenti sulla sezione aurea consultare il sito Pignatti, Gemin, Pedrocco “L’Arte nel Mondo” Ed. Atlas Pinotti, Taddei, Zanon “Tecniche Grafiche” Piero Adorno “L’Arte italiana” Ed. G. D’Anna La Colonna Sonora di “La Sezione Aurea” è di Claude Debussy “La Cathédrale Engloutie” Interpretata dal pianista Arturo Benedetti Michelangeli FINE Progetto di potenziamento per la classe IIC del Liceo Antonio Labriola durante l’anno scolastico 2007/2008 www.sectioaurea.com Si ringraziamo i Docenti, Professoressa Alba di Iorio e Marco Litterio Per lo spunto e per la collaborazione Il materiale utilizzato è stato ricavato da ricerche in rete e dai manuali specifici Emilio Morasso “Percorsi matematici” Ed.Electa/Bruno Mondadori