Sei pronto a “magnarteli”? prodotti notevoli Sei pronto a “magnarteli”?

perchè servono i prodotti notevoli? Una delle domande che sicuramente ti assilla è: perchè servono i prodotti notevoli? Vedi, se noi facciamo sempre la stessa operazione ci stanchiamo e cerchiamo di abbreviare o di trovare delle regolarità che ci permettano di scrivere il risultato senza dover sempre eseguire tutti i calcoli! Si definiscono prodotti notevoli quei prodotti dove puoi scrivere il risultato senza eseguire la moltiplicazione….che bello!!! Scegli il prodotto notevole che vuoi studiare Somma di due monomi per la loro differenza Quadrato del trinomio Quadrato del binomio Cubo del binomio

Hai notato che due termini sommandosi si annullano? Proviamo a scrivere (2a+3b)(2a-3b) = 2a·2a = 4a2 2a·(-3b) = -6ab 3b·2a = 6ab 3b·(-3b) = -9b2 e siccome 6ab-6ab si annullano otterremo = 4a2 - 9b2 Proviamo ora a scrivere(3a+5b)(3a-5b) = 3a·3a = 9a2 3a·(-5b) = -15ab 5b·3a = 15ab 5b·(-5b) = -25b2 e siccome 15ab-15ab si annullano otterremo = 9a2 - 25b2 Proviamo a scrivere (2x+4y)(2x-4y) = 2x·2x = 4x2 2x·(-4y) = -8xy 4y·2x = 8xy 4y·(-4y) = -16y2 e siccome 8xy-8xy si annullano otterremo = 4x2 - 16y2 Non so tu, ma io mi sto stancando: se dovessi fare 50 operazioni come le precedenti mi annoierei a morte, allora e' il caso di vedere se e' possibile trovare qualche scorciatoia. Hai notato che due termini sommandosi si annullano?

Quindi se dobbiamo calcolare(3x+4y)(3x-4y) = facciamo 3x·3x = 9x2 4y·(-4y) = -16y2 e sriveremo (scrivi tu, non Remo) = 9x2 -16y2 ora scriviamo la regola prendendo i monomi più semplici possibili: (a+b)(a-b) = a2 -b2 ma...certo! La somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio

calcoliamo (2a+3b)2= (2a+3b)·(2a+3b)= 2a·2a = 4a2 2a·3b=6ab 3b·2a=6ab 3b·3b=9b2 quindi 4a2+6ab+6ab+9b2 osserviamo che i due monomi interni sono uguali e (contrariamente a prima) con lo stesso segno quindi li dobbiamo sommare ottenendo: 4a2+12ab+9b2 ora se ti dico di calcolare (4a+3b)2 sapresti scrivere subito il risultato? Certo…basta calcolare: Il quadrato del primo monomio (4a)2=16a2 il doppio prodotto del primo per il secondo monomio 2·(4a)·(3b)=24ab Il quadrato del secondo monomio (+3b)2= 9b2 …facile! Proviamo ora a scrivere (2x+4y)2=(2x+4y)(2x+4y) 2x·2x = 4x2 2x·4y=8xy 4y·2x=8xy 4y·4y=16y2 quindi 4x2+ 8xy+8xy +16y2 e siccome 8xy+8xy sono uguali otteniamo 4x2+16xy+16y2

ora scriviamo la regola prendendo i monomi più semplici possibili: (a+b)2 = a2 +2ab +b2 ma...certo! Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo monomio più il quadrato del secondo monomio E se ora ti chiedo di trovare (a-b)2= Basterà ricordare le regole dei segni quindi: a·a = a2 a·(-b)·2=-2ab (-b)·(-b)=+b2 quindi a2-2ab+b2 da notare che il segno meno resta solo nel doppio prodotto mentre i quadrati sono sempre positivi.

(a+b+c)2= (a+b+c)·(a+b+c)= dobbiamo moltiplicare ogni termine del primo monomio per ogni termine del secondo a·a=a2 a·b =ab a·c =ac b·a =ab b·b =b2 b·c =bc c·a =ac c·b =bc c·c =c2 =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2= Ora raccolgo i termini simili e li sommo ab+ab=2ab ac+ac=2ac bc+bc=2bc raccogliendo il tutto =a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc ...da urlo!!!

ma...certo! a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc? Il quadrato di un trinomio e' uguale al quadrato del primo monomio più il quadrato del secondo monomio più il quadrato del terzo più il doppio del prodotto del primo monomio per il secondo, più il doppio del prodotto del primo monomio per il terzo, più il doppio del prodotto del secondo monomio per il terzo. Allora proviamo a calcolare (2a2b-3ab2+6)2= il quadrato del primo monomio: (2a2b)2 =(2a2b)·(2a2b)= 4a4b2 il quadrato del secondo: (-3ab2)2= (-3ab2)·(-3ab2)=+9a2b4 il quadrato del terzo 62=6·6=36 due per il primo per il secondo 2·2a2b·(-3ab2) = -12a3b3 due per il primo per il terzo 2·2a2b·6=24a2b due per il secondo per il terzo 2·(-3ab2)·6=-36ab2 Mettiamo ora assieme i risultati: 4a4b2 +9a2b4+36 -12a3b3 + 24a2b -36ab2 Abbastanza semplice vero?

Passiamo subito alla regola: infatti basta che consideriamo il binomio più semplice possibile e poi leggiamo il risultato. (a+b)3= (a+b)·(a+b)·(a+b)= ora, sappiamo che (a+b)·(a+b)=a2+2ab+b2 (quadrato di un binomio) …quindi calcoliamo =(a2+2ab+b2)·(a+b)= =a3 +a2 b+2a2 b+2ab2 +ab2 +b3= =a3 +3a2 b+3ab2 +b3 Quindi leggendo il primo e l'ultimo passaggio abbiamo la regola: (a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3 (se vuoi vedere i passaggi fai click qui) ma...certo! Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio più il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo monomio, più il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo monomio, più il cubo del secondo monomio

...a questo punto dovresti sentirti così! supponiamo di dover eseguire (2x+3y)3 facciamolo assieme: il cubo del primo monomio: (2x)3 il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo: 3·(2x)2 ·(3y) il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo: 3·(2x)·(3y)2 il cubo del secondo: (3y)3 quindi raccogliendo: (2x+3y)3= (2x)3 +3·(2x)2 ·(3y)+3·(2x)·(3y)2 +(3y)3= =8x3 +36x2y +54xy2 +27y3 ...a questo punto dovresti sentirti così!

...allora armati di pazienza (a+b)3=(a+b)·(a+b)·(a+b)= moltiplichiamo fra loro i primi due a·a=a2 a·b=ab b·a=ab b·b=b2 e poiché ab+ab=2ab otteniamo: (a2+2ab+b2)·(a+b)= Eseguo la moltiplicazione a2·a=a3 a2·b=a2b 2ab·a=2a2b 2ab·b=2ab2 b2·a=ab2 b2·b=b3 =a3+a2b+2a2b +2ab2+ab2+b3= ora sommiamo i termini simili a2b+2a2b=3a2b 2ab2+ab2=3ab2 quindi = a3+3a2b+3ab2+b3 ne sei proprio certo? ...allora armati di pazienza