L’Operatore Aerodinamico Instazionario per Flussi Incomprimibili Franco Mastroddi http://www.diaa.uniroma1.it/docenti/f.mastroddi dal corso di Aeroelasticità Anno Accademico 2009-2010

SOMMARIO Specificità della formulazione nel caso di flussi portanti Richiami di termodinamica dei fluidi (fluidi non viscosi) Formulazione differenziale (PDE) per flussi (quasi-)potenziali incomprimibili (portanti), instazionari Formulazione integrale per flussi quasi-potenziali incomprimibili Discretizzazione (spaziale) “solo sulla frontiera”: metodo dei pannelli Results: A selection of the results documented in the thesis. ENFASI SU: Specificità della formulazione nel caso di flussi portanti Generalità dell’approccio

Il problema aeroelastico lineare dalla meccanica del continuo Struttura Aerodinamica Modello (Laplace Domain) incomprimibile Obiettivo dell’Aerodinamica  identificazione di

Richiami di meccanica del continuo Principio della Termodinamica per fluidi V postulato (termodinamca): esistono le varabili di stato temperatura ed entropia tali che per ogni volume materiale del continuo (Blasius) (1) segno “=“ per trasformazioni reversibili FLUIDO: continuo il cui stato è determinato da due grandezze scalari: “volume specifico” (ovvero “densità”) ed. “entropia” L’equazione di stato che fornisce l’energia interna per un solido è Pertanto, se si definiscono e  Poiché dalla (1) si può ricavare e , l’equazione dell’energia diventa Contributo alla crescita di entropia dovuto al lavoro fatto dalla “porzione irreversibile” del tensore degli sforzi:il tensore degli sforzi viscoso V (2)

Modello di flusso potenziale Incomprimibile – IPOTESI FISICHE 1. Il fluido è non viscoso se il lavoro fatto dalla velocità deformazione è reversibile, v. Eq. (2),, (3) Il fluido sia incomprimibile, cioè, essendo per l’equazione di continuità , allora implica 2. 3. In assenza di flussi e sorgenti di calore la (2), se il flusso è inizialmente isentropico, da inoltre in ogni istante : l’entropia non più variabile di stato 4. Sia il flusso attaccato al corpo solido 5. Sia il flusso inizialmente irrotazionale cioè la vorticità quando t=0

Modello di flusso potenziale Incomprimibile - modello PDE Continuità: Conservazione quantità di moto (Eulero)  4 equazioni nelle incognite: 3 componeni di e una di Condizioni al contorno sul corpo (impermeabilità)  interfaccia fluido-struttura Riduzione del problema ad Una sola grandezza scalare Incognita  FLUSSO POTENZIALE Condizioni al contorno all’

Modello di flusso potenziale Incomprimibile – esiste un “potenziale” Se il flusso è inizialmente irrotazionale , allora lo è sempre - Se infatti si definisce la circolazione come poiché vale il teorema di Stokes (v. Figura) allora in per qualsiasi contorno materiale C ( ) - Vale il teorema di Kelvin per cui per - Riapplicando di nuovo il teorema di Stokes per e vista l’arbitrarietà della sperficie S e del suo contorno materiale C si ha la tesi … MA ….

Modello di flusso potenziale Incomprimibile – esiste un “potenziale” .. .nulla può dirsi per quei punti materiali fluidi che abbandonano il corpo nel suo bordo di uscita: questi punti costituiscono un insieme di punti che chiamiamo scia o wake Per tutti gli altri punti materiali di fluido vale invece e si può definire univocamente una funzione potenziale di velocità tale che (1) e quindi Infatti in un qualsiasi percorso materiale chiuso ed in ogni istante vale che dimostra che l’integrale da A a B è indipendente dal percorso e pertanto,, fissato ad esempio , esiste una univoca funzione del punto x data dalla (1)

Modello di flusso potenziale Incomprimibile formulazione differenziale potenziale Nel campo fluido: vale l’equazione di continuità che diventa Sulla frontiera del corpo (impermeabilità) Sulla frontiera all’infinito E sulla frontiera di scia ?????

Modello di flusso potenziale Incomprimibile discontinuità sulla scia Se si indica con le velocità della superficie di discontinuità di scia n con la componente normale ad essa del fluido e con l’operatore di “salto” ( ) delle grandezza dalla parte 2 alla parte 1 della scia,, si ha per la conservazione della massa attraverso la discontinuità che per un flusso incomprimibile porge Applicando similmente la conservazione della quantità di moto attraverso la scia Combinando le precedenti si ha che proiettata in direzione n da Sulla discontinuità-fontiera di scia NON CI SONO salti di pressione e di componente normale della velocità del fluido…………ma in termini di potenziale di velocità……

Modello di flusso potenziale Incomprimibile discontinuità sulla scia -  Sulla frontiera scia deve essere -  Dall’equazione di cons. della quantità di moto deriva il Th. di Bernoulli Infatti poiché è , allora (Th. Di Bernoulli) che attraverso la discontinuità si scrive e cioè con Che si interpreta dicendo che il salto di potenziale attraverso la scia è costante purchè ci si muova con velocità

Modello di flusso potenziale Incomprimibile formulazione differenziale potenziale COMPLETA Nel campo fluido: vale l’equazione di continuità che diventa Sulla frontiera del corpo (impermeabilità) Sulla frontiera all’infinito Sulla frontiera di scia  NB: unica B.C. con derivata temporale e

Modello di flusso potenziale Incomprimibile Formulazione integrale di contorno per il potenziale - Consideriamo la soluzione del problema potenziale della sorgente di massa di portata unitaria concentrata nel punto un fluido infinito ( nessuna B.C.) (1) La soluzione è analitica ed è il potenziale della “sorgente aerodinamica” con - Considerando allora un problema potenziale generico non punti interni del campo governati da (2) - Operando un prodotto incrociato tra (1) e (2) ed integrando sull’intero dominio fluido si ha (3) si trasforma con la II identità di Green 

Modello di flusso potenziale Incomprimibile Formulazione integrale di contorno per il potenziale II identità di Green: date due generiche funzioni e si ha sviluppano la divergenza Quindi sottraendo si ha l’identità che applicata alla precedente (3) con il teorema di Gauss (normale “interna” al campo) per nel campo fluido In cui è stata introdotta la funzione di dominio per nel corpo per nella superficie corpo per cui si ha in definitiva che è l’espressione integrale di contorno per il potenziale di velocità

Modello di flusso potenziale Incomprimibile Formulazione integrale di contorno per il potenziale In base alle condiioni al contorno sul corpo, all’infinito e sulla scia tale espressione diviene che è sia una rappresentazione integrale (per nel fluido) della soluzione qualora si conosca la soluzione nella frontiera, sia una condizione di compatibilità (per sul corpo) poiché in tal caso (E=1/2): è costituita da tutte funzioni incognite “potenziale di velocità”, una “collocata” nel punto , le altre integrate sul corpo. G e sono note analiticamente, è nota dalle condizioni al contorno di impermeabilità La discretizzazione spaziale della precedente rappresentazione rappresenta la base numerica risolutiva per l’aerodinamica potenziale instazionaria: il metodo dei pannelli

Modello di flusso potenziale Incomprimibile Discretizzazione: il metodo dei pannelli Dividendo la superficie del corpo in M pannelli (blu) e quella della scia in N pannelli (rossi) e “collocando” il punto negli M pannelli si ottiene per la k-ima equazione collocata in cui l’input (normalwash) è dato da ed i coefficienti puramente geometrici ricavati dalla suddivisione dell’integrale in pannelli, sono  NB: non dipendono dal tempo se il corpo si muove con piccole oscillazioni attorno ad una configurazione di riferimento

Modello di flusso potenziale Incomprimibile Discretizzazione: il metodo dei pannelli L’unica condizione al contorno del problema differenziale NON ANCORA UTILIZZATA è (1) Nel caso di geometria della scia fissata e piana e considerando trascurabile la velocità di perturbazione della particella di scia rispetto alla velocità della corrente, la (1) diviene con Quindi la precedente discretizzazione diviene Se quindi si esprime il salto di potenziale al bordo di uscita come differenza del valore del Potenziale del pannello superiore ed inferiore tramite una matrice di opportuni (1,-1,0) si ha

Modello di flusso potenziale Incomprimibile Discretizzazione: il metodo dei pannelli Trasformando nel dominio di Laplace la precedente (cond. Iniziali nulle) si ha con È quindi definibile un operatore lineare in termini di matrice di trasferimento multi-input multi-output che trasforma le M condizioni al contorno di impermeabilità negli M potenziali di velocità, cioè NB: se definisco allora matrice M X M essendo Osservazione: la parte di operatore aerodinamico che trasforma le condizioni al contorno di impermeabilità in potenziale di velocità è trascendente nel dominio di Laplace, integrale nel dominio del tempo. Esso costituisce una parte dell’operatore aerodinamico..

Modello (Laplace Domain) Modello di flusso potenziale Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate Modello (Laplace Domain) Struttura Aerodinamica Tale operatore può essere decomposto in quattro operatori lineari discreti uno dei quali è proprio la matrice matrice N X N matrice N X M matrice M X M matrice M X M matrice M X N

Modello di flusso potenziale Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate - Matrice  dalle variabili modali alle B.C. aerodinamiche Al fluido sulla parete va imposta la componente normale della struttura pari a in cui la velocità del corpo e data da Le normali deformate ed indeformate sono data da in cui Ma poiché allora e quindi in cui

Modello di flusso potenziale Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate Eliminando i termini di ordine superiore nelle e considerando l’adimensionaliz. si ha il cui termine stazionario è ininfluente (in campo lineare) per lo studio della stabilità: prendendo allora la trasformata di Laplace sulla parte instazionaria si ha in cui si è usata nuovamente la La ricercata matrice delle BC sarà allora l’operatore discreto tale che  e quindi finalmente dalla precedente Osservazione: la parte di operatore aerodinamico che trasforma le variabili lagrangiane in componenti normali della velcità della superficie del solido è polinomiale al primo ordine nel dominio di Laplace,

Modello di flusso potenziale Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate - Matrice  dal potenziale di velocità ai coefficienti di pressioni (Bernoilli) Il teorema di Bernoulli (integrale cons. q. di moto) per flussi potenziali nel sistema di riferimento solidale con il corpo che trasla di porge Il coefficiente di pressione (linearizzato) è dato allora da Passando allora al dominio di Laplace e a quantità adimensionali La ricercata matrice di Bernoulli sarà allora l’operatore discreto tale che  e quindi finalmente dalla precedente Osservazione: la parte di operatore aerodinamico che trasforma il potenziale in coefficienti di pressione è polinomiale al primo ordine nel dominio di Laplace,

Modello di flusso potenziale Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate - Matrice  dai coefficienti di pressione alle forze generalizzate La forza per unità di superficie sul solido dovuta da un non viscoso è flusso La n-ima forza generalizzata è (considerando la definizione di coeff. di pressione) Eliminando il contributo stazionario del primo integrale si ha allora La matrice di proiezione delle forze sarà l’operatore discreto tale che  e quindi finalmente dalla precedente Osservazione: la parte di operatore aerodinamico che trasforma i carichi aerodinamici in forze generalizate è costante rispetto la variabile di Laplace

Modello di flusso potenziale Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate OSSERVAZIONI 1. L’operatore aerodinamico per un flusso potenziale linearizzato ha una dipendenza dalla variabile di Laplace s (oppure p): - di tipo polinomiale al più di secondo grado  possono esistere per l’aerodinamica comportamenti vibratori tipo masse/smorzamenti/rigidezza aggiunte alle strutturali, cioè esistono a livello modellistico matrici di massa, rigidezza smorzamento aerodinamici - .ma non solo la dipendenza è pure di tipo trascendente nella variabile di Laplace e ciò risiede fisicamente al meccanismo di trasporto convettivo operato dalla scia. 2. La procedura illustrata su geometrie semplici da luogo a soluzioni analitiche come nel caso del profilo (2-D) sottile piano  Theodorsen (1935) fornisce per portanza e momento: con (funzioni di Bessel)

Modello di flusso potenziale Incomprimibile la matrice Aerodinamica delle Forze Generalizzate OSSERVAZIONI (segue) 3. Se l’operatore aerodinamico, noto computazionalmente per punti nel dominio di Laplace, fosse in esso approssimabile con strutture funzionali polinomiali (in analogia con curve fitting usato dinamica strutturale sperimentale)  allora è come se si approssimasse l’operatore con un operatore puramente differenziale riconducibile alla forma di stato  La stabilità si potrebbe studiare con un problema standard di autovalori  Si avrebbero modelli aerodinamici di ordine ridotto, ROM, Reduced Order Model  Sul sistema aeroelastico globale si può operare la teoria del controllo (AEROSERVOELASTICITA’)