Il rumore termico Il rumore termico Il rumore termico è il nome dato a tutte quelle fluttuazioni presenti su un osservabile fisico di un sistema macroscopico che si trovi all’equilibrio termico con l’ambiente circostante. Esso è presente in tutti gli apparati sperimentali e fa parte dei limiti intrinseci alla sensibilità. Antenna Risonante Explorer (termico dei modi normali) Antenna Interferometrica Virgo 1

Il rumore termico Introduzione storica: Le prime osservazioni di Robert Brown; Interpretazione Einsteiniana del rumore browniano; L’equazione di Langevin Il teorema di Fluttuazione-Dissipazione Il rumore termico di un’oscillatore armonico Il rumore termico del pendolo I meccanismi principali di dissipazione e loro modellizzazione: effetto termoelastico, bulk superficiali etc… Il rumore termico negli interferometri e nelle antenne risonanti 2

La storia Il botanico Robert Brown riferiva di avere osservato il moto caotico di varie specie di particelle abbastanza piccole da restare in sospensione nell'acqua. Egli escluse presto che fosse un fenomeno biologico, e successivamente esperimenti eseguiti in diversi laboratori chiarirono che i moti browniani aumentano se: diminuiscono le dimensioni (a) e la densità (  ) delle particelle in sospensione diminuisce la viscosità (  ) aumenta la temperatura (T) del liquido ospite. Oggi diciamo che Brown aveva osservato l'azione delle molecole d'acqua che urtano gli oggetti in sospensione per effetto dell'agitazione termica. 3

Legge di Stokes F = (6  a) v le leggi di van’t Hoff sulle soluzioni (come per i gas ideali): P =  RT/m Fino ai primi anni del ‘900 si conosceva…. a raggio della particella immersa in una soluzione;  viscosità del solvente ; v velocità della particella F Forza di Stokes m massa molecolare delle particelle;  densità delle particelle in soluzione ; P pressione osmotica R costante dei gas 4

L’interpretazione di Einstein (1906) (sul moto browniano delle particelle in sospensione (colloidi)) N numero di Avogadro (  /m) = (n/V) moli per unità di volume (  N/m) numero di particelle per unità di volume Supponiamo che sulle particelle agisca una forza stazionaria F La forza per unità di volume è data da: F (  N/m) = dP/dx Supponiamo che siano valide le leggi di van’t Hoff P = (n/V) RT = (  /m) RT dP/dx = (RT /m) d  /dx F (  N/m) = (RT /m) d  /dx Equilibrio termico Gas Ideali Soluzioni Colloidi PV=NkT van’t Hoff Einstein 5

Supponiamo che sulle particelle agisca la forza di Stokes: Forza di Stokes: F =6   a v =  v Abbiamo allora un flusso di particelle: v (  N/m)= (F/  ) (  N/m) numero di particelle per unità di area e per unità di tempo Il flusso di particelle gradiente di concentrazione diffusione (F/  ) (  N/m) = D d  /dx Equilibrio dinamico def: D coefficiente di diffusione equilibrio termico = equilibrio dinamico D = R T/ (  N) fluttuazione dissipazione 6

Interpretazione probabilistica dell’equazione di diffusione Calcolo dello spostamento quadratico medio Densità delle particelle nel punto x (c.i. t=0, x=0) Media d’insieme 7

Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico all'equilibrio termico con l'ambiente. In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa tra tutti i suoi gradi di libertà o,equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali di vibrazione, ciascuno con energia media k b T. Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli, all'equilibrio termico è sempre affetto dal rumore termico. fluttuazioni casuali dell'osservabile macroscopico Esso si manifesta con le fluttuazioni casuali dell'osservabile macroscopico che caratterizza il sistema, e ne limita quindi la sensibilità. 8

L’equazione di Langevin (sistema macroscopico all’equilibrio termico, approccio statistico) Equazione del moto con termine di forza stocastica (rumore bianco) All’equilibrio dinamico (equipartizione dell’energia): Forza stocastica dovuta alle fluttuazioni termiche Legame tra le forze che dissipano l’energia del sistema (  v) e la forza (stocastica) che eccita il sistema fuori dall’equilibrio. (equilibrio col bagno termico) 9

rumore termico processi dissipativi L’intensità del rumore termico di un sistema macroscopico è strettamente legata ai processi dissipativi presenti in esso. 10

Il teorema fluttuazione-dissipazione Nel dominio delle frequenze (*) possiamo sempre scrivere la risposta di un sistema lineare ad una forza esterna F(  ) come: teorema fluttuazione-dissipazione Il teorema fluttuazione-dissipazione può essere scritto come segue: Dove H(  ) è la funzione di trasferimento e Z(  ) l’impedenza del sistema L’energia delle fluttuazioni è distribuita al variare della frequenza 11

Il moto termico dell’oscillatore armonico Frequenza di risonanza Fattore di merito Applichiamo il teorema Fluttuazione-Dissipazione 12

13 Kramers-Kronig

L’effetto delle dissipazioni sul rumore termico dell’oscillatore armonico  »   Cost     14

I meccanismi dissipativi strutturali (dissipazioni interne del materiale) termine di memoria Il termine dissipativo  angolo di perdita  tiene conto di tutti i tipi di dissipazioni interne del materiale: nello spazio delle frequenze 15

 =   Dissipazioni strutturali:  =       Dissipazione viscosa Dissipazione interna Presenti in tutti i materiali 16

Misura delle dissipazioni La misura delle dissipazioni avviene misurando il fattore di merito del sistema: alti valori di Q Realizzare sistemi con alti valori di Q, permette di concentrare gran parte dell’energia fluttuazioni intorno alla risonanza delle fluttuazioni intorno alla risonanza 17

Il rumore termico del pendolo Nel caso del pendolo le forze dissipative interne sono dovute soltanto alla piegatura dei fili. Momento di richiamo dei fili L m x=L  Y Modulo di Young r f raggio del filo  tensione del filo Frequenza del pendolo (misurata) 18

Il rumore termico del pendolo voglio esprimere questa espressione con grandezze misurate: Fattore di diluizione (  =Mg/4): a parità di angolo di perdita il pendolo presenta delle perdite più basse rispetto a quello dato dalla sola elasticità del materiale 19

Dissipazioni termoelastiche  te (  ) sono quelle perdite legate alla dissipazione di calore per effetto del riscaldamento locale del sistema durante le oscillazioni. Y modulo di Young del materiale  coefficiente di dilatazione termica  il tempo caratteristico della diffusione del calore nel materiale e dipendente dalla sua geometria C è la capacità termica del materiale. Punto di massima dissipazione E’ importante scegliere un materiale con questo punto fuori della banda rivelazione 20

Dissipazioni superficiali Sono le dissipazioni dovute alle frizioni tra superfici di contatto W surf è la parte di energia elastica immagazinata sulla superficie W tot è l’energia elastica totale Nel caso delle sospensioni di Virgo:  w fattore geometrico h sb spessore della zona di frizione S w =2  r w L w superficie laterale del filo V w =  r w 2 L w volume del filo 21 Dissipativa Non Dissipativa

Rumore termico degli specchi 22 Equipartizione dell’energia: Il rumore termico si distribuisce tra tutti i modi meccanici degli specchi; Sono importanti tutti quei modi che si accoppiano con il modo ottico dell’interferometro; Massa equivalente del modo i Le dissipazioni dei coating sono molto importanti

Modi degli specchi Simulation Measured Modes splitting NI: ( ± 0.5) Hz (NI/WI) Hz Hz WI: ( ± 0.5) Hz Modes splitting NE: ( ± 0.5) Hz (NE/WE) Hz Hz WE: ( ± 0.5) Hz The mode splitting is mainly due to the mirror lateral cuts and the lateral magnets and spacers. 23

Simulation Measured NI/WI: Hz NI: ( ± 0.5) Hz WI: ( ± 0.5) Hz NE/WE: HzNE: ( ± 0.5) Hz WE: ( ± 0.5) Hz 24

Simulation North/West Input Hz Hz North/West End 7551 Hz-7558 Hz These modes were not observed. 25

North Input: ( ± 0.2) Hz ( ± 0.2) Hz North End: ( ± 0.2) Hz ( ± 0.2) Hz 26

North Input: t 3917 = (70.6 ± 0.4) s t 5584 = (37.8 ± 0.7) s North End: t 3883 = (110 ± 3) s t 5543 = (16.2 ± 0.1) s North Input: Q 3917 = (8.69 ± 0.05) 10 5 Q 5584 = (6.6 ± 0.1) 10 5 North End: Q 3883 = (1.34 ± 0.09) 10 6 Q 5543 = (2.82 ± 0.02)

Il rumore termico nella curva di sensibilità dell’interferometro Virgo 28

Come abbassare il rumore termico in un’antenna interferometrica Abbassare le dissipazioni (Virgo Advanced) Pendoli sospensioni monolitiche (silice fusa) termoelastico ridotto dissipazioni superficiali ridotte Specchicoating meno dissipativi substrati meno dissipativi 29 Abbassare la temperatura (Virgo criogenico) Criogenia

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Rumore nelle antenne risonanti 31   Modi normali