Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 10

NON STAZIONARIETÀ Finora abbiamo considerato strutture adeguate a rappresentare p.s. stazionari. Tuttavia, nell’analisi economica è usuale incontrare serie per le quali è ragionevole ipotizzare un processo non stazionario. I casi più semplici sono: non stazionarietà in media  generalizzazione ARMA in ARIMA (solo per certi casi di non stazionarietà) non stazionarietà in varianza  interventi ad hoc

NON STAZIONARIETÀ IN LIVELLO Ricorda: se il p.s. Yt è dato dalla somma di un trend lineare e di un WN: Yt = a + bt + at le differenze prime lo riconducono alla stazionarietà in livello: Yt = b + at – at-1 Alcuni tipi di non stazionarietà possono dunque essere eliminati mediante differenziazione. In particolare: si dice che un processo è non stazionario omogeneo di grado d se diventa stazionario a seguito di d differenziazioni successive. Il modello ARMA può essere applicato

NON STAZIONARIETÀ IN VARIANZA Ricorda: alcuni tipi di non stazionarietà in varianza si possono risolvere con la trasformazione logaritmica. In particolare, la trasformazione logaritmica è adatta quando la varianza è proporzionale ai quadrati dei livelli del processo: Var(Yt)= c2 t2 Quando, invece, la varianza è proporzionale ai livelli Var(Yt)= c t la trasformazione adatta a stabilizzare la varianza è la radice quadrata. Una trasformazione più generale è quella di Box-Cox, di cui le due trasformazioni precedenti sono casi particolari.

MODELLI ARIMA(p,d,q) Hp) Zt non stazionario omogeneo, ma (1 - B)d Zt = Wt è stazionario  Wt può essere modellato con un ARMA : Wt  ARMA(p,q) (B) Wt = (B) at  (B) (1 - B)d Zt = (B) at Zt  ARIMA(p,d,q) ARIMA significa Autoregressive integrated Moving Average. (1 - B)d (B) è l’operatore AR generalizzato di ordine p+d Il corrispondente polinomio ha d radici identicamente pari a 1.

Casi particolari: ARMA(0,q)  MA(q) ARMA(p,0)  AR(p) ARMA(0,0)  WN ARIMA(0,0,q)  MA(q) ARIMA(p,0,0)  AR(p) ARIMA(p,0,q)  ARMA(p,q)

RANDOM WALK Il più semplice modello ARIMA è l’ARIMA (0,1,0), detto passeggiata casuale (random walk): Zt  RW  Zt  (1-B) Zt = at  Zt = Zt-1 + at Si può dimostrare che, se Z0 =, essendo 𝑍 𝑡 =𝜇+ 𝑖=1 𝑡 𝑎 𝑖 si ha: E(Zt)=  Var (Zt) = t a2  il p.s. non è stazionario: infatti il RW è come un AR(1) con 1=1, che quindi non rispetta le condizioni di stazionarietà La f.a.c presenta valori alti che decrescono linearmente. La f.a.c.p. ha valore 1 per k=1 e valore 0 per k>1. In un RW il valore iniziale  e gli shock at vengono per sempre “inglobati” nel processo. Il RW è facilmente riconoscibile: una volta differenziato coincide con il WN.

Tipica realizzazione di un RW e delle differenze prime di questo

RW CON DRIFT : Zt =  + Zt-1 + at se Z0 =, in questo caso 𝑍 𝑡 =𝜇+𝑡𝛿+ 𝑖=1 𝑡 𝑎 𝑖 cioè il processo mostra un trend deterministico 𝜇+𝑡𝛿. 𝜇+𝑡𝛿 è il trend deterministico (= conoscendo 𝜇 e 𝛿 è perfettamente prevedibile ) 𝑖=1 𝑡 𝑎 𝑖 è il trend stocastico (= mai perfettamente prevedibile)

MODELLI STAGIONALI ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s Per poter modellare la stagionalità gli ordini dei modelli visti devono diventare molto elevati (es. per stagionalità mensile si dovrebbe avere p o q=12). Ma: molte serie storiche economiche presentano stagionalità. Pe questo Box e Jenkins hanno generalizzato i modelli ARMA in modo da trattare anche un comportamento di tipo periodico, che può essere stazionario o non stazionario  modelli ARIMA stagionali  SARIMA ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s PRINCIPIO DI BASE: il modello deve descrivere due tipi di relazioni: la correlazione tra valori consecutivi (che si può modellare con gli ARIMA) la correlazione tra osservazioni che distano tra loro di s (periodo della stagionalità) e multipli di s.

La situazione di riferimento   mese Anno 1 2 … 10 11 12 2008 Z08,1 Z08,2 Z08,10 Z08,11 Z08,12 2009 Z09,1 Z09,2 Z09,10 Z09,11 Z09,12 2010 Z10,1 Z10,2 Z10,10 Z10,11 Z10,12 Mod stag Mod di breve periodo

Modello stagionale ‘puro’ (Bs) Zt = (Bs) at dove: (Bs)= 1 - 1Bs - 2 B2s - … - PBPs (Bs)= 1 - 1Bs - 2 B2s - … - Q BQs Es. AR(1)s stagionale puro Zt=  Zt-s + at Si comporta in modo analogo ad un AR(1) qualora si faccia riferimento ai soli ritardi stagionali s, 2s, 3s, …

MODELLO ARMA STAGIONALE ARMA(p,q)(P,Q)s (B)(Bs) Zt = (B)(Bs) at Struttura parametrica in cui convivono il modello che gestisce la dinamica di breve periodo e il modello che gestisce le dinamiche stagionali (per la derivazione del modello si veda il file 10 L Appunti.pdf) (B) è l’operatore autoregressivo non stagionale di ordine p (Bs) è l’operatore autoregressivo stagionale di ordine P (B) è l’operatore a media mobile non stagionale di ordine q (Bs) è l’operatore a media mobile stagionale di ordine Q