Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 5 1

TRASFORMAZIONE LOGARITMICA

Logaritmo in base 10 Se si moltiplicano i valori per 10 …i log aumentano di una unità 1) Il logaritmo può aiutare a raggiungere la simmetria

Con il logaritmo i valori elevati si avvicinano, mentre i valori bassi si allontanano. N.B.: log(10)-log(1) = log(100) – log(10)

Tale proprietà risulta utile per ricondurre a simmetria particolari distribuzioni asimmetriche Nel caso di asimmetria positiva il logaritmo comprime la coda alta della distribuzione, mentre ne distende la parte iniziale. Viene così ridotta la coda destra dellistogramma e si ottiene una maggiore simmetria. Le linee tra i due istogrammi connettono i valori originari con i loro logaritmi.

2) Il log può – in certi casi - aiutare a raggiungere la stazionarietà in varianza La differenza nei log corrisponde ai log del rapporto: log (A) – log (B) = log (A/B) Es. 110 – 100 =10 110/100= – 200 = /200=1.1 (variazioni assolute diverse, ma stessa variazione %) Con i logaritmi, la variazione assoluta diviene costante log (110) – log (100) = log (110/100) = log (1.1) log (220) – log (200) = log (220/200) = log (1.1)

Due serie con variazioni % uguali:

I log evidenziano che, sebbene il livello sia diverso, le variazioni % sono uguali

Due serie con variazioni assolute uguali:

I log evidenziano che, a variazioni assolute uguali, corrispondono variazioni % diverse

Grazie a questa proprietà le trasformazioni logaritmiche tendono a stabilizzare la varianza di alcune serie storiche eteroschedastiche

3) Il log rende additive relazioni moltiplicative Il log del prodotto è la somma dei log: log (AB) = log (A) + log (B) I logaritmi possono essere utili per rendere additive relazioni moltiplicative e per rendere lineari relazioni esponenziali

MODELLI DI ANALISI DELLE SERIE STORICHE

STATISTICA CLASSICA Spesso si analizzano campioni casuali di osservazioni indipendenti in cui ogni dato dà informazioni sulla v.c. che lo ha generato ma non dà informazioni sulle altre. ANALISI DI SERIE STORICHE Quanto è avvenuto determina (in un senso non deterministico) ciò che avverrà in futuro secondo un principio di stabilità delle leggi che generano la serie.

Per poter studiare le serie storiche in maniera rigorosa è necessario estendere il concetto di variabile casuale e introdurre il concetto di processo stocastico per tenere conto dellordinamento delle osservazioni.

Funzione misurabile a valori reali definita sullo spazio campionario Per ogni evento casuale la v.c. X( ) assume un valore reale x Ogni volta che si effettua l'esperimento, si verifica un esito ω appartenente a e una data variabile casuale X assume il valore X(ω). X(ω) ω ϵ Ω Intuitivamente, si può immaginare una variabile casuale X come una misura di interesse nel contesto dell'esperimento casuale. Una variabile casuale X è casuale nel senso che il suo valore dipende dall'esito dell'esperimento, il quale non può essere previsto con certezza prima di effettuare l'esperimento stesso. In generale la notazione omette il riferimento allo spazio campionario. VARIABILE CASUALE

17 PROCESSO STOCASTICO T (in questo caso il tempo) permette di tenere conto dellordinamento

Semplificando il p.s. può essere definito come una successione di v.c. ordinate nel tempo e con arbitrarie relazioni di dipendenza interne: p.s. : collezione di v.c. Y t (ω) indicizzate da un parametro {Y t, tϵT} Serie storica: realizzazione finita del p.s. {Y t } Ogni dato y t di una serie storica è il risultato dellesperimento casuale sulla corrispondente v.c. Y t : y 1 è generata da Y 1, y 2 è generata da Y 2, ecc.. Esperimenti diversi generano traiettorie diverse. Le v.c. non sono necessariamente uguali. PROCESSO STOCASTICO

19 Tre realizzazioni (=serie storiche) di un processo stocastico: le tre serie, pur generate dallo stesso processo, differiscono per levento elementare su cui opera il meccanismo casuale. Y(ω 1,t) Y(ω 2,t) Y(ω 3,t) Y(ω 1,5) Y(ω 3,3) Y(ω 2,9) Y(ω 2,5)

STATISTICA CLASSICA campione di N osservazioni su una v.c. Y N informazioni distinte su ununica v.c. ANALISI DI SERIE STORICHE N informazioni distinte su N v.c. distinte Impossibile impostare qualunque procedura inferenziale

PROBLEMA data la serie temporale (osservata) è possibile descrivere (stimare) il processo che l'ha generata?

Un p.s. è caratterizzato dalle relazioni tra le v.c. componenti. A rigore, per conoscere un p.s. è necessario conoscere tutte le distribuzioni di probabilità congiunta di (Y t 1,Y t 2,…, Y t n ) per ogni insieme (t 1, t 2, …, t n ) ossia la famiglia di funzioni di ripartizione finite.

Famiglia di funzioni di ripartizione finite

Momenti di un p.s.

Se ci si accontenta di caratterizzare il processo tramite i suoi momenti, si riesce a fare inferenza sul processo? No, bisogna imporre alcune condizioni di regolarità: – stazionarietà (forte e debole) – invertibilità – ergodicità – gaussianità

Stazionarietà forte o in senso stretto La condizione di stazionarietà in senso stretto impone vincoli sullintera distribuzione del p.s..

Stazionarietà debole o in covarianza o del secondo ordine

Se un p.s. è stazionario in senso forte e media e varianza esistono, allora il p.s. è stazionario in senso debole. La stazionarietà in senso debole non implica la stazionarietà in senso forte. Un p.s. stazionario in senso debole e gaussiano è anche stazionario in senso forte. Dora in poi si useranno i termini stazionarietà e stazionario come sinonimi di stazionarietà in s. debole e di stazionario in s. debole