Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Lezione II dal libro di Babai & Frankl:

Cut&Paste esercizio Basta fare più tagli

La domanda del giorno ? angoli arccos 1/3 /2 NO! in/dipendenza lineare

Funzioni lineari Fatto: Sia V uno spazio lineare su Q e siano x,y V linearmente indipendenti. Allora esiste una f: V Q tale che 1.f(a+b) = f(a) + f(b) (f è lineare) 2.f(x)=1 e f(y)=0 (f distingue tra x e y) Prova: esercizioesercizio Fatto: arccos 1/3 e sono linearmente indipendenti in V= Q 1.D(P) = D(P1) + D(P2) 2.D(tetraedro) > 0 D(cubo) = 0 Per ogni taglio di P in P1 e P2 Invariante di Dehn (1902):

Invariante di Dehn D(P) := L = {spigoli di P} D(P) D(P1) + D(P2) Divido lo spigolo l in l 1 e l 2 |l| f( l ) |l 1 | f( l ) + |l 2 | f( l ) |l| f( l ) |l| f( l ) + |l| f( l ) Divido langolo l in l e l Cosa succede quando taglio P in P1 e P2?

Ho imbrogliato!! Fatto: arccos 1/3 e sono linearmente indipendenti in V= Q arccos 1/3 Q, Q Soluzione corretta: per assurdo, supponi che considera gli angoli 1, …, m dei vari pezzetti definisci V := span( 1, …, m) e osserva: arccos 1/3 V e V Perché?

Ricetta del giorno Posso ridurre un oggetto X ad un oggetto Y? Passo 2 f tale che 1.f(a+b)=f(a) +f(b) 2.f(x)=0 e f(y)=1 X=X1 X2 … Xk=Y Passo 3 F tale che 1.F(Xi) = F(Xi+1) 2.F(X) F(Y) X Y x y Passo 1 linear. indip. connessi X Y

Curiosità area trialgolo = (base altezza)/2 volume piramide = (area base altezza)/3 …simile a dimdim: infiniti pezzetti… Gauss: Cè una dimostrazione cut&paste? dim: cut&paste Hilbert (terzo problema): Dimostriamo che non cè perché esistono due piramidi con stessa base e stessa altezza cheterzo problema non sono riducibili (cut&paste) tra loro.

Dehn: da cui posso ottenere le due piramidi di Hilbert Curiosità area trialgolo = (base altezza)/2 volume piramide = (area base altezza)/3 dimdim: infiniti pezzetti… …simile a Gauss: Cè una dimostrazione cut&paste? Hilbert (terzo problema): Dimostriamo che non cè perché esistono due piramidi con stessa base e stessa altezza cheterzo problema non sono riducibili (cut&paste) tra loro.

Esercizio 1 Suggerimenti: triangolo qualsiasi rettangolo oblungo (2base < altezza) rettangolo non-oblungo (2base altezza) Ad esempio Dimostra luguaglianza (puoi fare un numero finito qualsiasi di tagli)

Esercizio 2 Sugg.: Considera il caso particolare in cui V = span(a1,..,ak) con a1 = x e a2 = y. Fatto: Sia V uno spazio lineare su Q e siano x,y V linearmente indipendenti. Allora esiste una f: V Q tale che 1.f(a+b) = f(a) + f(b) (f è lineare) 2.f(x)=1 e f(y)=0 (f distingue tra x e y)