Guida ISO all’espressione dell’incertezza di misura (GUM) – ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement Esercizi

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza Incertezza di misura Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Incertezza di misura L’incertezza può essere stimata: Per mezzo di valutazioni basate sull’esperienza (storico di dati, analisi della documentazione tecnica, esperienze precedenti …) [CATEGORIA B] FDP ipotizzata Per mezzo di misure ripetute dello stesso misurando (analisi statistica dei risultati) [CATEGORIA A] FDP misurata Per mezzo della propagazione dell’incertezza, nel caso di misure indirette [incertezza combinata] FDP combinata

Propagazione dell’incertezza (GUM) FORMA SEMPLIFICATA: Viene utilizzata quando i parametri sono fra loro indipendenti (non vi sono incertezze correlate)

Approccio basato sulla GUM IDENTIFICARE L’EQUAZIONE RISOLVENTE - controllare l’applicabilità dell’approccio semplificato IDENTIFICARE LE GRANDEZZE COINVOLTE - categoria, incertezza, coefficienti di influenza CALCOLARE IL VALORE STIMATO CALCOLARE L’INCERTEZZA COMBINATA - propagare le incertezze CALCOLARE L’INCERTEZZA ESTESA - scegliere un opportuno fattore di copertura, adeguato al livello di fiducia richiesto SCRIVERE IL RISULTATO IN FORMA RIGOROSA G=704±38 MPa (P=99%) oppure G=704±38 MPa (k=2.58) oppure G=704 MPa U99% (G)=38 MPa P k 60% 0.84 95% 1.96 99% 2.58

Analisi approfondita: UMF UMF: Fattore di amplificazione (Uncertainty Magnification Factor) Indica di quanto viene amplificata l’incertezza di ciascuna grandezza in ingresso in funzione dell’equazione che descrive il fenomeno. DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA Utile nell’analisi che precede l’acquisto di un trasduttore, in modo da identificare le grandezze più (UMF>1) o meno (UMF<1) critiche

Analisi approfondita: UPC UPC: Uncertainty Percentage Contribution Indica quanta dell’incertezza combinata dipende dall’incertezza della grandezza in ingresso Tiene conto sia dell’equazione che rappresenta il modello sia delle incertezze realmente coinvolte Utile per controllare se vi siano alcune grandezze la cui misura vada migliorata

Esercizio 2: Altezza di un edificio Dalle misure di un edificio ottenute utilizzando un odometro avente diametro = 300 mm e 100 divisioni ed un inclinometro, avente passo pari a 1/10 di grado, si sono ottenuti i seguenti valori ϑ1=61.5° ϑ2=-8.0° L=15m h1 =Ltgϑ1 h2 =Ltgϑ2 H=h1+h2 H=L(tgϑ1+tgϑ2) Ricavare l’altezza dell’edificio come misura indiretta, scrivendo il risultato in forma rigorosa, riportando l’incertezza di misura estesa al 95% H ϑ1 ϑ2 L H=29.73 ± 0.14 m (k=1.96)

Esercizio 2: Altezza di un edificio Equazione risolvente: H = L(tg|ϑ1|+tg|ϑ2|) Grandezze coinvolte: - L - distanza – incertezza di categoria B - ϑ1 – angolo – incertezza di categoria B - ϑ2 – angolo – incertezza di categoria B

Esercizio 2: Altezza di un edificio Grandezze coinvolte: L=15m [m] incertezza di categoria B misurata per mezzo di un odometro (diametro = 300 mm, 100 divisioni) 1 division=p*300mm/100=9.4mm=0.0094m si assume una distribuzione uniforme con semiampiezza a pari alla divisione più piccola La semiampiezza a sarebbe dovuta essere uguale a metà della divisione più piccola, ma come regola pratica, se la misura è poco accurata si usa l’ampiezza intera della divisione più piccola. a x

Esercizio 2: Altezza di un edificio Grandezze coinvolte: ϑ1=61.5°=1.073 rad [rad] incertezza di categoria B misurata per mezzo di un inclinometro (divisione = 1/10 di grado) 1 divisione = 0.1° = 0.0017 rad si assume una distribuzione uniforme con semiampiezza a pari alla divisione più piccola Lo stesso per ϑ2 = -8° = -0.140rad a x

Esercizio 2: Altezza di un edificio Coefficienti di influenza =2.0 =66 m =15 m

Esercizio 2: Altezza di un edificio INCERTEZZA COMBINATA, INCERTEZZA ESTESA e RISULTATI DELLA MISURA H = 29.73 m U95%(H) = 0.14m H = (29.73 ± 0.14) m (k = 1.96) H = (29.73 ± 0.14) m (P = 95%) Analisi critica: UMF, UPC Risultati della misura H 29.73 m u(H) 0.07 U(H) 0.14 k 1.96   u(H)/H 0.2% Nome UMF UPC L 1.00 2.6% θ1 2.38 92.5% θ2 0.07 5.0%

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza Incertezza di misura Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza Misure diverse della stessa grandezza risultano compatibile, con un certo livello di fiducia, quando i loro intervalli fiduciari si sovrappongono Es. velocità della mia automobile misurata per mezzo di un segnale GPS: 72 ± 1km/h (P = 95%) velocità della mia automobile misurata per mezzo di un tachimetro 75±7km/h (P=95%) velocità della mia automobile misurata dalla polizia 80±8km/h (P=95%) i risultati delle tre misure si riferiscono allo stesso misurando? Le tre misure sono COMPATIBILI?

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 95%, perché esiste un intervallo (in rosso) in comune fra le tre misure Si può affermare che le tre misure non sono diverse, con un livello di fiducia del 95% Un ulteriore esempio: il sistema di controllo di sistema di serraggio indica il valore di F = 89N con tolleranza al 95% data, pari a 1 N la forza dello stesso sistema di serraggio viene misurata con misure ripetute utilizzando una cella di carico, ottenendo il seguente risultato: F = {89,91,90,92,89,89,91} N le due misure sono COMPATIBILI al 99%?

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza Un ulteriore esempio: F = 89 N con tolleranza al 95% data, pari a 1 N Incertezza estesa al 95% = 1 N: se si suppone una distribuzione normale, si può calcolare l’incertezza standard (k=1) dividendo per k95%=1.96 => u(F) = 0.51 N => => U99%(F) = k99% u(F) = 2.58 x 0.51 N = 1.3 N intervallo di fiducia = {87.7 N; 90.3 N} misure ripetute F = {89,91,90,92,89,89,91} N media: F = 90.14 N; deviazione standard: σ = 1.215 N numero di campioni: n = 7 => v = n-1 = 6 gradi di libertà Per estendere l’incertezza di misure ripetute con n < 30 si usa la distribuzione t di Student => k = t99%,v = 3.71 => U99%(F) = 1.7 N intervallo di fiducia: {88.4 N; 91.8 N} Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 99%: i due intervalli si sovrappongono fra 88.4 N e 90.3 N

Esercizio 3: Punta su un disco Viene chiesto di misurare il carico applicato ad una punto che striscia su un disco che ruota in una prova volta a determinare il coefficiente di attrito fra i due oggetti, in funzione del materiale di cui sono costituiti. Il carico viene esercitato per mezzo di un attuatore idraulico, utilizzando un moltiplicatore di pressione rappresentato in figura. Sapendo che il diametri sono stati misurati utilizzando un calibro ventesimale e considerando le pressioni in figura, quale trasduttore è il più adatto allo scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo? Quale incertezza può essere associata alla misura dal carico? Trasduttore 1: fondo scala = 300 kPa, incertezza complessiva = 1%FS Trasduttore 2: fondo scala = 10 MPa, incertezza complessiva 2%FS p2≈200kPa p1=p2 (d2/d1)² d2=200mm d1=40mm d0=10mm

Esercizio 3: Punta su un disco Ipotesi A: si utilizza il trasduttore 1 per misurare p2 con un’incertezza di 6 kPa Ipotesi B: - si utilizza il trasduttore 2 per misurare p1 con un’incertezza di 100 kPa Risultato della misura H 393 N u(H) 12 U(H) 23 k 1.96   u(H)/H 3.1% Risultato della misura H 393 N u(H) 8 U(H) 16 k 1.96   u(H)/H 2.1% La miglior soluzione è data dall’ipotesi B, perché l’incertezza che ne deriva è inferiore Cosa accadrebbe se l’incertezza relativa del trasduttore 1 fosse pari a 1%FS?