Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA’ 1 AA 2013-2014 LEZIONE 8f

AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE CORRELAZIONE relazione di concordanza nella variabilità r Pearson <0 relazione negativa >0 relazione positiva relazione debole relazione forte AUTO si riferisce ai valori di una stessa variabile SPAZIALE implica un ordinamento Misura del grado di concordanza della variabilità tra valori “vicini” di una stessa variabile osservata su unità territoriali

Semi-varianza Descrive la variabilità di una variabile osservata su un determinato insieme di dati spaziali z(x)=valore della v.bile z in un dato “luogo” x z(x+h) = valore della v.bile z in un “luogo” che dista h da x n(h) = numero di coppie di valori la cui distanza è h ORDINAMENTO Nella forma più semplice: 0 = non contigue; 1 = contigue

CONTIGUITA’ Se si tratta di punti Una possibile strategia: poligoni di Thiessen metodo che ad ogni dato puntuale associa un’area: lo spazio all’interno di quell’area assume i valori più simili a quello del valore puntuale che a quello di qualsiasi altro punto Triangoli di Delaunay (vicino più vicino) Rette perpendicolari costruite sui baricentri Punti d’incontro = vertici dei poligoni W

la contiguità spaziale è un fattore che interagisce con il fenomeno studiato attraverso la forma e la dimensione delle unità vincoli territoriali/amministrativi che definiscono lo spazio esistenza di altri elementi di contatto In generale, wij > 0 esprimono l’intensità con cui la circostanza della contiguità agisce sulle determinazioni del fenomeno nelle unità i e j Operativamente, wij > 0 indica, ad esempio, la lunghezza di un confine in comune ecc.

Nella forma più semplice wij = 0,1 Il valore 1 indica che le aree sono contigue, cioè ad esempio sono adiacenti Il modello teorico Nel mondo reale la contiguità è connessione. Ad esempio, SI TRATTA SOLO DI IPOTESI

MISURA DELL’AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE In presenza di autocorrelazione spaziale positiva, valori simili della variabile risultano spazialmente raggruppati, mentre in presenza di autocorrelazione spaziale negativa, risultano spazialmente raggruppati i valori dissimili della variabile; l’assenza di autocorrelazione spaziale indica una distribuzione casuale dei valori nello spazio. ESEMPIO: Variabile caratteristica del territorio URBANO (U)/RURALE (R) Contiguità possibili: UU p(UU)=1/4 UR p(UR)=1/4 RU p(RU)=1/4 RR p(RR)=1/4 Se f(UU+RR)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE POSITIVA Se f(UR+RU)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE NEGATIVA

Gli elementi necessari per il calcolo degli indici di autocorrelazione spaziale sono: una misura della variabilità del fenomeno studiato (Cij) e una matrice che rappresenti la configurazione del territorio considerato (Wij). Tutti gli indici di autocorrelazione spaziale fanno riferimento ad una statistica cross-product. MATRICE DI CONTIGUITA’ (connessione, ponderazione spaziale) MATRICE DI DISTANZA

Esempio: Wij   a b c d e f g h i 9 36 1 16 49 4 25 64

  a b c d e f g h i 9 36 1 16 49 4 25 64 (cella x cella)

G Il calcolo di G per l’osservazione (G =2) rientra nella distribuzione pertanto non vi è ragione di affermare che la sua manifestazione sia inusuale; infatti la frequenza con cui compare è uguale a quella degli altri valori

Il calcolo di G per l’osservazione (G =3) ha una bassa probabilità di essere attribuita al caso

ESEMPIO

In generale non si conosce la forma della distribuzione di G. Essa dipende dalla funzione di distanza utilizzata. Per alcune statistiche, casi particolari della forma generica Cross Product (Join-count, Moran, Geary), è invece possibile fare riferimento ad una distribuzione teorica Normale, sempre che il numero delle unità geografiche sulle quali viene misurata l’autocorrelazione spaziale risulti abbastanza elevato. IN TAL CASO è POSSIBILE FARE IL TEST Per la statistica cross product la media: con: La somma di tutti gli elementi della matrice di contiguità La somma di tutti gli elementi della matrice di distanze

….e la varianza: con:

ESEMPIO: Wij 48=S0

Cij =G0

Trattandosi di valori 0,1 Poiché la matrice è simmetrica

Pertanto: Wij*Cij

Applichiamo il test sulla Normale a due code: l’ipotesi nulla H0=non vi è autocorrelazione spaziale, cioè i valori sono distribuiti in modo casuale.   Poiché al livello di significatività al 95%, i valori limite sono –1,96 e + 1,96, il valore osservato è nella zona di rifiuto. La variabile è affetta da autocorrelazione spaziale; Osservando I dati, direi positiva.

STATISTICA JOIN-COUNT Per variabili misurate su scala nominale, dicotomiche SUCCESSO/INSUCCESSO n1 = B n2 = W BB+WW+BW(WB)=J ESTRAZIONI INDIPENDENTI (BINOMIALE) Numero complessivo possibili coppie =n2 numero atteso di coppie di questo tipo

ESTRAZIONI NON INDIPENDENTI Numero complessivo di possibili coppie

Ipotesi di Normalità In generale, al crescere del numero delle osservazioni le precedenti distribuzioni (binomiale e ipergeometrica) tendono alla Normale, pertanto è possibile fare riferimento alle seguenti formule riconducibili alla statistica Ad esempio, si consideri la variabile codificata nel seguente modo: B,W   I legami tra le aree confinanti saranno dunque del tipo BB, BW, WB, WW. La statistica Join Count consiste nel confrontare il numero di legami osservati del tipo BB (o WW) oppure i legami del tipo BW (e WB) con quelli attesi.

Conta il numero di legami BB=G*/2 (definizione del modello rook) Conta il numero di legami WW=G*/2 Conta il numero di legami BW = G/2

E’ possibile applicare il test z

pertanto il numero osservato di legami di tipo (B,W) è /2=2. Si desidera verificare l’esistenza di autocorrelazione spaziale nei dati; si utilizza la statistica JOIN COUNT per il calcolo del numero di legami “discordi. Se la frequenza osservata di legami “discordi” è superiore a quella attesa, significa che valori dissimili di una stessa variabili tendono a presentarsi in unità contigue, quindi si è in presenza di autocorrelazione spaziale negativa. ESEMPIO pertanto il numero osservato di legami di tipo (B,W) è /2=2. E(BW)=2*(2*2)/4=2 Il numero dei legami “discordi” (B,W) osservati è uguale a quello atteso pertanto vi è assenza di autocorrelazione spaziale

APPROCCIO GRAFICO URBANO =ROSSO RURALE=GIALLO NODI LEGAMI 0, 1 NON CONTIGUO/CONTIGUO GIALLO = RURALE+RURALE ROSSO=URBANO+URBANO BIANCO=DISCORDI Infatti, dalla matrice indicata, delle 14 celle in cui vi è connessione, si ricava:   UU = 2 RR = 2 UR = 5 RU = 5 Quindi UR+RU=10>14/2, e dunque l’autocorrelazione è negativa, cioè tendono a raggrupparsi aree con valori dissimili.

INDICE DI MORAN Applicabile a caratteri quantitativi ordinati su scala di intervallo o di rapporto L’indice I di Moran è analogo al coefficiente di correlazione e come esso varia da +1 (forte autocorrelazione spaziale) a 0 (assoluta casualità) a –1(forte autocorrelazione negativa)

ESEMPIO Wij

Wij Cij

Significatività statistica dell’Indice di Moran Si dimostra che l’Indice di Moran ha una distribuzione Normale con

ESEMPIO: riprendendo l’esempio precedente significativo al livello 0,05 (1/20 di probabilità che questo valore sia dovuto al caso). In altri termini rigetto l’ipotesi nulla che non vi sia autocorrelazione spaziale.

ESEMPIO Il valore è significatico al 95%. Pertanto si deve rifiutare l’ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione spaziale; poiché I=0,58, significa che vi è una notevole autocorrelazione spaziale positiva tra i valori della variabile X