4.Il funzionamento di una stella tipo: il Sole (continua)

Nella lezione precedente: Utilizzando il flusso f osservato sulla Terra e la distanza r Terra-Sole misurata, abbiamo determinato la luminosità L = 3.9 x erg s -1 Utilizzando la distanza r Terra-Sole misurata e il diametro angolare del Sole (32 arcmin), ne abbiamo determinato il raggio R = 6.7 x cm Utilizzando L e R, abbiamo ricavato il flusso superficiale f e da questo, utilizzando la relazione di Stefan-Boltzman abbiamo ricavato la T e attesa di 5 800°K Abbiamo verificato che in una buona regione dello spettro del Sole si ha effettivamente un buon fit dello spettro con una legge di copro nero a T e = °K Abbiamo preso atto di alcuni fatti che indicano che la temperatura allinterno del Sole deve essere comunque più elevata (il bordo del Sole è meno luminoso del centro e lo spettro presenta righe di assorbimento)

Quindi, in base alla luminosità L e a una stima minima delletà della Terra (e quindi del Sole) basata su analisi geologiche, abbiamo stimato che il Sole deve disporre di una riserva totale di energia E tot > 5 x erg Utilizzando argomenti di dinamica classica (forza centripeta = forza gravitazionale) abbiamo quindi calcolato la massa del Sole M = 2 x gm Utilizzando questo valore di massa abbiamo calcolato la riserva di energia gravitazionale E grav = 3.8 x erg e abbiamo verificato che questa è inferiore a quella richiesta E tot, e abbiamo quindi dedotto che largomento di Kelvin-Helmholtz non è applicabile In base a semplici considerazioni di statica, abbiamo stimato che al centro del Sole ci deve essere una pressione P c 10 9 atmosfere Utilizzando i valori di M e R ricavati prima, abbiamo stimato una densità media del Sole di 1.4 g cm -3 e abbiamo verificato che questa corrisponde alla densità di un fluido di Idrogeno atomico impacchettato a una densità di un atomo per volume di atomo

Paragonando con le forze di legame atomico la pressione centrale P c stimata prima, abbiamo dedotto che lIdrogeno, sottoposto a questa pressione non può sopravvivere nello stato atomico, ma deve trovarsi nello stato di plasma neutro Assimilando il comportamento di un plasma neutro a quello di un gas perfetto, e stimando il densità n di protoni per unità di volume, abbiamo ricavato una temperatura centrale di gas perfetto T c 15 x 10 6 °K Abbiamo quindi invocato lelevata agitazione termica che corrisponde a questa temperatura per giustificare, nelle collisioni protone-protone, il superamento della barriera Coulombiana e quindi linnesco della fusione 4H He In base al rilascio di energia corrispondente al difetto di massa del nucleo di He, e in base alla stima fatta del numero totale di protoni disponibili nel Sole, abbiamo ricavato una riserva totale di energia termonucleare E erg, perfettamente compatibile con la riserva necessaria E tot calcolata in precedenza

Ecco quindi come funziona una stella tipo di 1 M : Per effetto dellattrazione gravitazionale, la stella tenderebbe spontaneamente al collasso. A seguito della contrazione, la pressione negli strati più interni raggiunge valori elevatissimi I legami atomici si rompono e la materia si comporta come un plasma Lenergia termonucleare che si libera sostiene il collasso gravitazionale La corrispondente temperatura di gas perfetto corrisponde ad una agitazione termica che consente il superamento della barriera Coulombiana e linnesco della fusione 4H He (proton-proton chain)

In queste condizioni, la stella è in equilibrio: (cosa impedisce al Sole di comportarsi come una bomba nucleare ?) una ulteriore contrazione aumenta la pressione e la temperatura interna, aumentando lefficienza della fusione che a sua volta bilancia ulteriormente il collasso. un eventuale aumento spontaneo della efficienza della fusione tende a fare espandere la stella, provocando una diminuzione della pressione interna e un conseguente raffreddamento, e quindi una diminuzione dellefficienza di fusione in questo modo, lenergia radiante L c prodotta nel nucleo centrale del Sole è uguale alla luminosità osservata L

Ecco quindi la risposta alla nostra domanda iniziale: La riserva primaria di energia nel Sole è lenergia termonucleare che si sviluppa grazie alla interazione nucleare forte E il rilascio di energia che si libera nella caduta dei protoni nella buca di potenziale dellinterazione nucleare forte che costituisce la fonte primaria di energia nel Sole In un certo senso, lenergia gravitazionale che era stata presa in considerazione originariamente come possibile riserva di energia, agisce solo da innesco. Lenergia gravitazionale crea le condizioni di pressione interna perché si rompano i legami atomici e la materia si comporti come un plasma, la cui agitazione termica di gas perfetto consente il superamento della barriera Coulombiana fra i protoni In questo modo i protoni possono avvicinarsi fino al range di azione della interazione nucleare forte e cadere nella buca di potenziale, liberando energia Il nucleo di He che si forma grazie alla reazione 4H He (alla quale partecipa anche linterazione nucleare debole che consente la trasformazione protone-neutrone) presenta un difetto di massa dello 0.7% rispetto alla massa totale dei due protoni e neutroni che lo compongono. Questo difetto di massa viene restituito in energia

Vediamo adesso di fare alcune considerazioni di termodinamica Vedremo che la presenza della enorme riserva di energia termonucleare ha anche implicazioni in relazione alla termodinamica del Sole Se NON ci fosse linnesco delle reazioni nucleari e il Sole fosse semplicemente una sfera di gas autogravitante (cioè una sfera in cui competono semplicemente la forza gravitazionale e la propria energia di agitazione termica), cosa succederebbe ? Una sfera di gas autogravitante, quando si comprime si scalda. Normalmente, un corpo caldo irradia calore nel mezzo circostante più freddo, e così si raffredda esso stesso, fino a portarsi in equilibrio col mezzo circostante. Ma nel caso di una sfera di gas autogravitante, la sfera irradiando calore perde energia e si contrae. Ma contraendosi si scalda ancora di più. Quindi una ipotetica stella autogravitante tende a evolversi verso uno stato di sempre maggiore disparità di temperatura con il resto delluniverso, violando i principi della termodinamica ? Nel caso del Sole, la violazione è apparente: la termodinamica impone che un corpo si porti alla stessa temperatura del mezzo circostante solo quando ha raggiunto completamente lequilibrio termodinamico: Il Sole non è in equilibrio termodinamico. Ciò che impedisce al Sole di raggiungere lequilibrio termodinamico è proprio la reazione nucleare, che come abbiamo visto ne allunga la vita.

Trasporto radiativo nel Sole Con la densità e la temperatura che abbiamo nel nucleo centrale del Sole, la materia è opaca. Quindi ci possiamo aspettare che materia e radiazione siano localmente in perfetto equilibrio termodinamico. La radiazione associata alla temperatura di corpo nero di 15 x 10 6 °K contiene essenzialmente raggi X. Infatti (legge dello spostamento di Wien): max = 0.3 / T cm = (0.3 /15) x cm = 2 x cm I raggi X interagiscono pesantemente con la materia e allinterno del Sole il tragitto medio per i raggi X e di circa ½ cm, prima di subire una delle due sorti: Assorbimento (e quindi riemissione a lunghezza donda più bassa) Scattering (diffusione) in una direzione differente.

tempo di fuga t = 3 R 2 / lc Assorbimento (e quindi riemissione a lunghezza donda più bassa) Scattering (diffusione) in una direzione differente. Quindi ogni fotone, nel suo lento percorso dallinterno verso lesterno, vienedegradato da fotone X, caratteristico della temperatura centrale di 15 x 10 6 °K, a fotone ottico, caratteristico della temperatura superficiale di °K In più ogni fotone subisce continui urti (scattering) e quindi il suo percorso è assimilabile al random walk. Il cammino libero medio di un fotone allinterno del Sole è l= 0.5 cm Fotone X Fotone ottico Cammino libero medio = ½ cm Tempo di fuga t anni

Calcoliamo adesso quale è limplicazione sulla luminosità del Sole L di questa lenta perdita di fotoni. sappiamo che la densità di energia del campo di radiazione è: E rad = aT m 4. quindi la quantità totale di energia del campo di radiazione in una sfera è: E rad = E rad x volume = E rad x (4/3) R 3 e questa viene persa in un tempo (il tempo di fuga) t = 3 R 2 / lc quindi, se tutta la luminosità L si libera attraverso trasporto radiativo si ha: L = E rad / t = aT m 4 (4/3) R 3 / (3 R 2 / lc) Per L = erg sec -1 questo richiede una temperatura media interna T m 4 x 10 6 °K (il che conferma i calcoli precedenti) Tuttavia: negli strati più esterni invece (T 6000 °K), il trasporto radiativo non consente di sostenere una Luminosità così elevata e il trasporto di energia termica per convezione prevale sul trasporto radiativo.

Principi di struttura stellare A questo punto siamo in grado di capire perché ha la dimensione che ha La valvola di sicurezza (equilibrio idrostatico) che opera nel Sole fa sì che: ad ogni istante il raggio R sia esattamente quello richiesto per mantenere allinterno una ben precisa temperatura T la temperatura T tale è quella necessaria a mantenere una ben precisa efficienza delle reazioni nucleari lenergia liberata in queste reazioni nucleari è pari alla perdita di energia per trasporto radiativo Come vedremo in seguito, a parte la composizione chimica iniziale, il parametro che determina la Luminosità L e il raggio R di una stella è la sua massa

I principi della struttura stellare possono essere quindi così riassunti: 1.Equilibrio Idrostatico: a ogni profondità, la pressione interna è uguale al peso della materia contenuta in una colonna di area unitaria 2.Trasporto radiativo di energia: i fotoni prodotti nel nucleo centrale del Sole migrano dallinterno (alta temperatura), allesterno (bassa temperatura) attraverso un processo di random walk attraverso il quale lenergia termica viene trasportata verso lesterno. 3.Produzione di energia: affinché una stella sia in equilibrio termico, lenergia trasportata attraverso una qualsiasi superficie sferica (a qualsiaisi livello di profondità) deve essere compensata da un uguale produzione di energia allinterno della sfera. 4.Safety valve: Se la produzione di energia interna è insufficiente a sopperire alla perdita di energia, ne risulta una contrazione gravitazionale che, aumentando la temperatura interna, aumenta lefficienza di produzione di energia nucleare allinterno, fino a soddisfare la 3. 5.Trasporto convettivo di energia: negli strati più esterni, la temperatura relativamente bassa rende meno efficace il trasporto radiativo dellenergia termica, sul quale prevale il trasporto convettivo

Zona di convezione nel Sole Nucleo Facendo seguito a quanto discusso fino adesso, nel Sole definiamo le seguenti regioni: Il Nucleo: dove la temperatura T è sufficientemente alta da produrre fusione di H in He La Zona radiativa: qui i fotoni generati nel nucleo fanno random walk (la zona è otticamente spessa). Il trasporto dellenergia termica verso lesterno è radiativo. La Zona Convettiva: qui il trasporto radiativo non è più efficace. Il trasporto di energia avviene per convezione La Fotosfera: lo strato esterno otticamente sottile dove i fotoni smettono di fare random walk e volano via Fotosfera Zona Radiativa Zona Convettiva

Ancora sulla differenza fra Zona radiativa e Zona Convettiva Il Sole, abbiamo visto, obbedisce alla legge di Stefan-Boltzman: L = 4 R 2 T e 4 = 3.9 x erg s -1 Daltra parte, la luminosità liberabile per trasporto radiativo è: L = E rad / t = aT m 4 (4/3) R 3 / (3 R 2 / lc) La condizione che tutta lenergia si liberi per trasporto radiativo : L = L non è realizzabile quando T T e. Infatti in questo caso: L = aT 4 (4/3) R 3 / (3 R 2 / lc) erg s -1 << L Ecco che negli strati più esterni il meccanismo convettivo di trasporto dellenergia prevale su quello radiativo. Stelle molto fredde possono essere completamente convettive Ma il Sole non è un corpo nero ideale e T m T e

Quindi, nella Zona Convettiva, bolle di gas caldo migrano verso lesterno e bolle di gas freddo migrano verso linterno Non cè trasporto netto di materia, ma cè trasporto netto di energia termica. Struttura granulare della zona convettiva

Esercizi

Esercizio 1: Spiegate come, in base a considerazioni geometriche, si può ricavare una stima della distanza del Sole. Da semplici considerazioni trigonometrica risulta r luna / r sole = cos La misura risulta difficile e richiede precisione, in quanto 90°

Esercizio 2: Assumendo di avere ottenuto con lesercizio precedente una stima della distanza del Sole r 1.5 x cm (1 A.U.), ricavate una stima del diametro del Sole, specificando di quale altra quantità osservabile avete fatto uso. La dimensione (diametro) angolare del Sole visto dalla terra è 32 arcmin. Alla distanza r di 1AU = cm, questo implica R cm Infatti: R/r /2 (il fattore due deriva dal fatto che del sole stiamo usando il diametro angolare) R = r x /2 ( = ((32/60)/180) x ) r x /2 = 6.7 x cm r

Esercizio 3: Utilizzando i solo dati ricavati in precedenza, e utilizzando come unica ulteriore quantità osservabile il colore dominante del Sole, fate una stima della sua luminosità e spiegate che ipotesi avete fatto. Conosciamo il raggio R = 6.7 x cm Utilizzando il colore dominante paragonandolo a famiglie di curve di emissione di corpo nero possiamo ipotizzare una T e 6000 °K Dalla relazione di Stefan-Boltzman possiamo calcolare il flusso superficiale f: f = T e 4 = 5.67 x 10 5 x (6000) 4 = 7.35 x erg cm -2 s -1 Inoltre possiamo scrivere che: L = f x 4 R 2 = 4 x erg s -1 (leggermente superiore al valore 3.9 per avere stimato 6000 °K contro 5800 °K)

Esercizio 4: Fate una stima della massa del Sole e ricavate quindi la sua riserva di energia gravitazionale. Spiegate in base a quali considerazioni si può affermare che questa riserva non è sufficiente a spiegarne il principio di funzionamento la ricaveremo eguagliando forza centripeta F=ma (a=v 2 /r) e forza gravitazionale: m v 2 /r = G m M / r 2 M = rv 2 /G r = 1 A.U. = 1.5 x cm v = 2 r / P con P = 3.16 x 10 7 sec (1 anno) v = 2.98 x 10 6 cm/sec da cui risulta: M = rv 2 /G = 2 x gm Lenergia gravitazionale E grav di una sfera di massa M e raggio R dipende dalla distribuzione di massa allinterno della sfera, ma è comunque dellordine di E grav = G M 2 / R 3.8 x erg Con questa riserva di energia, il Sole durerebbe meno delletà stimata per la Terra (reperti geologici…) = E grav / L = (3.8 x ) / (3.9 x ) s 30 x 10 6 anni

Esercizio 5: Cosa rende il trasporto radiativo meno efficace del trasporto convettivo negli strati più esterni del Sole ? Perché ? Che formule possiamo utilizzare a riguardo ? sappiamo che la densità di energia del campo di radiazione è: E rad = aT m 4. quindi la quantità totale di energia del campo di radiazione in una sfera è: E rad = E rad x volume = E rad x (4/3) R 3 e questa viene persa in un tempo (il tempo di fuga) t = 3 R 2 / lc quindi, perché tutta lenergia del campo di radiazione si liberi in luminosità L attraverso trasporto radiativo deve aversi: L = E rad / t = aT m 4 (4/3) R 3 / (3 R 2 / lc) Negli strati più esterni, in cui T m è più bassa, la luminosità liberabile E rad /t può diventare minore di quella osservata L, il che implica che un altro meccanismo (la convezione) domina sul trasporto radiativo.

Esercizio 6: Come si spiega il fatto che il bordo del Sole è meno luminoso del centro ? Filtro Bassa Temperatura Alta Temperatura r

Esercizio 7: Allinterno del Sole stimiamo che ci sia una pressione di 2.17 x dyne cm -2. Dimostrate che in queste condizioni non può esistere Idrogeno allo stato atomico. In che stato si trova allora lidrogeno allinterno del Sole ? + 2 r 1 P=2.1 x dyne cm -2 + F = e 2 /r 1 2 (forza di legame) 2 r 1 P = e 2 /4r 1 4 = 7.2 x dyne cm -2 (Forza per unità di area = pressione equivalente) LIdrogeno allinterno del Sole si trova nello strato di Plasma

Esercizio 8: cosa rende possibile allinterno del Sole linnesco della fusione dellIdrogeno ? energia r Agitazione termica: Distribuzione di probabilità di v : exp(-mv 2 /2kT) (Maxwelliana) Effetto tunnel