Fisica Terrestre Parte IV Gravità e Gravimetria A. Caporali Dipartimento di Geologia, Paleontologia e Geofisica Università di Padova

Potenziale gravitazionale Forza gravitazionale tra due masse puntiformi a una distanza r: Potenziale gravitazionale di una massa puntiforme posta nell’origine ovvero di una sfera omogenea di massa m, a una distanza r: Potenziale di una sfera ruotante intorno ad un asse con velocità angolare w: occorre considerare anche il potenziale centrifugo x y w

Equipotenziale di una sfera ruotante Equipotenziale = luogo dei punti di coordinate r, f, tali che U(r, f)=U0=costante La figura di equilibrio di una massa fluida è una equipotenziale detta ‘sferoide’ Gravità dello sferoide g gt

Lo sferoide terrestre a La sezione della equipotenziale U0=cost è una ellisse: 1/f = 298.257; a = 6378137 m sono i valori convenzionali (WGS84)

Valori numerici nel potenziale terrestre grandezza simbolo Valore Raggio equatoriale a 6378137 +/- 2 m appiattimento f 1/298.257 Velocità angolare w 7292115*10-11 rad/sec Massa gravitazionale Terrestre Gm 3986005 * 108m3/sec2

Conseguenze osservabili dello schiacciamento terrestre 23.5° eclittica Precessione degli equinozi: periodo 26000 anni, ampiezza 23.5° (obliquità dell’eclittica rispetto all’equatore Precessione della linea nodale dell’orbita di un satellite (inclusa la luna): Ampiezza: è uguale all’inclinazione dell’orbita sull’equatore; periodo dipende dal raggio orbitale Precessione Euleriana: moto geografico dell’asse di rotazione rispetto all’asse z di massimo momento di inerzia: ampiezza circa 15 metri; periodo osservato 430 gg. Richiede che l’asse istantaneo di rotazione e l’asse di massimo momento di inerzia formino un angolo non nullo

Gravità e Anomalie orizzontali e verticali Gravità normale: campo gravitazionale dello sferoide (viene calcolata in ogni punto con una espressione adottata convenzionalmente (IGSN71) Gravità terrestre: campo gravitazionale effettivo della Terra ( Gravità osservata: può essere pensata come il gradiente di un potenziale W) Anomalia di gravità: differenza tra gravità terrestre e gravità normale Deviazione della verticale: componenti orizzontali (est e nord) della anomalia di gravità. Misurano la pendenza del geoide (W0=cost) rispetto allo sferoide di riferimento (U0=cost) Anomalia gravitazionale: componente dell’anomalia lungo la normale allo sferoide

Formule per la gravità normale e anomalie su grande scala g=9.78031846(1+0.005278895sin2f+0.000023462 sin4f), ove f è la latitudine del punto sull’ellissoide

Riduzione delle anomalie gravimetriche in superficie La definizione di anomalia gravimetrica assume che la g sia misurata sul geoide. In pratica la misura viene invece fatta sulla superficie topografica, che può avere una separazione dal geoide anche di migliaia di metri. Si rende necessario pertanto riportare una misura di g ad altezza topografica qualsiasi al valore che avrebbe se fatta sulla superficie del geoide. La prima correzioni da apportare è quella ‘di aria libera’: detta H la quota della stazione, per H>0 la gravità misurata viene aumentata di 2g/r per un abbassamento di un metro. geoide sferoide N H Molla a riposo Molla allungata 2g/r~2x9.8/6378000 =0.3 * 10-5 1/s2 = 0.3 mGal/m Ove 1 mGal= 10-5 m/s2

Anomalia di Bouguer (1/2) La gravità misurata a un’altezza h differisce da quella misurata sullo sferoide oltre che per l’effetto della quota, anche dal campo gravitazionale prodotta dalla massa compresa tra il punto stazione e punto sullo sferoide. Il campo prodotto da una piastra di densità r= cost e di spessore h viene calcolato usando il teorema di Gauss, che stabilisce che il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla quantità di massa all’interno della superficie. G=6.67*10-11 m3kg-1s2 Costante di gravitazione Ad es per una massa puntiforme M che crea un campo radiale g costante su una sfera di raggio r centrata nella massa si ritrova il noto risultato: Nel caso di una lastra infinita di densità r e spessore h abbiamo analogamente: dW r g

Anomalia di Bouguer (2/2) L’integrale di superficie è esteso alla superficie di un cilindro: solo gli integrali sulle due basi contribuiscono, e lo fanno in modo in modo uguale, per simmetria. L’integrale sulla superficie curva è nullo perché g e l’elemento di area dW sono ortogonali. L’integrale di volume è il prodotto della densità per la porzione di strato di materia intercettato dalla superficie cilindrica. In definitiva, l’accelerazione prodotta da una lastra è Ove h è espresso in metri e si è assunta una densità media della crosta 2670 kg/m3 Per riportare allo sferoide la gravità misurata sulla superficie topografica, che si assume pianeggiante, dobbiamo aumentare, per ogni metro di quota, di 0.3 mGal (aria libera), e diminuire di 0.11 mGal (piastra di Bouguer), in definitiva aumentare di 0.19 mGal per metro. r dW g A h

Correzione topografica, e da corpi sommersi (1/2) Campo prodotto da una distribuzione sferica di massa con contrasto di densità Dr, posta a profodità (o altezza) b e distanza orizzontale x: Il primo termine rappresenta il valore assoluto della forza, il secondo il fattore di proiezione cosq per avere la componente normale b R q Dr dg x

Correzione topografica, e da corpi sommersi (2/2) x b

Esempio: una cupola di sale -0.035 La curva di best fit in basso corrisponde a b= 6 km, 4pGDrR3/3b2=10 mGal Assumendo che il sale abbia densità 2200 kg/m3 e i sedimenti circostanti 2400 kg/m3, si ottiene R=4 km NB: non possiamo risolvere per R e Dr separatamente

Campo di una distribuzione rettilinea di massa x b Piano topografico Distribuzione lineare cilindrica di massa (sezione) 2R Applichiamo il teorema di Gauss a una superficie cilindrica di lunghezza l (NB: il risultato sarà poi indipendente da l!) coassiale con l’asse della distribuzione di massa di densità Dr in eccesso o difetto rispetto alla densità circostante dgN Poiché il gravimetro misura la sola componente verticale della dg, dobbiamo moltiplicare dg per il coseno dell’angolo rispetto alla verticale Cerchio ausiliario Dg(x=0)=Dgmax=-2pGDrR2/b Dg(x=b)=Dgmax/2

Isostasia, orogeni: equilibrio statico rm h H In equilibrio, il peso del fluido spostato eguaglia la forza peso: DP T = 30 km All’equilibrio, la topografia h viene sostenuta da una radice di profondità proporzionale H sufficiente a creare una spinta isostatica uguale e opposta

Isostasia, orogeni: sviluppo di un bacino flessurale per un supporto elastico La trattazione isostatica non considera l’elasticità del supporto e assume che l’unico sostegno venga dalla spinta isostatica, come per un galleggiante. Quando si considera che il supporto è elastico, la profondità della radice H sarà inferiore che nel caso puramente isostatico perché alla spinta isostatica si sommano le forze elastiche nel supporto Tali forze sono responsabili dello sviluppo di bacini flessurali ai fianchi, che tendono a riempirsi di sedimenti Cliccare per far partire l’animazione

Isostasia e orogeni: effetti gravimetrici rm h H Teorema: in un orogeno compensato isostaticamente l’anomalia di aria libera è zero Corr. arialibera Corr. Bouguer Anomalia di Bouguer causata da difetto di massa di spessore H Segue che l’anomalia di aria libera g-g+2gh/r si annulla

Isostasia e fosse oceaniche A. Compensazione isostatica rm r rw H h T DP=rTg B. Gravimetria (g è misurata sul fondo dell’oceano, g in superfice): Segue che anche negli oceani compensati l’anomalia di aria libera si annulla