Modelli di analisi della domanda Facoltà di Economia di Perugia (sede di Assisi) Laurea Specialistica in Economia del Turismo Corso in Economia del Trasporto (a.a. 2007-2008)

Indice Modelli di domanda a scenari Modelli di domanda econometrici/statistici Modelli di domanda aggregata Modelli di domanda disaggregata/scelta discreta Approccio utilità costante Approccio di utilità casuale Modello Logit multinomiale

Modelli di domanda Modelli a “scenari” Modelli statistico-econometrici Costruzioni di scenari alternativi che descrivono possibili stati del mondo, basati sull’identificazione e descrizioni di relazioni fondamentali tra variabili e con lo scopo di stimare gli impatti sulla politica d trasporto Pregi: previsioni what-if; flessibilità; non dipendenza dalla fonte dei dati Difetti: incertezza sulla natura, intensità, direzione dell’interazioni fra variabili e fra queste e gli scenari Modelli statistico-econometrici Modelli aggregati Modelli disaggregati

Modelli di domanda aggregati (1) Studiano la “generazione” della domanda di trasporto (bisogno di spostamento) fra varie zone (O/D) Modelli segmentati per fasi principali: Generazione Definiscono l’entità e la numerosità degli spostamenti Scelta modale Ripartizione della domanda fra le varie modalità Distribuzione Distribuire la domanda fra le varie zone Assegnazione Assegnazione delle unità di traffico ai percorsi che portano da i a j Valutazione Valutazione delle soluzioni identificate

Modelli di domanda aggregata (2) La fase di generazione e di ripartizione modale più delle altre sono quelle analizzabili come domande di trasporto Fase di generazione Modelli di generazione = modelli gravitazionali Tij = f (Ai; Bj; Cij) T = numero di spostamenti fra i e j A e B = opportunità di generare e attrarre spostamenti C = costo generalizzato dello spostamento i vari modelli si differenziano per le ipotesi sulla f, sulle variabili A-B, sulla struttura dei modelli

Modelli di domanda aggregata (3) Fase della ripartizione modale La domanda può essere soddisfatta da più di una modalità di trasporto (alternative) Due interpretazioni: “frequentista”: aggregazione della domanda soddisfatta da tutte le modalità e individuazione delle frequenze di ogni modalità → derivazione dei valori quantitativi dei traffici distinti per modo Preferenze: la domanda di una modalità è il risultato di una scelta dettata da preferenze → individuazione delle pobabilità di scelta Tre fasi di costruzione dei modelli Specificazione delle funzioni di scelta (individuaz. variabili) Formalizzazione (trasformazione in forme funzionali) Calibrazione (testare il modello)

Modelli a scelta discreta (1) Modelli disaggregati che analizzano le scelte individuali (comportamento) in maniera descrittiva, astratta, operativa Una scelta può essere vista come il risultato finale di un processo decisionale a fasi Elementi di una teoria della scelta: Decisore (individuo o gruppi) Alternative (insieme di scelta universale/individuale) Attributi (caratteristiche di alt. eterogenee) Regola di scelta Dominanza (confronto tramite attributi) Soddisfazione (soglie per gli attributi) Lessicografiche (rank degli attributi) Utilità (ordinale/cardinale)

Modelli a scelta discreta (2) Importanza del paradigma di individuo razionale (razionalità limitata) Teorie delle scelte Approccio classico: teoria del consumatore Integrazioni: albero delle utilità; beni come input per la produzione domestica, approccio di Lancaster Approccio delle scelte discrete Analisi delle “non scelte” di consumo Insiemi di scelta di natura discreta Individuare, tramite osservazioni, le preferenze del consumatore sulla base delle sue scelte (RP o SP)

Modelli a scelta discreta (3) Secondo l’approccio alla Lancaster, l’utilità è funzione degli attributi, ovvero: Dato un insieme di scelta C → Cn L’individuo n sceglie l’alternativa i ε Cn se e soltanto se Uin (Zin; Sn) > Ujn (Zjn; Sn) Vantaggi dell’interpretazione probabilistica: Inesatta conoscenza delle motivazioni individuali Eterogeneità delle preferenze Due approcci dei modelli probabilistici Approccio dell’utilità costante Approccio dell’utilità casuale (RUM)

Approccio dell’utilità costante L’individuo sceglie non in base alla massima utilità ma in base alla distribuzione probabilistica delle alternative Il più semplice modello di UC è quello di Luce (1959) basato sull’assioma di scelta: Le probabilità di scelta di un insieme dipendono solo dalle alternative incluse in questo insieme Dato l’assioma è possibile derivare un modello di scelta in cui le utilità sono direttamente proporzionali alle probabilità di scelta Limiti del modello: Indipendenza dalle alternative irrilevanti (IIA) Scalarità semplice (importanza delle differenze)→ indipendenza dell’ordine delle preferenze

Approccio dell’utilità casuale (1) Le inconsistenze nel comportamento individuale sono spiegate con la difficoltà dell’analista di osservare le funzioni di utilità dell’individuo L’utilità diventa perciò una variabile casuale → assunzione di una distribuzione di probabilità congiunta Ragioni della non coincidenza tra scelte realizzate e scelte osservate Importanza di attributi inosservati Presenza di preferenze inosservate Errori di misurazione e informazione imperfetta Utilizzo di variabili strumentali

Approccio dell’utilità casuale (2) L’utilità di un’alternativa può esprimersi come la somma di due componenti: Componente (utilità) deterministica V(z; S) Componente casuale ε(Z; S)→ termine di errore Un modello di scelta è derivato assumendo una specifica distribuzione di probabilità congiunta per i termini d’errore Assumendo IID per i termini di errore, la scelta diventa funzione delle differenze delle utilità delle alternative

Approccio dell’utilità casuale (3) Quando l’insieme di scelta comprende solo due alternative, i e j, si ha il caso dei modelli binomiali La probabilità dipende dalla differenze delle utilità (determ.)→ la scala delle utilità non conta L’utilità deterministica è funzione degli attributi e delle caratteristiche socioeconomiche Normale assunzione di linearità nei parametri (ma non negli attributi) Varie assunzioni sugli attributi da inserire (ASA) e sui parametri (ASP)

Approccio dell’utilità casuale (4) Il termine d’errore generalmente è assunto a Media zero → aggiungere una costante alla componente deterministica → “contano solo le differenze” Varianza data (fissare la scala delle utilità) Dipendente dagli attributi non osservati Diverse assunzioni sulla distribuzione del termine d’errore danno origine a modelli diversi Modello Lineare (distribuzione uniforme) Modello Probit (distribuzione normale) Modello Logit (distribuzione gumbel → logistica)

Modello Logit Multinomiale (1) I termini di errore sono assunti essere indipendenti e identicamente distribuiti (la matrice var/covar è diagonale) secondo una distribuzione detta Gumbel La loro differenza è invece distribuita secondo una logistica L’indipendenza dei termini di errore è una assunzione forte ma non impossibile (corretta specificazione della funzione di utilità)

Modello logit (2) Derivazione del modello La probabilità di un alternativa è data da Assumendo εin fisso, l’espressione sopra può essere intesa come la distribuzione cumulata di εjn valutata in uno specifico punto

Modello Logit Multinomiale (3) Dato che i termini di errori sono indipendenti, la distribuzione cumulata per tutti i j≠i è pari al prodotto delle singole distribuzione cumulate Dato che εin non è dato bisogna integrare per tutti i suoi possibili valori, quindi l’espressione precedente diventa Con opportuni passaggi matematici il tutto diventa

Proprietà di un modello Logit Multinomiale La P(i) è compresa tra 0 e 1 = la probabilità dipende dall’attrazione di un alternativa rispetto le altre La somma delle diverse probabilità è pari a 1 Facile interpretazione della relazione tra utilità deterministica e probabilità di scelta Fonte: Train, 2003

Limiti del modello Logit Multinomiale Assunzioni di termini di errori IID Identico termini di scala (relazione inversa con la varianza) per tutti gli errori Incapacità di considerare nel modello eterogeneità “non osservate” delle preferenze Incapacità di considerare correlazione delle scelte nel tempo Proprietà IIA = indipendenza dalle alternative irrilevanti (o sostituzione proporzionale fra le utilità)

Proprietà IIA Il rapporto tra le probabilità di due alternative non dipende dalla presenza/assenza di altre alternative In termini formali La proprietà IIA da vita al cosiddetto paradosso dell’autobus blu/rosso

Paradosso dell’autobus blu/rosso Due modalità di trasporto: Autovettura → P(A)= ½ Bus rosso → P(Br)= ½ P(A)/P(B) = 1 Introduzione di una nuova modalità ma quasi identica alla seconda (bus blu) P(Bb) = P(Br)= P(Bb)/P(Br) = 1 P(A)/P(Br) non deve cambiare per la IIA Questo è possibile solo se P(A)= P(Bb) = P(Br) = 1/3 In realtà ci si aspetterebbe P(A)= ½ P(Bb)= P(Br)= ¼

Ancora sul’IIA La IIA può essere definita anche come sostituzione proporzionale fra un alternativa e le altre Ovvero se un alternativa migliora/peggiora tale cambiamento fa diminuire/aumentare proporzionalmente le probabilità di scelta delle altre alternative IIA è un’assunzione valida se le alternative sono realmente percepite come distinte. Se così allora: Stima delle probabilità su sottoinsiemi di scelta Interessi dell’analista Test per validare l’IIA Due fasi di stima con differenti (ridotti) insieme di scelta Stima dopo l’introduzione di attributi di altre alternative

Altri elementi da considerare: aggregazione Problemi nell’aggregazione delle scelte individuali (a differenza di modelli lineari o di regressione) Varie procedure di aggregazione: rappresentatività del dei campione; segmentazione Fonte: Train, 2003

Altri elementi da considerare: metodi di stima Metodo principalmente utilizzato è quello della massimo verosimiglianza (ML) Dato un campione di N osservazioni bisogna trovare quei parametri (stime) che massimizzino la funzione di verosimiglianza (ovvero che riproducano verosimilmente le scelte effettive) e che rispettino alcuni test statistici (consistenza, efficienza, distribuzione normale).

Altri elementi da considerare: derivate e…. Derivate delle probabilità logit Derivata diretta Derivata indiretta

Elasticità incrociata …ed elasticità Elasticità del modello logit Elasticità diretta Elasticità incrociata

Altri elementi da considerare: test sui diversi elementi del modello Esistenza di diversi test sugli elementi del modello tra cui T-statistici Rapporto di verosimiglianza (con rispetto la cost. o l’assenza di parametri) Test sulla bontà del modello Test degli attributi generici Test sull’IIA Test su specificazioni non lineari