Metodi matematici dellastronomia Equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali (continua) Si ricorda innanzitutto che, pur riferendoci per semplicità a una singola eq. diff., tutto ciò che si dice vale anche per sistemi (basta sostituire il simbolo di vettore a y e f(x,y)). Per quanto riguarda lerrore, una maggiorazione dellerrore di troncamento globale si può fare in analogia con quanto visto per la formula di quadratura numerica del trapezio e del rettangolo, sommando gli errori locali fatti a ogni passo: che corrisponde al fatto che, globalmente, un metodo localmente di ordine p diventa di ordine p-1. Naturalmente, non conoscendo la soluzione esatta y(x) la maggiorazione derrore va fatta utilizzando il fatto che y =f(x,y), per cui y = f (x,y)

Metodi matematici dellastronomia che permette una stima derrore effet- tuando la maggiorazione di f(x,y) come funzione di 2 variabili. Metodi di Runge-Kutta Sono metodi che utilizzano valutazioni della funzione f(x,y) in un insieme di punti entro lintervallo x n, x n +h. Il più semplice di tali metodi è il Metodo di Heun (metodo di R-K del 2 0 ordine). Si basa su unapprossimazione trapezoidale esplicita, cioè sullottenere lapprox. di y in x n+1 = x n +h come dove al posto di y n+1 (che renderebbe il metodo implicito) cè una sua approx. y (1) n+1 data da una passo di Eulero in avanti

Metodi matematici dellastronomia Risulta chiaramente che tale metodo equivale alla valutazione di y n+1 come media aritmetica di 2 stime avanzate: y (1) n+1, appunto, e y (2) n+1 definita come un passo di Eulero semi-implicito per cui: Si verifica che y(x;h)-y(x)=c 2 (x)h 2 +c 3 (x)h 3 +···+, quindi il metodo è di 2 0 ordine. Il più usato tra i metodi di R-K è quello del 4 0 ordine, definito dalla sequenza di calcoli:

Metodi matematici dellastronomia Poichè, come si può verificare, si ha y(x;h)-y(x)=c 4 (x)h 4 +c 5 (x)h 5 +···+ Il metodo è del 4 0 ordine. Interpretazione euristica delle formule di R-K Nellintervallo [x n,x n+1 ], dove x n+1 x n +h, la sol. esatta delleq. diff. dareb- be Lidea dei metodi di R-K consiste nell approssimare lintegrale usando i dati di- sponibili. Ad es., il metodo di Heun si

Metodi matematici dellastronomia ricava immediatamente se f dipende solo da x. In tal caso, infatti, si può approssimare lintegrale con la formula del trapezio: che è appunto la formula di Heun per f che non dipende da y. Lerrore della form. di Heun sarebbe lo stesso della formula trapezoidale se si conoscesse f(x n+1,y(x n+1 )) da mettere nellappross. dellintegrale. Poichè invece si usa f(x n+1,y (1) (x n+1 )), che ha un errore locale: (dove y (x n )=f(x n,y n )) ecco che la f. di Heun ha errore che contiene tutte le potenze 2 di h, mentre quella trapezoidale contiene solo le potenze pari maggiori o uguali a 2.

Metodi matematici dellastronomia Similmente, il metodo di R-K del 4 0 ordine si ricava immediatamente se f=f(x) approssimando lintegrale con la formula di Simpson, considerando anche il punto di mezzo tra x n e x n+1, x n+1/2 x n +h/2: che è proprio lespress. di R-K, tenuto conto che k 2 =k 3 poichè f dipende solo da x. Lerrore globale è quindi del 4 0 ordine, come nel metodo di S., anche nel caso generale f=f(x,y).

Metodi matematici dellastronomia Metodi impliciti (predictor-corrector) Il più semplice metodo implicito è quello trapezoidale (si noti che tale metodo corrisponde alla media aritmetica fra un passo di Eulero in avanti e uno indietro, da cui il nome, anche, di m. di Eulero modificato). Il metodo è chiaramente implicito, in quanto y n+1 appare come argomento di f(x,y); lespressione è quindi del tipo y n+1 =F(x n,x n+1,y n,y n+1 ). Se, quindi, f è una funzione non-lineare si tratta di risolvere uneq. (o un sist. deq.) non-lineare a ogni passo dintegrazione. Ricordando le consi- derazioni generali sui m. iterativi risulta spontaneo lutilizzo di un metodo iterativo tipo

Metodi matematici dellastronomia in cui lindice iterativo è in realtà un apice (k). E possibile verificare che un criterio suff. per la convergenza del m. iterativo nel caso di un sistema è, in analogia col caso della singola eq. con lusuale significato dei simboli di norma matriciale, derivate di vettori, ecc.. La convergenza è tanto più rapida quanto più piccola è la norma della matrice delle derivate della funz. vett. f(x,y). Una scelta iniziale y (0) n+1 valida e spontanea è quella di un passo di Eulero esplicito: y (0) n+1 = y (0) n +hf(x n,y n ). La scelta iniziale si chiama predittore (predictor) e la correzione iterativa correttore (corrector), per cui il m. implicito si chiama predictor-corrector.

Metodi matematici dellastronomia La fine del procedimento iterativo può avvenire quando è soddisfatta una condizione derrore con >0 prescelto, oppure prefissando un numero massimo, k max, di iterazioni (la cosa migliore è la combinazione dei 2 criteri). Si noti che il metodo di Heun corrisponde alla scelta k max =1. E ovvio che un buon predictor riduce il numero di iterazioni necessarie per arrivare a una buona approssimazione di y n+1. Metodo di Adams-Bashforth-Moulton Il più noto, e usato, m. predictor-corrector è quello di Adams-Bashforth -Moulton. E del 5 0 ordine localmente sia nel predictor

Metodi matematici dellastronomia (Adams-Bashforth) che nel corrector (Adams-Moulton). Le espressioni sono Predictor (A-B) Corrector (A-M) Nelle espressioni di sopra f n =f(x n,y n ), ecc.. Il predictor serve chiaramente a evitare che il corrector sia una complicata espressione implicita per y n+1 (y n+1 ottenuto col predictor va messo in f n+1 nel corrector). Il metodo risulta quindi globalmente del 4 0 ordine.

Metodi matematici dellastronomia Un metodo alle differenze per uneq. diff. del 2 0 ordine Eq. della forma y =f(x,y), con le c.i. y(a)=, y (a)= sincontrano spesso in Fisica e astronomia (le equazioni del moto sono di quel tipo, dove a primo membrocè laccelerazione e lespressione a secondo membro è la legge di forza ). Naturamente una possibilità di soluzione numerica passa attraverso la consueta riscrittura come sistema di eq. diff. del 1 0 ordine. Si possono usare, però, anche approssimazioni dirette (alle differenze) della derivata seconda come quella (ottenibile dalla somma m. a m. di uno sviluppo di Taylor per y n+1 e per y n-1 ) e della derivata prima (sempre al 2 0 ordine e sempre con la combinazione

Metodi matematici dellastronomia lineare di 2 sviluppi di Taylor in avanti e indietro): Ne risulta il metodo (chiamato metodo centrale esplicito alle differenze) Che non può essere utilizzato finchè non si elimina y -1 dallespress. Alle differenze della c.i. sulla derivata. Tale eliminazione si può fare espri- mendo y -1 tramite la prima relazione del metodo scritta per n=0, ottenendo

Metodi matematici dellastronomia Problemi stiff Alcuni problemi differenziali sono tali da essere intrinsecamente difficili da risolvere numericamente in maniera affidabile. Questi problemi sono detti stiff (rigidi, difficili). Vediamo con alcuni esempli. a)Leq. y =100y ha soluzione esatta y(x)=c 1 e 10x +c 2 e -10x. Lesponenziale crescente è assente quando le c.i. sono y(0)=1 e y (0)=-10. In tal caso la c 1 =0, c 2 =1 e la sol. è y(x)=e -10x. Applicando al problema detto i metodi Numerici precedentemente visti si verifica però che la soluzione dopo un po invece di convergere a zero esplode positivamente o negativamente con andamento e 10x, come se c 1 fosse diverso da zero. Il motivo è la transizione, per errore di arrotondamento, dalla soluzione esatta corrispondente alle c.i. date a una adiacente che corrisponde alla generale c. lineare dei 2 esponenziali.

Metodi matematici dellastronomia Per capire meglio la cosa si suggerisce per es. di studiare il problema perturbato y =100y, y(0)=1 e y (0)=-10+, la cui sol. è y (x)=( /20)e 10x +(1- /20) e -10x, che corrisponde, in pratica, alleffettiva soluzione numerica del problema. Un altro tipico problema stiff è quello della presenza di scale temporali Multiple nella soluzione, come si può vedere con lesempio del sistema: La sol. del sistema si ottiene ponendo u=2y-z e v=-y+z, sostituendo e sommando m. a m. e moltiplicando la 2 a eq. per 2 e poi sommando m. a m.

Metodi matematici dellastronomia Il sistema si disaccoppia in cioè: Nelle sol. ci sono due componenti esponenziali che decadono entrambe ma con tempi di decadimento molto diversi, una delle 2 avendo un tempo di decadimento 1000 volte più grande. Questo vuol dire che un metodo numerico esplicito per essere accettabile deve usare un passo che Sia in grado di seguire la soluzione più rapidamente variabile. Poichè una ragionevole scelta del passo si ottiene richiedendo che tra n e n+1 lincremento relativo di y sia inferiore a una costante prefissata: ecco che nellesempio sopra dato il passo risulta h n+1 =min(1,1/1000)

Metodi matematici dellastronomia con ovvio sovraccarico di calcoli, che implica lungo tempo dattesa e aggravio nellerrore accumulato di arrotondamento e troncamento. Qunado ci sono problemi stiff, instabili, è opportuno ricorrere a metodi Impliciti. Vediamo, infatti, che il metodo esplicito di Eulero soffre di instabilità per h grande nel caso di un eq. tipo y =-cy, c>0. In tal caso il m. di E. esplicito dà: y n+1 =(1-ch)y n. Tale metodo diverge se |1-ch|>1, cioè (essendo c,h>0) se ch>2 h>2/c, mentre la sol. esatta converge a zero. Il metodo di E. implicito applicato alleq. y =-cy dà invece y n+1 =y n /(1+ch) che risulta stabile perchè converge a zero anche se h è grande (se però si usa h grande la soluzione può essere molto poco accurata anche se tende correttamente a zero per x grande). Anche il metodo del trapezio (implici-

Metodi matematici dellastronomia Unintegrazione accurata e sufficientemente rapida richiede controllo e modifica del passo h. Una possibilità è il controllo e modifica precedente- to del 2 0 ordine) è stabile, se applicato alleq. sopra scritta. Infatti dà e quindi y n+1 converge a zero. Tutte queste considerazioni permangono valide per sistemi di eq. diff. li- neari del tipo y =-Cy, dove C è una matrice definita positiva, e anche a sistemi y =f(x,y), dopo linearizzazione di f(x,y). Controllo del passo dintegrazione

Metodi matematici dellastronomia mente vista, che consisteva nell utilizzare (per avanzare la soluzione da x n a x n+1 ) un passo, h n+1, che fosse abbastanza piccolo da limitare la variazione relativa di y tra y n e y n+1 ottenibile con un passo di Eulero in avanti. Tale metodo è grossolano ma semplice da implementare. Un controllo forse migliore è quello che viene dalla scelta di un passo h che limiti lerrore per passo a un valore prefissato. Esso si basa su una scelta di h e sulle valutazioni y (1) n+1 e y (2) n+1 a x n+1 =x n +h ottenute, rispettivamente, con un passo h e con 2 passi h/2. Ricordando lespressione che dà origine allestrapolazione di Richardson Si può fermare loperazione di dimezzamento del passo quando si ha l n < h.