Università degli Studi di Cassino Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Tesi di Laurea STIMA DEI PARAMETRI DEI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA IN PRESENZA DI INTERFERENZA ARMONICA Relatore Chiar.mo Prof. Consolatina Liguori Candidato Petricca Riccardo Matr. 17/00115 ANNO ACCADEMICO 2002-2003

Sommario DFT e FFT : cause di errore. Metodi tradizionali presenti in letteratura per la determinazione dei parametri di un segnale nel dominio della frequenza. Metodo Proposto in questo lavoro : IFFTc Determinazione della correzione su frequenza (fic), ampiezza (Aic) e fase (φic) dei segnali in presenza di Interferenza Armonica. Caratterizzazione Metrologica degli algoritmi: Errore Residuo Incertezza Confronto tra IFFTc e gli altri metodi. Metodo per risolvere toni nascosti.

Obiettivo Problema Sia dato lo spettro di un generico segnale reale f1 , A1 f3 , A3 NToni = ? |X(f)| f2 , A2 massimo ki : fi , Ai , φi = ? f4 , A4 f Gli approcci presenti in letteratura prevedono di elaborare i campioni della DFT nell’intorno del massimo ki dello spettro d’ampiezza, al fine di valutarne frequenza (fi), ampiezza (Ai) e fase (φi). I campioni della DFT sono intrinsecamente affetti da errori dovuti principalmente a tre cause: Problema

Cause di errore nella DFT (1/3) Aliasing dovuto alla banda del segnale in analisi ed alla frequenza di campionamento. Per evitare problemi di “aliasing” nell’uso dell’algoritmo di FFT si suppone sempre l’utilizzo a monte del circuito di campionamento di opportuni filtri anti-aliasing Dispersione Spettrale o Spectral Leakage LPF Anti-aliasing x(t) A/D x(n) fs S. L. EAi fi fm=kiΔf Ai Am δi dovuto al rapporto in genere non intero esistente fra la frequenza di campionamento e le frequenze delle armoniche del segnale di analisi, indicato come campionamento asincrono, e la cui entità dipende anche dall’operazione di finestratura.

Cause di errore nella DFT (2/3) Interferenza Armonica dovuta alla presenza di componenti armoniche del segnale di analisi “vicine” in frequenza (legata a Δf). Per un segnale multifrequenziale, interferenza armonica è il fenomeno che si manifesta quando i campioni spettrali relativi alla i-esima armonica dipendono anche da quelli delle altre componenti (vedi figura). Può essere molto dannoso in quanto toni forti possono nascondere toni deboli.

Cause di errore nella DFT (3/3) Esempio dell’effetto combinato dell’Interferenza Armonica e dello Spectral Leakage su un segnale con due sole armoniche.

Metodi tradizionali per la stima dei parametri dei segnali nel dominio della frequenza Metodi d’interpolazione mediante parametri energetici (Energy based-paramethers algorithms). Si basano sulla valutazione di alcuni parametri relativi all’energia delle componenti spettrali, da cui, applicando le proprietà della DFT, si ricavano le stime di δi , Ai e φi. Questi parametri si calcolano su pochi campioni locati nella banda B=[-K,K]. Risentono molto dell’Interferenza Armonica (hanno un comportamento a soglia per d<9bin le stime non sono affidabili). Metodi basati sull’uso di Stimatori: MLE (Maximal Likelihood Estimator) LSM (Least Square Method) Necessitano la conoscenza a-priori del modello d’analisi. Interpolated FFT: IFFT su due punti (IFFT2p) IFFT con interpolazione su più punti (WIFFT) IFFT3p (three-points IFFT) IFFT5p (five-points IFFT)

IFFT (1/2) Lo spettro d’ampiezza di un segnale con P componenti frequenziali: è caratterizzato da P picchi, se non ci sono toni nascosti. Il picco corrispondente all’i-esimo tono frequenziale può essere identificato con l’indice ki Si ha quindi che la stima della frequenza è data dalla conoscenza di: Con la tecnica IFFT (Interpolated FFT) si realizza un’interpolazione dei campioni della DFT, basata sullo spettro della finestra. In particolare l’IFFT classica, quella su due punti (2-points IFFT o IFFT2p), determina le componenti frequenziali, considerando solo i due più alti campioni corrispondenti al picco dello spettro. ki-1 ki+1 ki La IFFT stima δi considerando il rapporto αi tra questi due campioni:

IFFT con interpolazione su più punti Per la finestra di Hanning abbiamo: IFFT con interpolazione su più punti Una delle varianti principali dell’algoritmo di IFFT è l’interpolazione dell’FFT su un numero variabile di punti (Weighted Multipoint Interpolated FFT), in particolare noi consideriamo quella su tre e su cinque punti (IFFT3p e IFFT5p). In questo caso δ può essere ricavato nel seguente modo: IFFT3p IFFT5p

Algoritmo Proposto: IFFTc (1/2) Le formule di interpolazione viste sono state determinate considerando del tutto trascurabile l’interferenza armonica. Se questa non è più trascurabile le relazioni non sono più valide. Si consideri il segnale x(t), i campioni spettrali del segnale finestrato sono dati da: Evidenziando in queste relazioni i contributi di interferenza sull’i-esima componente spettrale dovuti alle P-1 componenti del segnale otteniamo: I contributi dell’interferenza armonica trascurati nell’IFFT possono essere eliminati dalle formule d’interpolazione. Per poter quindi stimare le caratteristiche del segnale si può far riferimento al coefficiente α “corretto”:

Algoritmo proposto: IFFTc (2/2) Le equazioni per la stima dei parametri delle componenti spettrali vanno modificate ottenendo le relazioni: ALGORITMO IFFTc IFFT2p Ad ogni picco dello spettro d’ampiezza del segnale si applica IFFT2p per stimare la frequenza, ampiezza e fase della corrispondente componente spettrale non considerando gli effetti dell’Interferenza Armonica. (per ogni i: fi , Ai , i ) Correzione Usando le stime ottenute al passo precedente si determina per ogni picco i fattori di correzione usando i due campioni dell’IFFT. (per ogni i: Fi e Bi ) IFFT2p sui campioni corretti In questo modo le frequenze, ampiezze e fasi calcolate risultano corrette dall’effetto dell’Interferenza Armonica. (per ogni i: fic , Aic , ic )

Verifica Procedura (1/2) Al fine di mostrare la validità del metodo proposto, IFFTc è stato confrontato con i metodi tradizionali: Metodi Basati sul calcolo di parametri energetici (Energy) IFFT o IFFT2p IFFT3p IFFT5p Al fine di facilitare la lettura dei grafici ed evidenziare le differenze: È stato analizzato il caso di un segnale con: due toni tre toni P toni IFFT 2p IFFT c IFFT 3p IFFT 5p Energy Method

Verifica Procedura (2/2) Segnale in ingresso con due soli toni: con fdx = fsx+ d12f ; fs=800 Per entrambi i toni sono stati confrontati gli errori su: Frequenza f o sul δ Ampiezza Fase Analisi al variare: Frequenza (fsx , fdx) Distanza tra i toni (d12) Ampiezza (Asx , Adx) Fasi iniziali (φsx , φdx) Punti della DFT (N)

Analisi al Variare della frequenza Asx=Adx=100 ; sx=dx=0 ; d12=5 ; N=256 ; fsx variabile da fsx=5 ad fsx=115. Errore su sx Errore su dx 6·10-3 1·10-3 L’errore non dipende dalla frequenza ma solo dal , quindi i valori di f possono essere mantenuti costante sia per IFFT che IFFTc IFFT IFFTc

Analisi al Variare della distanza tra i toni (1/2) Asx=Adx=100 ; sx=dx =0 ; fsx=(N/2+0.65)Δf d12 variabile da d12 =3 a d12 =20. Errore su fsx Errore su Asx 0.08 1 Anche per la stima della fase si ottengono risultati analoghi. Il metodo basato sull’energia ha come detto all’inizio un comportamento a soglia. Per la WIFFT bisogna tener conto del numero di punti di interpolazione e della distanza in bin dei toni. IFFT3p IFFT5p IFFT IFFTc Energy

Analisi al Variare della distanza tra i toni (2/2) Errore su fdx Errore su Adx 0.09 0.9 L’errore sia sulla stima della frequenza che dell’ampiezza con IFFTc è ridotta rispetto a tutti gli altri metodi di due ordini di grandezza. IFFT3p IFFT5p IFFT IFFTc Energy

Analisi al Variare dell’ampiezza (1/2) sx=dx =0 ; fsx=(N/2+0.65)Δf ; N=256 ; d12 =3 ; Asx variabile da Asx=1 ad Asx=100 ; Adx=100 ; Errore su fsx Errore su Asx 1.4∙10-2 2.5 IFFT3p IFFT IFFTc

Analisi al Variare dell’ampiezza (2/2) Errore su fdx Errore su Adx 1.4·10-3 0.25 Come atteso, gli errori incrementano sulla seconda sinusoide e decrescono sulla prima, mentre Asx cresce; infatti il tono più grande interferisce di più ed è meno suscettibile di quello piccolo. IFFT3p IFFT IFFTc

Analisi al Variare della fase Asx=Adx=100 ; fsx=(N/2+0.65)Δf ; d12 =5 ; N=256 ; sx variabile da sx=0 a sx=2π ; dx =0. Errore su fsx Errore su Asx 0.016 0.12 Si osserva che per ambedue i toni gli errori massimi della IFFT e IFFT3p si hanno per sx=0 e per sx= ; l’effetto sistematico residuo della IFFTc e molto più piccolo di quello della IFFT e IFFT3p, anche se ha lo stesso comportamento. IFFT3p IFFT IFFTc

Analisi al Variare di N * * * + + + Asx=Adx=100 ; sx=dx =0 ; fsx=(N/2+0.65)Δf ; d12 =20 ; N={128 , 256 , 512 , 1024 , 2048}. Errore su fsx Errore su Asx 3·10-4 0.018 La variabilità con IFFTc è ridotta rispetto agli altri metodi per tutti i valori di N. * * IFFT3p N=256 IFFT3p N=512 * IFFTc N=256 IFFT N=512 * IFFTc N=512 IFFT N=1024 IFFTc N=1024 IFFT3p N=1024 IFFT N=256 + + + IFFT N=2048 IFFT3p N=2048 * IFFTc N=2048

Analisi per tre toni (1/2) Segnale con tre toni: con fcen = fsx+ d12f ; fdx = fcen+ d23f ; fs=800 È stata valutata la dipendenza da: Frequenza (fsx , fcen , fdx) Distanza tra i toni (d12 , d23 ) Ampiezza (Asx , Acen , Adx) Fasi iniziali (φsx , φcen , φdx) Punti della DFT (N) Si ottengono risultati analoghi al caso con due armoniche ma con un lieve degrado delle stime poiché ogni armonica risente non più di un solo tomo ma di due toni interferenti.

Analisi per tre toni (2/2) Asx=Acen=Adx=100 ; sx=cen=dx =0 ; fsx=110; N=1024; fs=800; d12 =d23 =d variabile da d=3 a d=20. Errore sulla stima della frequenza Errore sulla stima dell’ampiezza L’armonica centrale è la più penalizzata (come si evince dalle figure). Gli errori di IFFTc sono visibilmente inferiori. 0.04 0.4 0.06 0.4 3·10-3 0.01 IFFT3p IFFT IFFTc

Analisi per P toni Il segnale in analisi è: Sono state effettuate prove per P=4 , P=5 , P=10 e P=20. Per questi valori di P sono state nuovamente effettuate le simulazioni viste nel caso di due e tre toni. Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe alle precedenti. Le stime peggiorano in quanto la singola armonica subisce l’interferenza di P-1 toni adiacenti. L’algoritmo IFFTc è meno influenzato dall’aumento di P infatti a differenza degli altri metodi non c’è la sovrapposizione degli effetti dell’interferenza e un conseguente degrado della stima.

Incertezza Per i metodi analizzati l’incertezza è stata valutata con un approccio di tipo “white box”. Metodo “white box”: Analisi teorica si applica la legge di propagazione delle incertezze alle relazioni ricavate dalla teoria. Verifica numerica si fa lavorare il software su dati di un modello in grado di simulare i segnali reali. Validazione sperimentale si passa a lavorare su segnali reali. La sorgente di incertezza considerata è il rumore che viene introdotto nella fase di conversione A/D, che è la causa di incertezza principale nelle valutazioni di interesse. I risultati sperimentali presenti in letteratura evidenziano infatti che la principale fonte di incertezza nell’algoritmo della DFT risulta essere la quantizzazione seguita dal jitter il che permette di non considerare le altre fonti di errore.

Propagazione Incertezza (1/3) Algoritmo di IFFT Alle formule ricavate per IFFT è stata applicata la legge di propagazione dell’incertezza (UNI CEI 9) ottenendo per αi , δi , fi ed Ai le seguenti espressioni per l’incertezza:

Propagazione Incertezza (2/3) Metodo basato sull’Energia Alle formule per il metodo basato sull’Energia è stata applicata la legge di propagazione dell’incertezza ottenendo: IFFT con Interpolazione su più punti Con approccio simile è stato caratterizzato dal punto di vista metrologico anche l’algoritmo IFFT con interpolazione su più punti. Si può osservare che: IFFT3p ha un’incertezza minore di quella di IFFT5p ma maggiore di IFFT2p IFFT5p presenta un’incertezza maggiore di IFFT3p e IFFT2p

Propagazione Incertezza (3/3) IFFTc Per IFFTc usando lo stesso approccio si ricava l’incertezza su δi : Per quanto concerne l’incertezza su αic questa dipende dall’incertezza sui campioni Xg(ki) e Xg(ki+1) e dall’incertezza sui fattori di correzione Fi e Bi. Si dimostra che quest’ultime possono essere trascurate IFFT + rumore IFFTc + rumore Incertezza su δi e δic 7.6·10-5 3.5·10-4

Incertezza tipo della frequenza Come specificato dalla norma: “l’incertezza descrive completamente l’affidabilità di una misura solo se il risultato è corretto da tutti gli effetti sistematici, i quali determinano uno scostamento del valore misurato da quello del valore vero convenzionale e che significativamente influenzano le stime”. A tal fine si definisce una nuova variabile dove i è restituito dallo specifico algoritmo e E tiene conto dell’errore residuo. In particolare, E è una variabile casuale a valor medio nullo (che di conseguenza non altera il valore stimato dall’algoritmo) e con una dev. st. relativa all’errore residuo. L’incertezza di deve essere valutata come è l’incertezza sul valore  stimato è l’incertezza dovuta all’errore residuo ed è uguale alla deviazione standard della variabile casuale E .

Confronto Incertezze (1/2) L’incertezza dovuta all’errore residuo è valutata per ogni metodo misurando la dev. st. su un set di segnali simili. In particolare, dato che l’analisi esposta precedentemente mostra che l’errore residuo dipende principalmente dai dij, i set di prova sono stati realizzati variando 1 in [-0.5, 0.5], 2 in [-π/2, π/2], e anche dij è stato fatto variare in [d0–0.5, d0+0.5]. In Tabella sono riportati i valori delle dev. st. rispetto a d0, per un segnale con due toni per i diversi metodi considerati. N=256 ; f1=N/4+d d0 IFFT 2p c 3p 5p Energy 4 5.0E-3 8.8E-5 4.0E-3 1.6E-2 1.3E-1 5 2.4E-3 2.0E-5 1.3E-3 1.2E-3 5.7E-1 6 6.3E-6 5.5E-4 4.3E-4 5.4E-1 7 8.3E-4 2.4E-6 2.8E-4 2.2E-4 3.2E-2 8 1.1E-6 1.6E-4 1.3E-4 5.4E-4 9 3.8E-4 5.3E-7 9.8E-5 8.5E-5 9.6E-5 10 2.9E-7 6.3E-5 5.9E-5 4.7E-5 11 8.3E-5 1.1E-7 1.2E-5 1.5E-5 12 4.1E-5 1.4E-7 4.7E-6 7.0E-6 9.1E-6 N=256 ; f1=N/4+d d0 IFFT 2p c 3p 5p Energy 4 2.5E-2 8.8E-5 1.9E-2 9.8E-2 2.4E-1 5 1.2E-2 2.0E-5 6.3E-3 4.5E-1 6 6.6E-3 6.2E-6 2.7E-3 2.8E-3 1.07 7 4.1E-3 2.4E-6 1.4E-3 1.2E-3 4.8E-1 8 1.1E-6 7.8E-4 6.6E-4 1.4E-2 9 1.9E-3 6.1E-7 4.8E-4 4.3E-4 1.5E-3 10 4.5E-7 3.1E-4 2.9E-4 3.8E-4 11 4.0E-4 5.3E-7 5.9E-5 7.5E-5 4.1E-5 12 2.0E-4 7.0E-7 2.3E-5 3.5E-5

Confronto Incertezze (2/2) N=256 ; f1=N/4+d d0 IFFT 2p c 3p 5p Energy 4 2.5E-2 8.8E-5 1.9E-2 9.8E-2 2.4E-1 5 1.2E-2 2.0E-5 6.3E-3 4.5E-1 6 6.6E-3 6.2E-6 2.7E-3 2.8E-3 1.07 7 4.1E-3 2.4E-6 1.4E-3 1.2E-3 4.8E-1 8 1.1E-6 7.8E-4 6.6E-4 1.4E-2 9 1.9E-3 6.1E-7 4.8E-4 4.3E-4 1.5E-3 10 4.5E-7 3.1E-4 2.9E-4 3.8E-4 11 4.0E-4 5.3E-7 5.9E-5 7.5E-5 4.1E-5 12 2.0E-4 7.0E-7 2.3E-5 3.5E-5 N=256 ; f1=N/4+d d0 IFFT 2p c 3p 5p Energy 4 5.0E-2 8.8E-5 3.6E-2 2.0E-1 2.5E-1 5 2.4E-2 2.0E-5 1.2E-2 2.7E-2 3.0E-1 6 1.3E-2 6.2E-6 5.4E-3 8.0E-3 1.08 7 8.2E-3 2.4E-6 2.8E-3 9.0E-1 8 1.2E-6 1.6E-3 1.4E-3 5.3E-2 9 3.8E-3 8.2E-7 9.6E-4 8.7E-4 6.2E-3 10 7.6E-7 6.3E-4 5.9E-4 11 6.7E-4 9.2E-5 1.2E-4 6.5E-5 12 4.0E-4 1.4E-6 4.7E-5 6.9E-5 3.6E-5 Come si può vedere, IFFTc è caratterizzata da un E molto più basso di quello degli altri metodi (fino a 2-3 ordini di grandezza); anche la variabilità con d e N è notevolmente ridotta.

Esempi di Incertezza Combinata (1/2) Per quantificare meglio il contributo del E all’incertezza totale è necessario introdurre alcuni parametri riguardanti la configurazione hardware (Nbit , Vfs , del convertitore A/D), la condizione operativa del convertitore (N) come anche le caratteristiche del segnale d’ingresso. 4·10-4 3·10-5 4 6 8 10 d12 12 14 16 18 d12 0.4 2·10-3 4 6 8 10 d12 12 14 16 18 d12 0.4 1·10-3 4 6 8 10 d12 12 14 16 18 d12 Fig. (a) IFFT IFFTc IFFT3p

Esempi di Incertezza Combinata (2/2) Prove al variare di: (a) d12 con N e Nbit fissi (b) N con d12 e Nbit fissi (c) Nbit con d12 e N fissi 4·10-5 2·10-3 128 256 512 1024 2048 N 6 7 8 9 10 11 Nbit 1.5·10-3 2·10-3 128 256 512 1024 2048 N 6 7 8 9 10 11 Nbit 6·10-4 2·10-3 128 256 512 1024 2048 N 6 7 8 9 10 11 Nbit Fig. (b) Fig. (c) IFFT IFFTc IFFT3p

Metodo per la risoluzione di toni nascosti Esempio: Presenza di toni nascosti

Idea alla base del nuovo metodo Segnale con toni nascosti Spettro Ricostruito Ricompare il Tono Nascosto Spettro Ampiezza - - Spettro IFFTc = = Spettro differenza

Conclusioni Dall’esame dei risultati si evidenzia che: Errore Residuo L’errore residuo presentato da IFFTc è sempre minore di quello presentato dagli altri metodi. Mentre i metodi tradizionali risentono del variare delle caratteristiche dei segnali in ingresso, soprattutto alla distanza tra i toni, IFFTc è poco sensibile alle specifiche caratteristiche del segnale. IFFTc restituisce quindi stime più accurate. Incertezza Nel confronto si è tenuto conto oltre alla variabilità dei risultati forniti anche dell’errore residuo che va ad aumentare, opportunamente combinato, l’incertezza del risultato finale. L’algoritmo proposto presenta i valori di incertezza più bassi per ogni genere di segnali in ingresso.

Sviluppi Futuri Messa a punto e caratterizzazione metrologica della tecnica per la misura dei parametri dei segnali anche in presenza di toni nascosti. “Intelligent FFT-Analyzer”: realizzazione di uno strumento di misura che impiega le relazioni ottenute per fornire in tempo reale le caratteristiche dei segnali con la loro incertezza.