Parte XXI: Proprietà magnetiche della materia Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XXI: Proprietà magnetiche della materia Magnetizzazione e correnti di polarizzazione L’intensità di magnetizzazione L’origine microscopica del momento magnetico Diamagnetismo e precessione di Larmor Superconduttori ed Effetto Meissner Effetto Josephson e SQUID Paramagneti e Ferromagneti Isteresi magnetica e Temperatura di Curie Circuiti magnetici ed Elettromagneti

Magnetizzazione e correnti di polarizzazione La materia sottoposta a campi magnetici risponde in due modi qualitativamente diversi: o non sembra reagire affatto o si lascia attirare (respingere) da magneti e/o correnti In realtà i campi magnetici interagiscono con i moti elettronici (correnti atomiche) di qualunque mezzo materiale e la natura microscopica dei moti elettronici origina il diverso comportamento dei mezzi. Abbiamo visto che all’interno di un solenoide il campo magnetico è uniforme e, nel vuoto, vale Se inseriamo un mezzo materiale all’interno del solenoide troviamo che il campo si Modifica di un fattore mr, che al contrario del caso elettrico può essere anche minore di 1. mr si chiama permeabilità magnetica relativa (al vuoto) del mezzo e dipende, ovviamente dalle proprietà chimico-fisiche mezzo materiale che abbiamo posto nel solenoide. Si dice che il mezzo, sotto l’azione del campo esterno si magnetizza.

In analogia al caso elettrico possiamo pensare che le cose vanno come se la materia introducesse delle nuove correnti: le correnti di polarizzazione (magnetizzazione) tali da far sì che Possiamo cioè pensare che la materia equivalga ad un ulteriore avvolgimento di n’ spire per unità di lunghezza dove scorre una corrente i’, e possiamo definire la suscettività magnetica cm. Tali correnti, se esistono (e vedremo che esistono realmente!), sono la media delle correnti microscopiche che il campo suscita nella materia Come vedremo in dettaglio più avanti, il moto orbitale degli elettroni è assimilabile ad una corrente circolare e, quindi, sulla base del teorema di Ampère, ad ogni elettrone in moto orbitale possiamo assegnare un momento magnetico (il magnetone di Bohr). L’effetto del campo esterno sarà quello di aumentare o diminuire la velocità di rotazione degli elettroni ovvero quello di orientare i momenti magnetici, facendo sì che gli atomi acquistino un momento magnetico medio non nullo

L’intensità di magnetizzazione La presenza di momenti magnetici microscopici, e, quindi, di momenti magnetici medi (per tempi lunghi e regioni grandi rispetto alle scale atomiche), permette di definire il momento magnetico medio dell’unità di volume come (l’intensità di) magnetizzazione Dobbiamo, come nel caso della polarizzazione dei dielettrici, mettere in relazione la magnetizzazione con le correnti microscopiche. Per far questo immaginiamo che ogni atomo abbia un momento magnetico pari al momento magnetico medio, in modo che con n numero di atomi per unità di volume Proviamo a calcolare la corrente che in media scorre nella materia dovute alle correnti atomiche

dz dy 1 2 3 4 x y z Consideriamo le correnti atomiche in un sistema di riferimento che fluiscono nella direzione x attraverso un quadratino di lati dy e dz DS Sy Notiamo che solo quelle correnti la cui spira è attraversata dai lati dell’areola dxdy contribuscono alla corrente, poiché l’attraversano una sola volta. Inoltre il contributo delle spire attraversate dai lati sarà positivo o negativo dipendendo dal verso delle correnti atomiche: due lati opposti (1-3 e 4-2) contribuiscono con segno opposto Dobbiamo determinare adesso il numero di atomi che vengono attraversati da un lato. A tale scopo consideriamo un cilindro che abbia per asse il lato 1 e base DS e notiamo che solo una frazione degli atomi ivi contenuti contribuiscono È facile realizzare che il numero di atomi da considerare, Ny, sta al numero di atomi totale, N, nel rapporto della proiezione Sy dell’area dell’orbita atomica all’area DS. Avremo:

Analogamente per il lato 3 avremo Ma se il campo di magnetizzazione varia con continuità nel passare dal lato 1 al lato 3 Sottraendo tali contributi Analogamente per i lati 4 e 2 In totale la corrente in direzione x sarà In definitiva per le tre direzioni:

Sostituendo nella Legge di Circuitazione Definendo pertanto Il problema della magnetostatica della materia si riduce, analogamente al caso elettrostatico, al determinare M in funzione di H. Se tale dipendenza funzionale fosse linearizzabile avremo Tuttavia la validità di questa approssimazione è molto meno ampia che per l’analoga espressione elettrostatica: per la maggioranza di sistemi di interesse tecnologico, anzi, la suscettività magnetica è una funzione complicata del campo

L’origine microscopica del momento magnetico Il momento magnetico di un atomo è una proprietà di tutti gli elettroni del sistema In un atomo di idrogeno, l’elettrone compie una rivoluzione completa attorno al nucleo in un periodo T0. Ciò equivale ad una corrente e, quindi, ad un momento magnetico Come si vede il momento magnetico è proporzionale al momento angolare dell’elettrone L. A questo va aggiunto il momento magnetico dovuto allo spin dell’elettrone. La natura quantistica del momento angolare e dello spin fa sì che per un atomo di idrogeno il momento magnetico sia un multiplo intero del magnetone di Bohr L’estensione al caso di atomi con più elettroni ed al caso dei solidi, dove sta il nostro principale interesse, fa sì che il magnetone di Bohr sia soltanto l’unità di misura dei momenti magnetici che in generale saranno multipli reali di mB. Ciò perché il momento magnetico totale sarà la risultante della somma di molti momenti magnetici dovuti al moto orbitale degli elettroni

In un solido gli ioni sono tenuti insieme dagli elettroni di valenza Ad un istante t un elettrone compie un’orbita attorno ad uno ione e per un tempo 10-16 sec. acquista un momento pari ad mt Successivamente, se aspettiamo un tempo t =10-11 sec., molti altri elettroni sostituiranno il primo, ma con altre orbite + e- La media temporale di questi momenti magnetici può essere nulla oppure no. I sistemi per i quali tale media è nulla si chiamano diamagnetici (Cu, Ag, Nb, Mo, W,etc.) I sistemi per i quali tale media è non nulla si chiamano magnetici e si dividono in paramagnetici e ferromagnetici

Gli atomi dei sistemi magnetici mostrano quindi un momento magnetico proprio Ma dopo aver orbitato attorno ad (scatterato) un atomo un elettrone arriva ad un altro Anche questo secondo atomo acquisterà istante per istante un momento magnetico, la cui media temporale sarà un momento magnetico non necessariamente orientato come il primo. Avverrà analogamente per gli altri siti. + e- La media spaziale di questi momenti può essere nulla oppure no I sistemi per cui questa media è nulla sono i paramagneti e sono contraddistinti dal non possedere una magnetizzazione spontanea. I mezzi in cui il sistema di momenti magnetici propri presentano un elevato grado di ordine spontaneo sono i ferromagneti, i quali presentano una magnetizzazione spontanea.

Una delle possibilità di ordinare il sistema di momenti magnetici è (Fe, Ni, Co) + Cioè la fase ferromagnetica. È chiaro che un così elevato grado di ordine può aversi solo a temperature molto basse. È anche intuitivo che tale reticolo di momenti magnetici potrà fondere aumentando la temperatura oltre un valore Tc, dando luogo ad una transizione di fase analoga a quella fra solido e liquido. A temperature intermedie la situazione diventa più o meno così (perdita di parallelismo) +

Visto su una scala molto più grande della scala atomica il sistema appare In tal caso la magnetizzazione spontanea del materiale sarà in totale alquanto debole (p. es. un chiodino di ferro). Una regione in cui il materiale avrà momenti magnetici paralleli si chiama dominio di Weiss Il parallelismo dei momenti magnetici non è la sola possibilità di ordine. Le sostanze antiferromagnetiche si mostrano con antiparallelismo lungo una direzione reticolare (Cr, M) +

La precessione di Larmor Consideriamo un atomo di idrogeno in assenza di campi esterni. Immaginiamo che l’elettrone ruoti con velocità angolare costante. In questo caso la forza centripeta è pari alla forza di Coulomb dovuta al nucleo: +e -e +w0 -w0 Supponiamo che vi sia un campo magnetico perpendicolare al piano dell’orbita B0 -wa0 Fc FL In tal caso agirà una forza di Lorentz che ha ancora la direzione del raggio e va a sommarsi (sottrarsi) alla forza centripeta. Avremo

Definendo l’equazione diventa Ora, i campi magnetici intensi sono dell’ordine di qualche decina di Tesla (m sec-2 A-1) quindi la pulsazione wL, che si chiama pulsazione di Larmor, è dell’ordine di Pertanto la pulsazione di Larmor è almeno 4 ordini di grandezza più piccola della pulsazione propria dell’elettrone. Ne segue Vale a dire che l’effetto del campo magnetico è quello di far ruotare l’elettrone attorno alla sua direzione con pulsazione wL: si stabilisce cioè un moto di precessione attorno alla direzione del campo magnetico. Come vedremo questo produce effetti non necessariamente trascurabili anche se il valore di wL è molto più piccolo di w0. Naturalmente questo risultato è altrettanto vero anche se il campo non è perpendicolare al moto dell’orbita.

Il momento magnetico di Larmor Il momento magnetico dell’atomo di idrogeno sottoposto al campo magnetico B0 sarà: Tuttavia se consideriamo molti atomi di idrogeno dobbiamo fare una media di questa quantità. È ragionevole pensare che il grosso termine m0 sia diretto lungo tutte le direzioni e quindi il suo contributo medio sarà nullo. Il che equivale a dire che non esiste un momento magnetico proprio di un sistema di atomi di idrogeno. Quindi le seguenti considerazioni si applicano per le sostanze diamagnetiche Siccome la precessione di Larmor avviene attorno alla direzione di B0, la direzione dei momenti magnetici mL deve essere la stessa per tutti gli atomi. Pertanto la media sarà proprio mL Nell’ultimo passaggio abbiamo definito aL, l’equivalente della polarizzabilità per deformazione di un dielettrico, la polarizzabilità magnetica. Ma la fondamentale differenza col caso elettrostatico sta nel fatto che il momento magnetico suscitato dal campo esterno è di verso opposto a quello del campo: un diamagnete deve quindi avere una suscettività negativa (permeabilità magnetica mr minore di 1)

Superconduttori ed effetto Meissner Come abbiamo visto la suscettività magnetica di un diamagnete deve essere negativa. Essa è tuttavia normalmente alquanto piccola in valore assoluto. Vedremo pure che per i paramagneti la suscettività è positiva ma piccola, mentre per i ferromagneti è enorme. Alcuni sistemi fisici, sotto particolari condizioni diventano diamagneti perfetti: la loro suscettività è pari a –1 (la permeabilità magnetica diventa 0). Questi sistemi, di enorme importanza tecnologica, sono i superconduttori. In tali sistemi, non necessariamente metalli, al di sotto di una certa temperatura Tc, la resistività diventa improvvisamente piccolissima.

Il meccanismo che stabilisce la superconduttività, nei cosiddetti superconduttori tradizionali, quelli cioè la cui temperatura di transizione è di pochi gradi Kelvin, è la formazione delle coppie di Cooper + - - Se un elettrone si trova in moto vicino ad uno ione, può trascinare un po’ lo ione verso di sé Se un altro elettrone si trova nelle vicinanze esso può essere accelerato dallo ione, creando un legame fra i due elettroni (la coppia di Cooper). Naturalmente, affinché questo fenomeno si verifichi, molte condizioni devono essere verificate: Gli spins degli elettroni devono essere opposti, la loro quantità di moto deve differire di una precisa quantità (il momento di Fermi), le vibrazioni degli ioni non devono ostacolare (scattering) il moto degli elettroni, nel passare vicino ad un altro ione si devono ripetere le stesse condizioni, etc.. Il percorso che i due elettroni possono percorrere legati può essere grande (sulla scala atomica) si chiama lunghezza di coerenza.

Sotto la temperatura critica, improvvisamente la suscettività cm =–1, ovvero la permeabilità magnetica mr=0. Di conseguenza il campo di induzione magnetica si annulla all’interno del superconduttore. Pertanto il superconduttore espelle le linee di flusso del campo magnetico, ed è quindi costretto ad uscire fuori dalla zona in cui c’è il campo T<Tc B=m0mrH B=0 T>Tc B= m0mrH B= m0mrH

Questo effetto, detto Effetto Meissner è alla base del fenomeno della levitazione magnetica (treni a monorotaia) Se il campo magnetico è maggiore di un certo campo critico Hc, il sistema smette di essere superconduttore (ritorna allo stato normale). Superconduttori che hanno questa caratteristica si dicono del I tipo (e.g. Alluminio) Nei superconduttori del II tipo (Nb), invece, le linee di flusso del campo magnetico penetrano parzialmente nel superconduttore, dando luogo ad uno stato misto se il campo è compreso tra due valori Hc1 e Hc2. Per campi superiori ad Hc2 il superconduttore ritorna allo stato normale, per campi inferiori ad Hc1 tutto il campo magnetico è espulso dal sistema.

Effetto Josephson e lo Squid Se in un circuito superconduttore si inserisce una giunzione isolante ci si aspetterebbe che la barriera di potenziale che si viene a creare impedisca il passaggio della corrente J J0 Josephson (1962) mostrò che se la corrente è inferiore ad una data soglia (107 A/m2), le coppie di Cooper riescono ad attraversare l’isolante, dando quindi luogo a correnti attraverso la barriera dell’ordine anche di 106 A/m2, con campo elettrico nullo. Questo è l’effetto Josephson in corrente continua Se si applica una differenza di potenziale costante V alla facce opposte dell’isolante si produce una corrente oscillante di frequenza (Effetto Josephson in corrente alternata)

Ciò consente di costruire un apparecchio denominato SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) isolante Jtot Ja Jb B0 La natura della correnti Ja e Jb è quantistica. Ciò dà luogo ad interferenza fra di esse e fa sì che la corrente totale sia data da Questo apparecchio che è facilmente miniaturizzabile consente pertanto la misura di campi magnetici anche debolissimi (bolometro). Trova applicazioni importantissime in biomedicina (e.g. attività cerebrali) e biofisica

Tabelle di confronto delle Suscettività magnetiche Materiale cm Tipo Bismuto -170 10-6 Rame -10 10-6 diamagneti Argento -19 10-6 Acqua -9 10-6 Aria +0.4 10-6 Alluminio +22 10-6 paramagneti Platino +360 10-6 Materiale Cm(H0) Tipo Ferro 102103 Nickel 103103 ferromagneti Cobalto Permalloy (FeNi) 12 10350 103

Paramagneti e Ferromagneti Un magnete immerso in un campo magnetico esterno si comporta analogamente ad un dielettrico le cui molecole posseggano un momento di dipolo elettrico proprio immerso in un campo elettrico esterno. Il fenomeno fisico principale è quindi quello della magnetizzazione per orientamento: i momenti magnetici si allineano nella direzione del campo esterno, ma devono lottare contro la tendenza disordinatrice della agitazione termica. Tuttavia, al contrario dei diamagneti, la magnetizzazione media risultante sarà parallela al campo e non antiparallela Ciò che differenzia dal caso dei dielettrici è il fatto che un magnete è normalmente allo stato solido e non gassoso. Ciò può produrre dei campi locali. Ancora analogamente al caso dei dielettrici si può scrivere: N è il numero di Weiss Tuttavia accade che per i paramagneti N è un numero molto piccolo e si avrà dove L è la funzione di Langevin e Ms è la magnetizzazione di saturazione

Isteresi magnetica e Temperatura di Curie In funzione del parametro a la magnetizzazione sarà dunque la funzione di Langevin. Ricavando M in temini di H ed H* possiamo trovare (graficamente) la funzione M(H). M(a) deve essere anche una retta di ordinata all’origine –H/N, a temperatura costante. Al diminuire di H la retta interseca M(a) in diversi punti Riportando i valori di M in funzione di H g Se g è abbastanza piccolo possono esserci due intersezioni (H=Hc)

Isteresi Magnetica M(H) Ms Hc Mr -Hc H -Mr -Ms

Temperatura di Curie a/3 gc Se la temperatura è sufficientemente elevata (o se N0) le rette avranno una sola intersezione con la curva di Langevin! Il sistema è quindi nella fase paramagnetica. La transizione si ha se

Si noti che l’esistenza di una magnetizzazione residua spiega come mai un chiodino d’acciaio avvicinato ad una calamita si magnetizzi, e poi, allontanato, sia in grado di attrarre altri chiodini. Un ferromagnete (quindi al di sotto della temperatura di Curie) presenta i domini di Weiss, che, di norma, non sono molto estesi, specie se il materiale è policristallino. L’azione del campo esterno è quella di estendere enormemente i domini di Weiss. Ciò costa lavoro, infatti l’area sotto le curve di magnetizzazione è lavoro per unità di volume. Lasciato a sé stesso, poi, il chiodino si smagnetizza spontaneamente, perché i domini di Weiss ritormano alla situazione originaria. La circostanza che un chiodino si magnetizza in presenza di un campo esterno è il principio di funzionamento alla base degli elettromagneti. Per un nastro o disco magnetico, invece, si vuole un materiale che si magnetizzi e non si smagnetizzi spontaneamente mai più. La differenza fra un magnete permanente (calamita) ed un chiodino d’acciaio sta nel fatto che i domini di Weiss sono molto più estesi e stabili nel primo sistema che nel secondo.

In Natura non esistono discontinuità così forti nelle curve di isteresi. Si distinguono i materiali magneticamente dolci dagli altri (e.g. acciaio) dolce I materiali ferromagnetici dolci sono usati per registrazioni (nastri e dischi magnetici) L’acciaio per costruire elettrocalamite

Circuiti Magnetici ed Elettromagneti Analogamente al caso elettrico, anche le linee di flusso del campo magnetico si rifrangono alla separazione di due materiali. Si trova, con un procedimento assolutamente analogo: 1 2 B1 B2 q1 q2 Quindi, se il mezzo 1 è il ferro ed il mezzo due è l’aria, le cui permeabilità magnetiche differiscono di alcuni ordini di grandezza, si avrà all’incirca 1 2 B1 B2 Cioè le linee di flusso di B restano praticamente confinate nel mezzo 1 (ferro)

Questa circostanza implica che se prendiamo un materiale ferromagnetico e realizziamo un toro, questo sarà un tubo di flusso di B (divB=0). È noto infatti che per lasciare inalterate le caratteristiche di una calamita a ferro di cavallo è opportuno collegare i due estremi con una sbarretta di ferro: questo serve a chiudere le linee di flusso di B e quindi ad impedire che si rimpiccioliscano i domini di Weiss. Un sistema siffatto si chiama circuito magnetico. Se il toro è d’acciaio non vi sarà una magnetizzazione del mezzo molto grande. Tuttavia se si mette un solenoide in una parte anche piccola del toro, e si fa passare della corrente il toro si magnetizza. B H Possiamo mettere in relazione il flusso di B in una sezione S (costante) del toro con la corrente che scorre nell’avvolgimento

Il flusso di B sarà Il campo H è facilmente ricavabile da Da cui L’equazione precedente va sotto il nome di Legge di Hopkinson. La quantità Ni si chiama forza magnetomotrice mentre il parametro R, che dipende solo dalla geometria e dal materiale usato si chiama riluttanza magnetica La legge di Hopkinson vale solo se, come è stato fatto, si trascura il flusso disperso, ovvero il flusso uscente lateralmente dal materiale, che non è nullo dato che la permeabilità magnetica dell’aria non è nulla né quella del mezzo infinita. La legge di Hopkinson è interamente equivalente alla legge di Ohm: la riluttanza gioca il ruolo della resistenza, il flusso di B quello della corrente elettrica (flusso di J, campo solenoidale) e la forza magnetomotrice quello della forza elettromotrice. Notare che la riluttanza tiene conto dei fenomeni dissipativi associati all’allargamento dei domini di Weiss nel materiale magnetico: il materiale si riscalda con una legge analoga all’effetto Joule