Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 14

Trend linearizzabili Trend esponenziale Tasso di crescita direttamente proporzionale al livello della funzione Linearizzabile Identificazione di un trend esponenziale: se Yt presente un trend esponenziale, log Yt segue un trend lineare

Variabili dummy Le variabili dummy si possono utilizzare per introdurre nel modello effetti di vario genere (es. variazioni strutturali o outlier). Possono servire ad inserire variabili qualitative come esplicative nel modello di regressione. La variabile dummy è una variabile ausiliaria che assume valore 1 se l’unità statistica possiede una data caratteristica e 0 altrimenti.

i. Variazione strutturale Caso 1: variazione intercetta 𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝑑 𝑡 + 𝜀 𝑡 Dove 𝑑 𝑡 = 0 per t < s  𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝜀 𝑡 𝑑 𝑡 = 1 per t  s  𝑌 𝑡 = (𝛼 0 +)+ 𝛼 1 𝑡+ 𝜀 𝑡

Caso 2: variazione pendenza 𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝑡𝑑 𝑡 + 𝜀 𝑡 Dove 𝑑 𝑡 = 0 per t < s  𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝜀 𝑡 𝑑 𝑡 = 1 per t  s  𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + (𝛼 1 +)𝑡+ 𝜀 𝑡

Caso 3: variazione intercetta e pendenza 𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝑑 𝑡 + 𝑡𝑑 𝑡 + 𝜀 𝑡 Dove 𝑑 𝑡 = 0 per t < s  𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝜀 𝑡 𝑑 𝑡 = 1 per t  s  𝑌 𝑡 = (𝛼 0 +𝛾)+ (𝛼 1 +)𝑡+ 𝜀 𝑡

ii. Outlier 𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝑑 𝑡 + 𝜀 𝑡 Dove 𝑑 𝑡 = 0 per t  s  𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝜀 𝑡 𝑑 𝑡 = 1 per t = s  𝑌 𝑡 = (𝛼 0 +)+ 𝛼 1 𝑡+ 𝜀 𝑡

A.1 - Trend non lineare e non linearizzabile Curve di crescita: Curva esponenziale modificata Curva logistica Curva di Gompertz Adatte per fenomeni che manifestano fasi di crescita molto accelerate eventualmente seguite da una fase di stasi. Trovano applicazione in molte aree (economia, demografia, biologia, …). Sono non lineari nei parametri  non possono essere stimate con il metodo dei minimi quadrati. Si vedano i grafici nel §2.4 del testo.

Caso B: solo stagionalità La componente stagionale St può essere rappresentata da una funzione periodica g(t): le oscillazioni (tutte della stessa forma) si ripetono con periodo (s) uguale e ampiezza costante: s= 4 per serie trimestrali; s = 12 per serie mensili, ecc.

B1. Uso di variabili dummy

B2. Uso di funzioni trigonometriche Un esempio:

Caso C: trend e stagionalità Facciamo il caso di trend lineare insieme a stagionalità trimestrale additiva. Il modello con costante e 4 dummy non può essere applicato (trappola delle dummy): 𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝛿 1 𝑑 1𝑡 + 𝛿 2 𝑑 2𝑡 + 𝛿 3 𝑑 3𝑡 + 𝛿 4 𝑑 4𝑡 + 𝜀 𝑡 O si toglie la costante (lasciando le 4 dummy): 𝑌 𝑡 = 𝛼 1 𝑡+ 𝛿 1 𝑑 1𝑡 + 𝛿 2 𝑑 2𝑡 + 𝛿 3 𝑑 3𝑡 + 𝛿 4 𝑑 4𝑡 + 𝜀 𝑡 O si toglie una dummy lasciando la costante: 𝑌 𝑡 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑡+ 𝛿 2 𝑑 2𝑡 + 𝛿 3 𝑑 3𝑡 + 𝛿 4 𝑑 4𝑡 + 𝜀 𝑡

PROBLEMA L’uso di funzioni analitiche del tempo per descrivere la componente di fondo della serie ha il vantaggio di descrivere in maniera semplice la serie, ma è di difficile applicazione quando l’andamento del fenomeno è irregolare. In questo caso, infatti, sarebbe necessario ricorrere a polinomi di grado elevato. SOLUZIONE Si ricerca la componente di fondo in modo ‘empirico’, senza voler necessariamente evidenziare una ‘legge’ di variazione.  MEDIE MOBILI